Fonction holomorphe

En mathématiques , une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes d'une ou plusieurs variables complexes qui est différentiable de manière complexe au voisinage de chaque point d'un domaine de l' espace de coordonnées complexe ⁠ ⁠ . L'existence d'une dérivée complexe au voisinage est une condition très forte : elle implique qu'une fonction holomorphe est infiniment différentiable et localement égale à sa propre série de Taylor (est analytique ). Les fonctions holomorphes sont les objets d'étude centraux de l'analyse complexe .

Bien que le terme fonction analytique soit souvent utilisé de manière interchangeable avec « fonction holomorphe », le mot « analytique » est défini dans un sens plus large pour désigner toute fonction (réelle, complexe ou de type plus général) qui peut être écrite comme une série convergente de puissances dans un voisinage de chaque point de son domaine . Le fait que toutes les fonctions holomorphes soient des fonctions analytiques complexes, et vice versa, est un théorème majeur de l'analyse complexe .

Les fonctions holomorphes sont aussi parfois appelées fonctions régulières . Une fonction holomorphe dont le domaine est l'ensemble du plan complexe est appelée fonction entière . L'expression « holomorphe en un point ⁠ ⁠ » signifie non seulement différentiable en ⁠ ⁠ , mais différentiable partout dans un voisinage proche de ⁠ ⁠ dans le plan complexe.

Étant donnée une fonction à valeurs complexes ⁠ ⁠ d'une seule variable complexe, la dérivée de ⁠ ⁠ en un point ⁠ ⁠ de son domaine est définie comme la limite

Il s'agit de la même définition que pour la dérivée d'une fonction réelle , sauf que toutes les quantités sont complexes. En particulier, la limite est considérée comme le nombre complexe ⁠ ⁠ tend vers ⁠ ⁠ , ce qui signifie que la même valeur est obtenue pour toute séquence de valeurs complexes pour ⁠ ⁠ qui tend vers ⁠ ⁠ . Si la limite existe, ⁠ ⁠ est dit complexe différentiable en ⁠ ⁠ . Ce concept de différentiabilité complexe partage plusieurs propriétés avec la différentiabilité réelle : il est linéaire et obéit à la règle du produit , à la règle du quotient et à la règle de la chaîne .

Une fonction est holomorphe sur un ouvert ⁠ ⁠ si elle est complexe différentiable en tout point de ⁠ ⁠ . Une fonction ⁠ ⁠ est holomorphe en un point ⁠ ⁠ si elle est holomorphe au voisinage de ⁠ ⁠ . Une fonction est holomorphe sur un ensemble non ouvert ⁠ ⁠ si elle est holomorphe en tout point de ⁠ ⁠ .

Une fonction peut être complexe différentiable en un point mais pas holomorphe en ce point. Par exemple, la fonction est complexe différentiable en ⁠ ⁠ , mais n'est complexe différentiable nulle part ailleurs, en particulier y compris en aucun endroit proche de ⁠ ⁠ (voir les équations de Cauchy–Riemann, ci-dessous). Elle n'est donc pas holomorphe en ⁠ ⁠ .

La relation entre différentiabilité réelle et différentiabilité complexe est la suivante : Si une fonction complexe ⁠ ⁠ est holomorphe, alors ⁠ ⁠ et ⁠ ⁠ ont des dérivées partielles premières par rapport à ⁠ ⁠ et ⁠ ⁠ , et satisfont les équations de Cauchy–Riemann :

ou, de manière équivalente, la dérivée de Wirtinger de ⁠ ⁠ par rapport à ⁠ ⁠ , le conjugué complexe de ⁠ ⁠ , est nulle :

ce qui revient à dire que, grosso modo, ⁠ ⁠ est fonctionnellement indépendant de ⁠ ⁠ , le conjugué complexe de ⁠ ⁠ .

Si la continuité n'est pas donnée, la réciproque n'est pas nécessairement vraie. Une réciproque simple est que si ⁠ ⁠ et ⁠ ⁠ ont des dérivées partielles premières continues et satisfont les équations de Cauchy-Riemann, alors ⁠ ⁠ est holomorphe. Une réciproque plus satisfaisante, mais beaucoup plus difficile à prouver, est le théorème de Looman-Menchoff : si ⁠ ⁠ est continu, ⁠ ⁠ et ⁠ ⁠ ont des dérivées partielles premières (mais pas nécessairement continues), et qu'ils satisfont les équations de Cauchy-Riemann, alors ⁠ ⁠ est holomorphe.

Le terme holomorphe a été introduit en 1875 par Charles Briot et Jean-Claude Bouquet , deux étudiants de Cauchy , et dérive du grec ὅλος ( hólos ) signifiant « tout », et μορφή ( morphḗ ) signifiant « forme » ou « apparence » ou « type », contrairement au terme méromorphe dérivé de μέρος ( méros ) signifiant « partie ». Une fonction holomorphe ressemble à une fonction entière (« tout ») dans un domaine du plan complexe tandis qu'une fonction méromorphe (définie comme signifiant holomorphe sauf à certains pôles isolés ), ressemble à une fraction rationnelle (« partie ») de fonctions entières dans un domaine du plan complexe. Cauchy avait plutôt utilisé le terme synectique .

Aujourd'hui, le terme « fonction holomorphe » est parfois préféré à celui de « fonction analytique ». Un résultat important de l'analyse complexe est que toute fonction holomorphe est analytique complexe, un fait qui ne ressort pas clairement des définitions. Le terme « analytique » est cependant également largement utilisé.

Étant donné que la différentiation complexe est linéaire et obéit aux règles du produit, du quotient et de la chaîne, les sommes, produits et compositions de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe partout où le dénominateur n'est pas nul. Autrement dit, si les fonctions ⁠ ⁠ et ⁠ ⁠ sont holomorphes dans un domaine ⁠ ⁠ , alors ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , et ⁠ ⁠ le sont aussi . De plus, ⁠ ⁠ est holomorphe si ⁠ ⁠ n'a pas de zéros dans ⁠ ⁠ ; sinon, il est méromorphe .

Si l'on identifie ⁠ ⁠ au plan réel ⁠ ⁠ , alors les fonctions holomorphes coïncident avec les fonctions de deux variables réelles à dérivées premières continues qui résolvent les équations de Cauchy-Riemann , un ensemble de deux équations aux dérivées partielles .

Toute fonction holomorphe peut être séparée en ses parties réelle et imaginaire ⁠ ⁠ , et chacune d'elles est une fonction harmonique sur ⁠ ⁠ (chacune satisfait l'équation de Laplace ⁠ ⁠ ), avec ⁠ ⁠ le conjugué harmonique de ⁠ ⁠ . Inversement, toute fonction harmonique ⁠ ⁠ sur un domaine simplement connexe ⁠ ⁠ est la partie réelle d'une fonction holomorphe : Si ⁠ ⁠ est le conjugué harmonique de ⁠ ⁠ , unique à une constante près, alors ⁠ ⁠ est holomorphe.

Le théorème intégral de Cauchy implique que l' intégrale de contour de toute fonction holomorphe le long d'une boucle s'annule :

Voici un chemin rectifiable dans un domaine complexe simplement connexe dont le point de départ est égal à son point d'arrivée, et est une fonction holomorphe.

La formule intégrale de Cauchy stipule que toute fonction holomorphe à l'intérieur d'un disque est complètement déterminée par ses valeurs sur la frontière du disque. De plus : Supposons que ⁠ ⁠ est un domaine complexe, ⁠ ⁠ est une fonction holomorphe et que le disque fermé ⁠ ⁠ est complètement contenu dans ⁠ ⁠ . Soit ⁠ ⁠ le cercle formant la frontière de ⁠ ⁠ . Alors pour tout ⁠ ⁠ à l' intérieur de ⁠ ⁠ :

où l'intégrale de contour est prise dans le sens inverse des aiguilles d'une montre .

La dérivée ⁠ ⁠ peut être écrite comme une intégrale de contour en utilisant la formule de différentiation de Cauchy :

pour toute boucle simple s'enroulant positivement une fois autour de ⁠ ⁠ , et

pour des boucles positives infinitésimales autour de .

Dans les régions où la première dérivée n'est pas nulle, les fonctions holomorphes sont conformes : elles préservent les angles et la forme (mais pas la taille) des petites figures.

Toute fonction holomorphe est analytique . C'est-à-dire qu'une fonction holomorphe ⁠ ⁠ possède des dérivées de tout ordre en chaque point ⁠ ⁠ de son domaine de définition, et qu'elle coïncide avec sa propre série de Taylor en ⁠ ⁠ dans un voisinage de ⁠ ⁠ . En fait, ⁠ ⁠ coïncide avec sa série de Taylor en ⁠ ⁠ dans tout disque centré en ce point et situé dans le domaine de définition de la fonction.

D'un point de vue algébrique, l'ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert est un anneau commutatif et un espace vectoriel complexe . De plus, l'ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert ⁠ ⁠ est un domaine intégral si et seulement si l'ouvert ⁠ ⁠ est connexe. En fait, il s'agit d'un espace vectoriel topologique localement convexe , les semi-normes étant les suprema sur les sous-ensembles compacts .

D'un point de vue géométrique, une fonction ⁠ ⁠ est holomorphe en ⁠ ⁠ si et seulement si sa dérivée extérieure ⁠ ⁠ dans un voisinage ⁠ ⁠ de ⁠ ⁠ est égale à ⁠ ⁠ pour une fonction continue ⁠ ⁠ . Il résulte de

que ⁠ ⁠ est également proportionnel à ⁠ ⁠ , ce qui implique que la dérivée ⁠ ⁠ est elle-même holomorphe et donc que ⁠ ⁠ est infiniment différentiable. De même, ⁠ ⁠ implique que toute fonction ⁠ ⁠ qui est holomorphe sur la région simplement connexe ⁠ ⁠ est également intégrable sur ⁠ ⁠ .

(Pour un chemin ⁠ ⁠ de ⁠ ⁠ à ⁠ ⁠ situé entièrement dans ⁠ ⁠ , définir ⁠ ⁠ ; à la lumière du théorème de la courbe de Jordan et du théorème de Stokes généralisé , ⁠ ⁠ est indépendant du choix particulier du chemin ⁠ ⁠ , et donc ⁠ ⁠ est une fonction bien définie sur ⁠ ⁠ ayant ⁠ ⁠ ou ⁠ ⁠ .

Toutes les fonctions polynomiales de ⁠ ⁠ à coefficients complexes sont des fonctions entières (holomorphes dans tout le plan complexe ⁠ ⁠ ), de même que la fonction exponentielle ⁠ ⁠ et les fonctions trigonométriques ⁠ ⁠ et ⁠ ⁠ (cf. formule d'Euler ). La branche principale de la fonction logarithme complexe ⁠ ⁠ est holomorphe sur le domaine ⁠ ⁠ . La fonction racine carrée peut être définie comme ⁠ ⁠ et est donc holomorphe partout où se trouve le logarithme ⁠ ⁠ . La fonction réciproque ⁠ ⁠ est holomorphe sur ⁠ ⁠ . (La fonction réciproque, et toute autre fonction rationnelle , est méromorphe sur ⁠ ⁠ .)

En conséquence des équations de Cauchy-Riemann , toute fonction holomorphe à valeur réelle doit être constante . Par conséquent, la valeur absolue , l' argument ⁠ ⁠ , la partie réelle ⁠ ⁠ et la partie imaginaire ⁠ ⁠ ne sont pas holomorphes. Un autre exemple typique d'une fonction continue qui n'est pas holomorphe est le conjugué complexe ⁠ ⁠ (Le conjugué complexe est antiholomorphe .)

La définition d'une fonction holomorphe se généralise à plusieurs variables complexes de manière simple. Une fonction ⁠ ⁠ à ⁠ ⁠ variables complexes est analytique en un point ⁠ ⁠ s'il existe un voisinage de ⁠ ⁠ dans lequel ⁠ ⁠ est égal à une série convergente à ⁠ ⁠ variables complexes ; la fonction ⁠ ⁠ est holomorphe dans un sous-ensemble ouvert de ⁠ ⁠ si elle est analytique en chaque point de ⁠ ⁠ . Le lemme d'Osgood montre (en utilisant la formule intégrale multivariée de Cauchy) que, pour une fonction continue ⁠ ⁠ , cela équivaut à être holomorphe dans chaque variable séparément (ce qui signifie que si des coordonnées ⁠ ⁠ sont fixées, alors la restriction de ⁠ ⁠ est une fonction holomorphe de la coordonnée restante). Le théorème de Hartogs, beaucoup plus profond, prouve que l'hypothèse de continuité est inutile : ⁠ ⁠ est holomorphe si et seulement si elle est holomorphe dans chaque variable séparément.

Plus généralement, une fonction de plusieurs variables complexes qui est de carré intégrable sur tout sous-ensemble compact de son domaine est analytique si et seulement si elle satisfait les équations de Cauchy-Riemann au sens des distributions.

Les fonctions à plusieurs variables complexes sont, à certains égards, plus compliquées que les fonctions à une seule variable complexe. Par exemple, la région de convergence d'une série entière n'est pas nécessairement une boule ouverte ; ces régions sont des domaines de Reinhardt logarithmiquement convexes , dont l'exemple le plus simple est un polydisque . Cependant, elles comportent également certaines restrictions fondamentales. Contrairement aux fonctions à une seule variable complexe, les domaines possibles sur lesquels il existe des fonctions holomorphes qui ne peuvent pas être étendues à des domaines plus grands sont très limités. Un tel ensemble est appelé un domaine d'holomorphie .

Une forme différentielle complexe est holomorphe si et seulement si sa dérivée de Dolbeault antiholomorphe est nulle : .

Le concept de fonction holomorphe peut être étendu aux espaces de dimension infinie de l'analyse fonctionnelle . Par exemple, la dérivée de Fréchet ou de Gateaux peut être utilisée pour définir une notion de fonction holomorphe sur un espace de Banach sur le corps des nombres complexes.