Argument (analyse complexe)

En mathématiques (particulièrement en analyse complexe ), l' argument d'un nombre complexe z , noté arg( z ) , est l' angle entre l' axe réel positif et la droite joignant l'origine et z , représenté comme un point dans le plan complexe , montré comme dans la Figure 1. Par convention, l'axe réel positif est dessiné pointant vers la droite, l' axe imaginaire positif est dessiné pointant vers le haut, et les nombres complexes avec une partie réelle positive sont considérés comme ayant un argument dans le sens inverse des aiguilles d'une montre avec un signe positif.

Lorsqu'un angle à valeur réelle est considéré, l'argument est une fonction à valeurs multiples opérant sur les nombres complexes non nuls . La valeur principale de cette fonction est à valeur unique, généralement choisie pour être la valeur unique de l'argument qui se trouve dans l'intervalle (− π , π ] . Dans cet article, la fonction à valeurs multiples sera notée arg( z ) et sa valeur principale sera notée Arg( z ) , mais dans certaines sources, la mise en majuscule de ces symboles est échangée.

Un argument du nombre complexe non nul z = x + iy , noté arg( z ) , est défini de deux manières équivalentes :

1. Géométriquement, dans le plan complexe , comme l' angle polaire 2D de l'axe réel positif au vecteur représentant z . La valeur numérique est donnée par l'angle en radians et est positive si elle est mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
2. Algébriquement, comme toute quantité réelle telle que pour un réel positif r (voir la formule d'Euler ). La quantité r est le module (ou valeur absolue) de z , noté | z |:

L'argument de zéro est généralement laissé indéfini. Les noms magnitude , pour le module, et phase , pour l'argument, sont parfois utilisés de manière équivalente.

Selon les deux définitions, on peut voir que l'argument de tout nombre complexe non nul a de nombreuses valeurs possibles : tout d'abord, en tant qu'angle géométrique, il est clair que les rotations d'un cercle entier ne changent pas le point, donc les angles qui diffèrent d'un multiple entier de 2π radians (un cercle complet) sont les mêmes, comme le montre la figure 2 à droite. De même, à partir de la périodicité de sin et cos , la deuxième définition a également cette propriété.

Comme une rotation complète autour de l'origine laisse un nombre complexe inchangé, de nombreux choix peuvent être faits en faisant le tour de l'origine autant de fois que nécessaire. Ceci est illustré par la figure 2, une représentation de la fonction multi-valuée (à valeurs multiples) , où une ligne verticale (non représentée sur la figure) coupe la surface à des hauteurs représentant tous les choix possibles d'angle pour ce point.

Lorsqu'une fonction bien définie est requise, le choix habituel, connu sous le nom de valeur principale , est la valeur dans l' intervalle ouvert-fermé (− π rad, π rad] , c'est-à-dire de − π à π radians , excluant − π rad lui-même (équivalent, de −180 à +180 degrés , excluant −180° lui-même). Cela représente un angle allant jusqu'à un demi-cercle complet à partir de l'axe réel positif dans l'une ou l'autre direction.

Certains auteurs définissent la plage de la valeur principale comme étant dans l'intervalle fermé-ouvert [0, 2 π ) .

La valeur principale a parfois la lettre initiale en majuscule, comme dans Arg z , en particulier lorsqu'une version générale de l'argument est également envisagée. Notez que la notation varie, donc arg et Arg peuvent être interchangés dans différents textes.

L'ensemble de toutes les valeurs possibles de l'argument peut être écrit en termes de Arg comme :

Si un nombre complexe est connu en termes de ses parties réelle et imaginaire, alors la fonction qui calcule la valeur principale Arg est appelée fonction arc tangente à deux arguments, atan2 :

La fonction atan2 est disponible dans les bibliothèques mathématiques de nombreux langages de programmation, parfois sous un nom différent, et renvoie généralement une valeur dans la plage (−π, π] .

Dans certaines sources, l'argument est défini comme tel, mais cela n'est correct que lorsque x > 0 , où est bien défini et l'angle se situe entre et L'extension de cette définition aux cas où x n'est pas positif est relativement complexe. Plus précisément, on peut définir la valeur principale de l'argument séparément sur le demi-plan x > 0 et les deux quadrants avec x < 0 , puis assembler les définitions :

0,\\[5mu]\arctan \gauche({\frac {y}{x}}\droite)+\pi &{ exte{si }}x<0{ exte{ et }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \gauche({\frac {y}{x}}\droite)-\pi &{ exte{si }}x<0{ exte{ et }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{ exte{si }}x=0{ exte{ et }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{ ext{si }}x=0{ ext{ et }}y<0,\\[5mu]{ ext{undefined}}&{ ext{si }}x=0{ ext{ et }}y=0.\end{cases}}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bfbb35f671d62261506c3d87c7f98f36e0cfeb">

Voir atan2 pour plus de détails et des implémentations alternatives.

Dans le langage Wolfram, il y a Arg[z]:

Arg[x + y I]

ou en utilisant le langage ArcTan:

Arg[x + y I]

ArcTan[x, y]est étendu pour fonctionner avec des infinis. est (c'est-à-dire qu'il est toujours défini), tandis que ne renvoie rien (c'est-à-dire qu'il est indéfini ). ArcTan[0, 0]IndeterminateArcTan[Infinity, -Infinity]

Maple se comporte de la même argument(z)manière que Arg[z]dans le langage Wolfram, sauf qu'il argument(z)renvoie également si est la valeur à virgule flottante spéciale . De plus, Maple n'a pas . z−0.

angle(z)Le comportement de MATLAB est le même que Arg[z]celui du langage Wolfram, sauf qu'il est

Contrairement aux langages Maple et Wolfram, celui de MATLAB atan2(y, x)est équivalent à angle(x + y*1i). C'est-à-dire, atan2(0, 0)est .

L'une des principales motivations pour définir la valeur principale Arg est de pouvoir écrire des nombres complexes sous forme de module-argument. Ainsi, pour tout nombre complexe z ,

Ceci n'est vraiment valable que si z est différent de zéro, mais peut être considéré comme valable pour z = 0 si Arg(0) est considéré comme une forme indéterminée — plutôt que comme étant indéfinie.

D'autres identités suivent. Si z ₁ et z ₂ sont deux nombres complexes non nuls, alors

Si z ≠ 0 et n est un entier, alors

De , on obtient , alternativement . Comme on prend la partie imaginaire, toute normalisation par un scalaire réel n'affectera pas le résultat. Ceci est utile lorsque l'on dispose du logarithme complexe .

L'argument étendu d'un nombre z (noté ) est l'ensemble de tous les nombres réels congrus à modulo 2 .