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Graphiques de base 10 ,base e ,base 2 ,mathématiques , l'exponentiation , notée opération impliquant deux nombres : la base , entier positif , l'exponentiation correspond à une multiplication répétée de la base : c'est-à-dire que produit de la multiplication
L'exposant est généralement indiqué en exposant à droite de la base sous la forme opération binaire est souvent lue comme «
L'exponentiation peut également être étendue aux puissances qui ne sont pas des entiers positifs. Lorsque
La définition de l'exponentiation peut être étendue naturellement (en conservant la règle de multiplication) pour définir, pour toute base réelle positive et tout exposant réel, l'exponentiation . Des définitions plus complexes permettent d'utiliser une base et un exposant complexes , ainsi que certains types de matrices comme base ou exposant.
latin exponentem , participe présent d' exponere , signifiant « proposer ». Le terme puissance ( grec ancien δύναμις ( dúnamis , ici : « amplification » ) utilisé par le mathématicien grec Euclide pour le carré d'une ligne, suivant Hippocrate de Chios .
Le terme « exposant » a été forgé en 1544 par Michael Stifel . Au XVIe siècle, Robert Recorde utilisait les termes « carré », « cube », « zenzizenzique » ( quatrième puissance ), « sursolide » ( cinquième ), « zenzicube » ( sixième ), « second sursolide » ( septième ) et « zenzizenzinzique » ( huitième ). Le terme « bicarré » a également été employé pour désigner la quatrième puissance.
Histoire
Dans Le Calculateur de sable , Archimède a prouvé la loi des exposants, Al-Khwarizmi utilisait les termes مَال ( māl , « possessions », « propriété ») pour désigner un carré – les musulmans, « comme la plupart des mathématiciens de cette époque et des précédentes, concevaient un nombre au carré comme la représentation d'une surface, notamment de terre, donc de propriété » – et كَعْبَة ( Kaʿbah , « cube ») pour désigner un cube . Plus tard, au XVe siècle, les mathématiciens musulmans représentèrent ces concepts en notation mathématique par les lettres mīm (m) et kāf (k), respectivement, comme en témoigne l'œuvre d' Abu'l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi . Nicolas Chuquet utilisa au XVe siècle une forme de notation exponentielle, par exemple 12² Henricus Grammateus et Michael Stifel au XVIe siècle. À la fin du XVIe siècle, Jost Bürgi utilisa par exemple des chiffres romains pour les exposants, d'une manière similaire à celle de Chuquet.James Hume utilisa en substance une notation moderne lorsqu'il écrivit René Descartes dans son texte intitulé La Géométrie ; la notation y est introduite dans le Livre I.
Je désigne… aa , ou un 2 en multipliant a par lui-même ; et un 3 en le multipliant encore une fois par a , et ainsi de suite à l’infini.
Certains mathématiciens (comme Descartes) n'utilisaient les exposants que pour les puissances supérieures à deux, préférant représenter les carrés comme des multiplications répétées. Ils écrivaient ainsi les polynômes , par exemple, sous la Samuel Jeake a introduit le terme indices en 1696. Le terme involution était utilisé comme synonyme du terme indices , mais son usage avait diminué et ne doit pas être confondu avec sa signification plus courante .
En 1748, Leonhard Euler a introduit les exposants variables et, implicitement, les exposants non entiers en écrivant :
des fonctions algébriques , puisque dans celles-ci, les exposants doivent être constants.
XXe siècle
Avec la mécanisation des calculs, la notation s'est adaptée aux capacités numériques grâce aux conventions de la notation exponentielle. Le concept théorique de la représentation en virgule flottante a été initialement introduit par l'ingénieur espagnol Leonardo Torres Quevedo dans ses Essais sur l'automatique de 1914 . Plus tard, Konrad Zuse en a réalisé la première implémentation physique dans son ordinateur Z1 . Dans la conception de Zuse, un registre contenait la représentation des chiffres significatifs et un second, celle de l'exposant. La représentation décimale en virgule flottante, plus flexible , a été introduite en 1946 avec un ordinateur des laboratoires Bell . Finalement, les enseignants et les ingénieurs ont adopté la notation scientifique des nombres, conforme à la référence courante à l'ordre de grandeur dans une échelle de rapport .
Les exposants ont également été utilisés pour décrire les unités de mesure et les dimensions des grandeurs . Par exemple, la force étant le produit de la masse par l'accélération, elle est mesurée en kg m/s² . En utilisant M pour la masse, L pour la longueur et T pour le temps, l'expression MLT⁻² est utilisée en analyse dimensionnelle pour décrire la force.
Terminologie
L'expression carré de cube de entier positif , il indique combien de fois la base est multipliée. Par exemple, des opérations arithmétiques élémentaires .
Exposants positifs
La définition de l'exponentiation comme une multiplication itérée peut être formalisée en utilisant l'induction , et cette définition peut être utilisée dès que l'on dispose d'une multiplication associative :
L'associativité de la multiplication implique que pour tous entiers positifs
et
Exposant zéro
Comme mentionné précédemment, un nombre (non nul) élevé à la puissance
Cette valeur est également obtenue par la convention du produit vide , qui peut être utilisée dans toute structure algébrique comportant une multiplication qui possède un élément neutre . Ainsi, la formule
cela vaut également pour .
Le cas de
L'élévation de 0 à un exposant négatif n'est pas définie, mais, dans certaines circonstances, elle peut être interprétée comme l'infini ( ).
Cette définition de l'exponentiation avec des exposants négatifs est la seule qui permette d'étendre l'identité aux exposants négatifs (considérons le cas ).
Les identités suivantes , souvent appeléesles règles des exposants s'appliquent à tous les exposants entiers, à condition que la base soit non nulle :
Contrairement à l'addition et à la multiplication, l'exponentiation n'est pas commutative : par exemple, associative : par exemple, (2 × 3 ordre conventionnel des opérations pour l'exponentiation sérielle en notation exposant est descendant (ou associatif à droite ), et non ascendant (ou associatif à gauche ). Autrement dit,
qui, en général, est différent de
Puissances d'une somme
Les puissances d'une somme peuvent généralement être calculées à partir des puissances des termes de la somme par la formule binomiale.
Cependant, cette formule n'est vraie que si les termes de la somme commutent (c'est-à-dire si ab = ba), ce qui est implicite s'ils appartiennent à une structure commutative a et b des matrices carrées de même taille, cette formule ne peut être utilisée. Il s'ensuit qu'en calcul formel , de nombreux algorithmes impliquant des exposants entiers doivent être modifiés lorsque les bases d'exponentiation ne commutent pas. Certains systèmes de calcul formel généralistes utilisent une notation différente (parfois fonctions d'un ensemble de exponentiation cardinale ). Ces fonctions peuvent être représentées par uplets appartenant à un ensemble
décimal , les puissances entières de 10 est utilisée en notation scientifique pour désigner les grands ou les petits nombres. Par exemple,vitesse de la lumière dans le vide, en mètres par seconde ) peut s'écrire commeapproximé commeLes préfixes du SI basés sur les puissances de kilo signifiedemi ; est un quart .
Les puissances de la théorie des ensembles , puisqu'un ensemble à ensemble des parties , l'ensemble de tous ses sous-ensembles , qui a informatique . Les puissances entières positives nombre binaire entier de n ; par exemple, un octet peut prendre système binaire exprime tout nombre comme une somme de puissances de virgule binaire , où
Dans certains contextes (par exemple, en combinatoire ), l'expression en analyse ), elle est souvent indéfinie.
Puissances de moins un
Puisqu'un nombre négatif multiplié par un autre nombre négatif est positif, nous avons :
C’est pourquoi les puissances de les suites alternées . Pour une discussion similaire des puissances du nombre complexe limite d'une suite de puissances d'un nombre supérieur à un diverge ; autrement dit, la suite croît sans limite :
1" 1
Cela peut se lire comme « b à la puissance n tend vers +∞ lorsque n tend vers l'infini lorsque b est supérieur à un ».
Les puissances d'un nombre dont la valeur absolue est inférieure à un tendent vers zéro :
Toute puissance de un est toujours égale à un :
Les puissances d'un nombre négatif alternent entre positif et négatif selon que
Voir forme indéterminée , sont décrites au Fonctions de puissance pour Fonctions de puissance pour entier et , on distingue deux familles principales : pour pair et pour impair. En général , pour , lorsque est pair , tend vers l'infini positif lorsque augmente , et également vers l'infini positif lorsque diminue . Tous les graphes des fonctions puissance paires ont la forme générale de , s'aplatissant davantage au centre lorsque augmente. Les fonctions présentant ce type de symétrie fonctions paires . 0" 0
Lorsque n est impair, le comportement asymptotique de f s'inverse, passant de positif à négatif . Pour n = 0 , f tend également vers l'infini positif lorsque n augmente , mais vers l'infini négatif lorsque n diminue . Tous les graphiques de la famille des fonctions puissances impaires ont la forme générale de f(n) = 0 , s'aplatissant davantage au centre lorsque n augmente et perdant toute planéité en ce point pour devenir une droite lorsque n = 0. Les fonctions présentant ce type de symétrie fonctions impaires . 0" 0
En effet , le comportement asymptotique inverse est vrai dans chaque cas.
L'égalité à droite peut être obtenue par la mise en place et l'écriture
Si
En revanche, l'extension de ces définitions à des bases qui ne sont pas des nombres réels positifs pose problème. Par exemple, un nombre réel négatif possède une racine impair
, et aucune racine réelle si
Voir logarithme de la base et la fonction exponentielle ( identités et propriétés présentées ci-dessus pour les exposants entiers restent valables avec ces définitions pour les exposants réels. La seconde définition est plus couramment utilisée, car elle se généralise aisément aux exposants complexes .
En revanche, l'exponentiation à une puissance réelle d'un nombre réel négatif est beaucoup plus difficile à définir de manière cohérente, car elle peut être non réelle et prendre plusieurs valeurs. On peut choisir l'une de ces valeurs, appelée valeur principale , mais il n'existe pas de choix de la valeur principale pour laquelle l'identité
La limite de nombre irrationnel peut être exprimé comme la limite d'une suite de nombres rationnels, l'exponentiation d'un nombre réel positif continuité avec la règle
où la limite est prise uniquement sur les valeurs rationnelles de décimale infinie monotonie des puissances rationnelles permettent d'obtenir des intervalles bornés par des puissances rationnelles aussi petites que souhaité, et qui doivent contenir
Ainsi, les bornes supérieures et inférieures des intervalles forment deux suites qui ont la même limite, notée
Ceci définit, pour tout fonction continue de Expression bien définie .
Fonction exponentielle
le nombre d'Euler , mais pour éviter un raisonnement circulaire , cette définition ne peut être utilisée ici. Nous proposons donc une définition indépendante de la fonction exponentielle et de , ne faisant intervenir que des puissances entières positives (multiplication répétée). Nous esquissons ensuite la démonstration que cette définition concorde avec la précédente :
On a et l' identité exponentielle (ou règle de multiplication) est également valable, puisque
et le terme du second ordre n'affecte pas la limite, ce qui donne .
Le nombre d'Euler peut être défini comme suit : . Il découle des équations précédentes que lorsque complexe de logarithmique . Plus précisément, le fait que le logarithme népérien inverse de e<sup>
pour tout 0"}},"i":0}}] b > 0. Pour préserver l'identité, il faut avoir
Dans les sections précédentes, l'exponentiation avec des exposants non entiers a été définie uniquement pour les bases réelles positives. Pour les autres bases, des difficultés apparaissent déjà dans le cas apparemment simple des racines de logarithmes complexes et est donc plus facile à appréhender.
forme polaire comme
où z est la valeur absolue de argument . L'argument est défini à un multiple entier près de
La forme polaire du produit de deux nombres complexes s'obtient en multipliant leurs valeurs absolues et en additionnant leurs arguments. Il s'ensuit que la forme polaire de la racine
Si on ajoute à , le nombre complexe reste inchangé, mais cela s'ajoute à l'argument de la racine
Il est d'usage de choisir l'une des n racines racine principale . Le choix courant consiste à sélectionner la racine fonction continue sur tout le plan complexe, à l'exception des valeurs réelles négatives du radicande . Cette fonction est égale à la racine Le prolongement analytique montre que la racine complexe différentiable qui prolonge la racine permutées circulairement (elles sont multipliées par ). Ceci montre qu'il est impossible de définir une fonction racine Les trois racines tierces de tels que est . Elles apparaissent dans divers domaines des mathématiques, comme la transformée de Fourier discrète ou les solutions algébriques d'équations algébriques ( résolvante de Lagrange ).
Les racines puissances de , c'est premier avec
Les racines cercle unité du plan complexe aux sommets d'un -gone régulierargument positif , il est appelé la racine primitive valeur principale de , qui est 1.
exponentiation complexe
Définir l'exponentiation avec des bases complexes pose des difficultés similaires à celles décrites dans la section précédente, à ceci près qu'il existe, en général, une infinité de valeurs possibles pour z . Ainsi, soit on définit une valeur principale , qui n'est pas continue pour les valeurs réelles et non positives de fonction multivoque .
Dans tous les cas, le logarithme complexe est utilisé pour définir l'exponentiation complexe comme suit :
où est la variante du logarithme complexe utilisée, qui est une fonction ou une fonction multivoque telle que
La valeur principale du logarithme complexe n'est pas définie car elle est discontinue pour les valeurs réelles négatives de holomorphe (c'est-à-dire complexe différentiable) ailleurs. Si
La valeur principale de est définie comme où est la valeur principale du logarithme.
La fonction est holomorphe sauf au voisinage des points où des fonctions multivoques .
Si désigne l'une des valeurs du logarithme multivoque (généralement sa valeur principale), les autres valeurs sont données par où
où nombre rationnel , c'est-à-dire s'il existe un entier périodicité de la fonction exponentielle, plus précisément que si et seulement si est un multiple entier de .
Si w est un nombre rationnel avec entiers premiers entre eux, alors w possède exactement la section Racines ièmes d'un nombre complexe . Si 0," 0, graphe est constitué de plusieurs feuilles qui définissent chacune une fonction holomorphe au voisinage de chaque point. Si
Calcul
La forme canonique de peut être calculée à partir des formes canoniques de Forme polaire de deux arguments .
Logarithme de valeur principale de ce logarithme estoùdésigne le logarithme népérien . Les autres valeurs du logarithme sont obtenues en ajoutantpour tout entier Si avec
Résultat final . En utilisant les identités , on obtient pour la valeur principale.
Exemples
La forme polaire de
De même, la forme polaire de
Dans les deux exemples, toutes les valeurs de ont le même argument. Plus généralement, cela est vrai si et seulement si la partie réelle de branche principale du logarithme complexe, on a : quelle que soit la branche du logarithme considérée, cette identité n'est plus valable. On peut au mieux conclure (en se basant uniquement sur ce résultat) que : cette identité n'est pas vérifiée, même en considérant le logarithme comme une fonction multivoque. Les valeurs possibles de log ( wz ) contiennent celles de z ⋅ log w comme sous-ensemble strict . En utilisant log( w ) comme valeur principale de log( w ) et m et n comme entiers quelconques, les valeurs possibles des deux membres sont :
Les identités ( bc ) x = bx + cx et ( b / c ) x = bx / cx sont valides lorsque b et c sont des nombres réels positifs et que x est un nombre réel. Cependant, pour les valeurs principales, on a : [formule mathématique manquante ] . En revanche, lorsque x est un entier, les identités sont valides pour tous les nombres complexes non nuls. Si l'exponentiation est considérée comme une fonction multivoque, alors les valeurs possibles de (−1 ⋅ −1) <sup>1/2</sup> sont {1, −1} . L'identité est vérifiée, mais affirmer que {1} = {(−1 ⋅ −1) <sup>1/2</sup> } est incorrect.
L'identité ( e <sup>x</sup> ) y = e<sup> xy</sup> est valable pour les nombres réels x et y , mais supposer sa vérité pour les nombres complexes conduit au paradoxe suivant , découvert en 1827 par Clausen : Pour tout entier n , nous avons :
(en élevant les deux membres à la puissance -ième)
(en utilisant et en développant l'exposant)
(en utilisant )
(division par e )
mais ceci est faux lorsque l'entier n est non nul.
L'erreur est la suivante : par définition, est une notation pour une fonction vraie, et est une notation pour laquelle est une fonction multivoque. Ainsi, la notation est ambiguë lorsque x = e . Ici, avant de développer l'exposant, la deuxième ligne devrait être
Par conséquent, en développant l'exposant, on a implicitement supposé que pour les valeurs complexes de z , ce qui est faux, car le logarithme complexe est multivoque. Autrement dit, l'identité incorrecte ( e<sup>x</sup>)y = e<sup>xy </sup> doit être remplacée par l'identité ( e <sup>x</sup> ) y = e<sup> xy </sup>.
qui constitue une véritable identité entre fonctions multivaluées.
Irrationalité et transcendance
nombre algébrique réel positif et extensions algébriques . Cela reste vrai pour tout nombre algébrique fonction multivoque ) sont algébriques. Si irrationnel (c'est-à-dire non rationnel ) et si b et x sont tous deux transcendantes (c'est-à opération associative notée multiplication. La définition de élément neutre multiplicatif .
Un monoïde est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une opération associative notée multiplicativement et d'un élément neutre multiplicatif noté
pour tout entier non négatif inverse multiplicatif . Dans ce cas, l'inverse de
L'exponentiation avec des exposants entiers obéit aux lois suivantes, pour
Lorsqu'il existe plusieurs opérations susceptibles d'être répétées, il est courant d'indiquer l'opération répétée en plaçant son symbole en exposant, avant l'exposant. Par exemple, si fonction réelle dont les valeurs peuvent être multipliées, → → → désigne l'exponentiation par rapport à la multiplication, et → peut désigner l'exponentiation par rapport à la composition de fonctions . Autrement dit,
Donc, si sous-groupe . Le groupe (ou sous-groupe) constitué de toutes les puissances d'un élément groupe cyclique engendré par isomorphe au groupe additif des entiers. Sinon, le groupe cyclique est fini (il possède un nombre fini d'éléments), et ce nombre est égal à l' ordre de théorie des groupes . Par exemple, l'ordre d'un élément dans un groupe fini est toujours un diviseur du nombre d'éléments du groupe (l' ordre du groupe). Les ordres possibles des éléments d'un groupe sont importants pour l'étude de sa structure (voir les théorèmes de Sylow ) et pour la classification des groupes simples finis .
La notation en exposant est également utilisée pour la conjugaison ; c’est-à-dire
Dans un anneau
Dans un anneau , il peut arriver que certains éléments non nuls vérifient une certaine condition pour un entier nilpotent . Dans un anneau commutatif , les éléments nilpotents forment un idéal appelé le nilradical de l'anneau.
Plus généralement, étant donné un idéal radical de idéal nul . Un idéal radical est un idéal égal à son propre radical. Dans un anneau de polynômes sur un corps zéros de Hilbert ).
Matrices et opérateurs linéaires
Si puissance de la matrice . De plus, I est définie comme la matrice identité , et si
Les puissances de matrices apparaissent fréquemment dans le contexte des systèmes dynamiques discrets , où la matrice chaîne de Markov , par exemple. représente alors l'état du système après deux pas de temps, et ainsi de suite : représente l'état du système après des valeurs propres et des vecteurs propres .
Outre les matrices, des opérateurs linéaires plus généraux peuvent également être exponentiés. L' opérateur de dérivée du calcul différentiel, , en est un exemple : il s'agit d'un opérateur linéaire qui, appliqué à une fonction, lui confère une nouvelle fonction . La puissance
Ces exemples concernent les exposants discrets d'opérateurs linéaires, mais dans de nombreuses circonstances, il est également souhaitable de définir les puissances de tels opérateurs avec des exposants continus. C'est le point de départ de la théorie mathématique des semi-groupes . De même que le calcul des puissances de matrices avec des exposants discrets résout des systèmes dynamiques discrets, le calcul des puissances de matrices avec des exposants continus résout des systèmes à dynamique continue. On peut citer comme exemples des méthodes de résolution de l' équation de la chaleur , de l'équation de Schrödinger , de l'équation des ondes et d'autres équations aux dérivées partielles, notamment celles prenant en compte l'évolution temporelle. Le cas particulier de l'exponentiation de l'opérateur de dérivée à une puissance non entière est appelé dérivée fractionnaire , qui, avec l' intégrale fractionnaire , constitue l'une des opérations fondamentales du calcul fractionnaire .
Champs finis
corps est une structure algébrique dans laquelle la multiplication, l'addition, la soustraction et la division sont définies et satisfont les propriétés suivantes : la multiplication est associative et tout élément non nul possède un inverse multiplicatif . Il s'ensuit que l'exponentiation avec des exposants entiers est bien définie, sauf pour les puissances non positives de nombres complexes , le corps des nombres réels et le corps des nombres rationnels , considérés précédemment dans cet article, en sont des exemples courants ; tous sont infinis .
Un corps fini est un corps à un nombre fini d'éléments. Ce nombre d'éléments est soit un nombre premier , soit une puissance d'un nombre premier ; autrement dit, il est de la forme où isomorphes , ce qui permet, en général, de travailler comme s'il n'existait qu'un seul corps à
L'un a
pour chaque
Un élément primitif dans est un élément la fonction indicatrice d'Euler .
est linéaire sur et est un automorphisme de corps , appelé automorphisme de Frobenius . Si le corps possède composition ) de groupe de Galois de est cyclique d'ordre échange de clés Diffie-Hellman est une application de l'exponentiation dans les corps finis, largement utilisée pour les communications sécurisées . Il exploite le fait que l'exponentiation est peu coûteuse en calcul, contrairement à son inverse, le logarithme discret , qui est coûteux. Plus précisément, si exponentiation en élevant au carré pour tout produit cartésien de deux ensembles paires ordonnées telles que et . Cette opération n'est ni strictement commutative ni associative , mais possède ces propriétés à isomorphismes canoniques près , qui permettent d'identifier, par exemple, et .
Cela permet de définir la uplets d'éléments de produit direct » plutôt que « produit cartésien », et l'exponentiation désigne la structure du produit. Par exemple , (où n désigne l'ensemble des nombres réels) désigne le produit cartésien de d'espace vectoriel , d'espaces topologiques , d'anneaux , etc.
Ensembles comme exposants
fonction de Ceci se généralise à la notation suivante.
On peut utiliser des ensembles comme exposants pour d'autres opérations sur les ensembles, notamment pour les sommes directes de groupes abéliens , d'espaces vectoriels ou de modules . Pour distinguer les sommes directes des produits directs, l'exposant d'une somme directe est placé entre parenthèses. Par exemple, désigne l'espace vectoriel des suites infinies de nombres réels, et l'espace vectoriel des suites ayant un nombre fini d'éléments non nuls. Ce dernier possède une base constituée des suites ayant exactement un élément non nul égal à bases de Hamel de la première ne peuvent être décrites explicitement (car leur existence fait intervenir le lemme de Zorn ).
Dans ce contexte, ensemble des puissances de sous-ensembles de image inverse de exponentiation des nombres cardinaux , dans le sens où catégorie des ensembles , les morphismes entre les ensembles
Cela signifie que le foncteur « exponentiation à la puissance adjoint à droite du foncteur « produit direct avec l'exponentiation dans une catégorie dans laquelle existent des produits directs finis : dans une telle catégorie, le foncteur est, s'il existe, un adjoint à droite du foncteur. Une catégorie est appelée catégorie cartésienne fermée si des produits directs existent et si le foncteur a un adjoint à droite pour tout fonction d'Ackermann et la notation de Knuth avec flèche vers le haut . De même que l'exponentiation croît plus rapidement que la multiplication, qui croît plus rapidement que l'addition, la tétration croît plus rapidement que l'exponentiation. Évaluées en L'expression « zéro à la puissance zéro » donne plusieurs exemples de limites de la forme indéterminée 0 → 0. Ces limites existent, mais prennent des valeurs différentes, ce qui montre que la fonction à deux variables droite numérique réelle étendue topologie produit ), qui contiendra les points auxquels la fonction 0 \\}" 0\ les points d'accumulation de la règle de Horner à l'exposant 100 écrit en binaire :
.
Calculez ensuite les termes suivants dans l'ordre, en lisant la règle de Horner de droite à gauche.
2 2 = 4
2 (2 2 ) = 2 3 = 8
(2 3 ) 2 = 2 6 = 64
(2 6 ) 2 = 2 12 =par élévation au carré , où n<sup>1/2</sup> désigne le nombre de représentation binaire de exponentiation par chaîne d'additions minimale . Trouver la séquence minimale de multiplications (la chaîne d'additions de longueur minimale pour l'exposant n) pour le problème de la somme de sous-ensembles ), mais de nombreux algorithmes heuristiques raisonnablement efficaces sont disponibles. Cependant, dans les calculs pratiques, l'exponentiation par élévation au carré est suffisamment efficace et beaucoup plus facile à implémenter.
Fonctions itérées
La composition de fonctions est une opération binaire définie sur les fonctions de telle sorte que le codomaine de la fonction écrite à droite soit inclus dans le domaine de la fonction écrite à gauche. Elle est notée et définie comme suit :
pour chaque
Lorsqu'une multiplication est définie sur le codomaine d'une fonction, elle définit une multiplication sur les fonctions, la multiplication terme à terme , qui induit une autre exponentiation. En notation fonctionnelle , les deux types d'exponentiation sont généralement distingués en plaçant l'exposant de l'itération fonctionnelle avant les parenthèses encadrant les arguments de la fonction, et l'exposant de la multiplication terme à terme après les parenthèses. Ainsi, et . En l'absence de notation fonctionnelle, on lève souvent l'ambiguïté en plaçant le symbole de composition avant l'exposant ; par exemple, et . Pour des raisons historiques, l'exposant d'une multiplication répétée est placé avant l'argument pour certaines fonctions spécifiques, notamment les fonctions trigonométriques . Ainsi, et signifient tous deux et non , ce qui, de toute façon, est rarement considéré. Historiquement, plusieurs variantes de ces notations ont été utilisées par différents auteurs.
Dans ce contexte, l'exposant désigne toujours la fonction inverse , si elle existe. Ainsi, pour les inverses multiplicatifs , on utilise généralement les fractions comme dans
En langages de programmation
Les langages de programmation expriment généralement l'exponentiation soit par un opérateur infixe , soit par l'application d'une fonction, car ils ne prennent pas en charge les exposants. Le symbole d'opérateur le plus courant pour l'exponentiation est le caret ( ^′). La version originale de l'ASCII incluait une flèche vers le haut ( ↑″), destinée à l'exponentiation, mais celle-ci a été remplacée par le caret en 1967, qui est ainsi devenu le symbole standard dans les langages de programmation. Les notations comprennent :
Dans la plupart des langages de programmation dotés d'un opérateur d'exponentiation infixe, celui-ci est associatif à droite , c'est-à-dire qu'il a^b^cest interprété comme a^(b^c). Cela s'explique par le fait que (a^b)^cest égal à a^(b*c)et donc moins utile. Dans certains langages, il est associatif à gauche, notamment en Algol , MATLAB et dans le langage de formules de Microsoft Excel .
D'autres langages de programmation utilisent la notation fonctionnelle :
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