Fonction de plusieurs variables complexes

La théorie des fonctions à plusieurs variables complexes est la branche des mathématiques qui traite des fonctions définies sur l'espace de coordonnées complexe , c'est-à-dire des n -uplets de nombres complexes . Le nom du domaine traitant des propriétés de ces fonctions est appelé plusieurs variables complexes (et espace analytique ), dont la classification des matières mathématiques a pour rubrique de niveau supérieur.

Comme dans l'analyse complexe des fonctions d'une variable , qui est le cas n = 1 , les fonctions étudiées sont holomorphes ou analytiques complexes de sorte que, localement, elles sont des séries entières en les variables z _i . De manière équivalente, elles sont des limites localement uniformes de polynômes ; ou des solutions localement intégrables de carré aux équations de Cauchy-Riemann de dimension n . Pour une variable complexe, tout domaine ( ), est le domaine d'holomorphie d'une fonction, en d'autres termes chaque domaine a une fonction pour laquelle il est le domaine d'holomorphie. Pour plusieurs variables complexes, ce n'est pas le cas ; il existe des domaines ( ) qui ne sont le domaine d'holomorphie d'aucune fonction, et ne sont donc pas toujours le domaine d'holomorphie, donc le domaine d'holomorphie est l'un des thèmes de ce domaine. Le patching des données locales des fonctions méromorphes , c'est-à-dire le problème de création d'une fonction méromorphe globale à partir de zéros et de pôles, est appelé le problème de Cousin. De plus, les phénomènes intéressants qui se produisent dans plusieurs variables complexes sont fondamentalement importants pour l'étude des variétés complexes compactes et des variétés projectives complexes ( ) et ont une saveur différente de la géométrie analytique complexe dans ou sur les variétés de Stein , celles-ci sont beaucoup plus similaires à l'étude des variétés algébriques qui est l'étude de la géométrie algébrique que de la géométrie analytique complexe.

De nombreux exemples de telles fonctions étaient familiers dans les mathématiques du XIXe siècle : fonctions abéliennes , fonctions thêta et certaines séries hypergéométriques , ainsi que, comme exemple de problème inverse, le problème d'inversion de Jacobi . Naturellement, la même fonction d'une variable qui dépend d'un paramètre complexe est également candidate. La théorie, cependant, n'est pas devenue pendant de nombreuses années un domaine à part entière de l'analyse mathématique , car ses phénomènes caractéristiques n'ont pas été découverts. Le théorème de préparation de Weierstrass serait désormais classé dans l'algèbre commutative ; il justifiait l'image locale, la ramification , qui aborde la généralisation des points de branchement de la théorie de la surface de Riemann .

Avec les travaux de Friedrich Hartogs , Pierre Cousin EE Levi et de Kiyoshi Oka dans les années 1930, une théorie générale a commencé à émerger ; d'autres chercheurs travaillant dans ce domaine à l'époque étaient Heinrich Behnke , Peter Thullen , Karl Stein , Wilhelm Wirtinger et Francesco Severi . Hartogs a prouvé quelques résultats de base, comme le fait que toute singularité isolée est éliminable , pour toute fonction analytique lorsque n > 1. Naturellement, les analogues des intégrales de contour seront plus difficiles à traiter ; lorsque n = 2, une intégrale entourant un point devrait être sur une variété tridimensionnelle (puisque nous sommes en quatre dimensions réelles), tandis que l'itération d'intégrales de contour (ligne) sur deux variables complexes distinctes devrait aboutir à une intégrale double sur une surface bidimensionnelle. Cela signifie que le calcul des résidus devra prendre un caractère très différent.

Après 1945, d'importants travaux en France, dans le séminaire d' Henri Cartan , et en Allemagne avec Hans Grauert et Reinhold Remmert , ont rapidement modifié l'image de la théorie. Un certain nombre de questions ont été clarifiées, en particulier celle de la continuation analytique . Ici, une différence majeure apparaît évidente par rapport à la théorie à une variable : alors que pour tout ensemble connexe ouvert D dans on peut trouver une fonction qui ne se continue analytiquement nulle part au-delà du bord, ce n'est pas le cas pour n > 1. En fait, les D de ce type sont de nature assez particulière (en particulier dans les espaces de coordonnées complexes et les variétés de Stein, satisfaisant une condition appelée pseudo-convexité ). Les domaines naturels de définition des fonctions, continués jusqu'à la limite, sont appelés variétés de Stein et leur nature était de faire disparaître les groupes de cohomologie de faisceaux ; d'autre part, le théorème d'annulation de Grauert-Riemenschneider est connu comme un résultat similaire pour les variétés complexes compactes, et la conjecture de Grauert-Riemenschneider est un cas particulier de la conjecture de Narasimhan. En fait, c'est la nécessité de mettre (en particulier) le travail d'Oka sur une base plus claire qui a rapidement conduit à l'utilisation cohérente des faisceaux pour la formulation de la théorie (avec des répercussions majeures pour la géométrie algébrique , en particulier à partir du travail de Grauert).

A partir de ce moment, il y eut une théorie fondamentale, qui pouvait être appliquée à la géométrie analytique , aux formes automorphes de plusieurs variables et aux équations aux dérivées partielles . La théorie de la déformation des structures complexes et des variétés complexes fut décrite en termes généraux par Kunihiko Kodaira et DC Spencer . Le célèbre article GAGA de Serre a fixé le point de croisement entre la géométrie analytique et la géométrie algébrique .

On a entendu CL Siegel se plaindre du fait que la nouvelle théorie des fonctions de plusieurs variables complexes ne contenait que peu de fonctions , ce qui signifie que le côté fonctions spéciales de la théorie était subordonné aux faisceaux. L'intérêt de la théorie des nombres réside certainement dans les généralisations spécifiques des formes modulaires . Les candidates classiques sont les formes modulaires de Hilbert et les formes modulaires de Siegel . De nos jours, celles-ci sont associées à des groupes algébriques (respectivement la restriction de Weil à partir d'un corps de nombres totalement réels de GL (2) et le groupe symplectique ), pour lesquels il arrive que des représentations automorphes puissent être dérivées de fonctions analytiques. Dans un sens, cela ne contredit pas Siegel ; la théorie moderne a ses propres directions, différentes.

Les développements ultérieurs incluent la théorie de l'hyperfonction et le théorème du bord du coin , tous deux inspirés par la théorie quantique des champs . Il existe un certain nombre d'autres domaines, comme la théorie de l'algèbre de Banach , qui s'appuient sur plusieurs variables complexes.

L' espace de coordonnées complexe est le produit cartésien de n copies de , et lorsque est un domaine d'holomorphie, peut être considéré comme une variété de Stein , et un espace de Stein plus généralisé. est également considéré comme une variété projective complexe , une variété kählérienne , etc. C'est aussi un espace vectoriel de dimension n sur les nombres complexes , ce qui donne sa dimension 2 n sur . Par conséquent, en tant qu'ensemble et en tant qu'espace topologique , peut être identifié à l' espace de coordonnées réel et sa dimension topologique est donc 2 n .

Dans un langage sans coordonnées, tout espace vectoriel sur des nombres complexes peut être considéré comme un espace vectoriel réel de deux fois plus de dimensions, où une structure complexe est spécifiée par un opérateur linéaire J (tel que J ² = − I ) qui définit la multiplication par l' unité imaginaire i .

Tout espace de ce type, en tant qu'espace réel, est orienté . Sur le plan complexe considéré comme un plan cartésien , la multiplication par un nombre complexe w = u + iv peut être représentée par la matrice réelle

avec déterminant

De même, si l'on exprime un opérateur linéaire complexe de dimension finie sous la forme d'une matrice réelle (qui sera composée de blocs 2 × 2 de la forme précitée), alors son déterminant est égal au carré de la valeur absolue du déterminant complexe correspondant. C'est un nombre non négatif, ce qui implique que l'orientation (réelle) de l'espace n'est jamais inversée par un opérateur complexe. Il en va de même pour les jacobiennes de fonctions holomorphes de à .

Une fonction f définie sur un domaine et de valeurs dans est dite holomorphe en un point si elle est complexe-différentiable en ce point, au sens où il existe une application linéaire complexe telle que

La fonction f est dite holomorphe si elle est holomorphe en tout point de son domaine de définition D .

Si f est holomorphe, alors toutes les applications partielles :

sont holomorphes en fonction d'une variable complexe : on dit que f est holomorphe pour chaque variable séparément. Inversement, si f est holomorphe pour chaque variable séparément, alors f est en fait holomorphe : c'est ce qu'on appelle le théorème de Hartog , ou le lemme d'Osgood sous l'hypothèse supplémentaire que f est continue .

Dans une variable complexe, une fonction définie sur le plan est holomorphe en un point si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire satisfont les équations dites de Cauchy-Riemann en :

En plusieurs variables, une fonction est holomorphe si et seulement si elle est holomorphe en chaque variable séparément, et donc si et seulement si la partie réelle et la partie imaginaire de satisfont les équations de Cauchy Riemann :

En utilisant le formalisme des dérivées de Wirtinger , cela peut être reformulé comme : ou encore de manière plus compacte en utilisant le formalisme des formes différentielles complexes , comme :

Démontrer la suffisance de deux conditions (A) et (B). Soit f satisfait aux conditions d'être continue et séparément homomorphe sur le domaine D . Chaque disque a une courbe rectifiable , est lisse par morceaux , courbe fermée de classe Jordan. ( ) Soit le domaine entouré par chaque . La fermeture du produit cartésien est . De plus, prenons le polydisque fermé de sorte qu'il devienne . ( et soit le centre de chaque disque.) En utilisant la formule intégrale de Cauchy d'une variable de manière répétée,

Parce que f est une courbe fermée jordanienne rectifiable et que f est continue, l'ordre des produits et des sommes peut être échangé de sorte que l' intégrale itérée peut être calculée comme une intégrale multiple . Par conséquent,

Comme l'ordre des produits et des sommes est interchangeable, à partir de ( 1 ) nous obtenons

f est une classe -fonction.

A partir de (2), si f est holomorphe, sur polydisque et , l'équation d'évaluation suivante est obtenue.

Le théorème de Liouville est donc valable.

Si la fonction f est holomorphe, sur polydisque , d'après la formule intégrale de Cauchy, on voit qu'elle peut être développée de manière unique à la série entière suivante.

De plus, f qui satisfait les conditions suivantes est appelée fonction analytique.

Pour chaque point , s'exprime sous la forme d'un développement en série entière convergente sur D :

Nous avons déjà expliqué que les fonctions holomorphes sur polydisque sont analytiques. De plus, à partir du théorème de Weierstrass, nous pouvons voir que la fonction analytique sur polydisque (série convergente) est holomorphe.

Si une suite de fonctions converge uniformément sur des compacta à l'intérieur d'un domaine D , la fonction limite f de converge également uniformément sur des compacta à l'intérieur d'un domaine D . De plus, la dérivée partielle respective de converge également de manière compacte sur le domaine D vers la dérivée correspondante de f .

Il est possible de définir une combinaison de nombres réels positifs telle que la série entière converge uniformément en et ne converge pas uniformément en . $r\_\{\; u\; \},\{\; ext\{\; for\; all\; \}\}\; u\; =1,\backslash dots\; ,n\; ight\backslash \left\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in C^n;|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },\text{for all}\nu =1,\dots ,n\right\}$r_{ u },{ ext{ pour tout }} u =1,\dots ,n ight\}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58451db120800d1732bfad385fe3f8ad4ebe95ed">

De cette façon, il est possible d'obtenir une combinaison similaire de rayons de convergence pour une variable complexe. Cette combinaison n'est généralement pas unique et il existe un nombre infini de combinaisons.

Soient holomorphes dans l’ anneau et continus sur leur circonférence, alors il existe le développement suivant ;

L'intégrale dans le deuxième terme, du côté droit, est effectuée de manière à voir le zéro à gauche dans chaque plan, de plus cette série intégrée est uniformément convergente dans l'anneau , où et , et il est donc possible d'intégrer le terme. $r\_\{\; u{r}_{\nu }^{\prime }>r_{\nu }$r_{ u }}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753a3b3c368d12aa5e5c9badecfd5d6e88ff9f0a">

La formule intégrale de Cauchy n'est valable que pour les polydisques, et dans le domaine de plusieurs variables complexes, les polydisques ne sont qu'un des nombreux domaines possibles, nous introduisons donc la formule de Bochner-Martinelli .

Supposons que f soit une fonction continûment différentiable sur la fermeture d'un domaine D sur à bord lisse par morceaux , et que le symbole désigne le produit extérieur ou en coin des formes différentielles. Alors la formule de Bochner–Martinelli stipule que si z est dans le domaine D alors, pour , z dans le noyau de Bochner–Martinelli est une forme différentielle dans de bidegré , définie par

En particulier, si f est holomorphe, le deuxième terme s'annule, donc

Les fonctions holomorphes à plusieurs variables complexes satisfont à un théorème d'identité , comme dans le cas d'une variable : deux fonctions holomorphes définies sur le même ouvert connexe et qui coïncident sur un ouvert N de D , sont égales sur tout l'ouvert D . Ce résultat peut être démontré par le fait que les fonctions holomorphes ont des extensions en séries entières, et il peut aussi être déduit du cas d'une variable. Contrairement au cas d'une variable, il est possible que deux fonctions holomorphes différentes coïncident sur un ensemble qui a un point d'accumulation, par exemple les applications et coïncident sur toute la droite complexe de définie par l'équation .

Le principe maximal , le théorème de la fonction inverse et les théorèmes de fonction implicite sont également valables. Pour une version généralisée du théorème de fonction implicite aux variables complexes, voir le théorème de préparation de Weierstrass .

À partir de l’établissement du théorème de la fonction inverse, l’application suivante peut être définie.

Pour le domaine U , V de l' espace complexe n -dimensionnel , la fonction holomorphe bijective et l'application inverse sont également holomorphes. A ce stade, on parle aussi de biholomorphisme U , V , on dit que U et V sont biholomorphiquement équivalents ou qu'ils sont biholomorphes.

Lorsque , les boules ouvertes et les polydisques ouverts ne sont pas biholomorphiquement équivalents, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'application biholomorphe entre les deux. Cela a été prouvé par Poincaré en 1907 en montrant que leurs groupes d'automorphismes ont des dimensions différentes en tant que groupes de Lie . Cependant, même dans le cas de plusieurs variables complexes, il existe des résultats similaires aux résultats de la théorie de l'uniformisation dans une variable complexe. $1n>1$1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64">

Soit U, V un ensemble de domaines sur , tel que et , ( est l'ensemble/anneau des fonctions holomorphes sur U .) supposons que et est une composante connexe de . Si alors f est dit connexe à V , et g est dit continuation analytique de f . D'après le théorème d'identité, si g existe, pour chaque manière de choisir W il est unique. Lorsque n > 2, le phénomène suivant se produit en fonction de la forme de la frontière : il existe un domaine U , V , tel que toutes les fonctions holomorphes sur le domaine U , aient une continuation analytique . En d'autres termes, il peut ne pas exister de fonction telle que comme frontière naturelle. On parle alors de phénomène de Hartogs. Par conséquent, rechercher quand les frontières de domaines deviennent des frontières naturelles est devenu l'un des principaux thèmes de recherche de plusieurs variables complexes. De plus, lorsque , il se pourrait que le V ci-dessus ait une partie d'intersection avec U autre que W . Cela a contribué à l'avancement de la notion de cohomologie de faisceaux.

Dans les polydisques, la formule intégrale de Cauchy est valable et le développement en série entière des fonctions holomorphes est défini, mais les polydisques et les boules unitaires ouvertes ne sont pas des applications biholomorphes car le théorème d'application de Riemann n'est pas valable, et de plus, les polydisques permettent la séparation des variables, mais cela n'est pas toujours valable pour n'importe quel domaine. Par conséquent, afin d'étudier le domaine de convergence des séries entières, il était nécessaire d'apporter des restrictions supplémentaires au domaine, ce fut le domaine de Reinhardt. Les premières connaissances sur les propriétés du domaine d'étude de plusieurs variables complexes, telles que les fonctions logarithmiques convexes, le théorème d'extension de Hartogs, etc., ont été données dans le domaine de Reinhardt.

Soit ( ) un domaine de centre en un point , tel que, avec chaque point , le domaine contienne également l'ensemble

Un domaine D est appelé domaine de Reinhardt s'il satisfait les conditions suivantes :

Soit un nombre réel arbitraire, un domaine D invariant par la rotation : .

Les domaines de Reinhardt qui sont définis par la condition suivante : Avec tous les points de , le domaine contient l'ensemble

Un domaine de Reinhardt D est appelé domaine de Reinhardt complet avec centre en un point a si avec tout point il contient également le polydisque

Un domaine de Reinhardt complet D est en forme d'étoile par rapport à son centre a . Par conséquent, le domaine de Reinhardt complet est simplement connexe , même lorsque le domaine de Reinhardt complet est la ligne frontière, il existe un moyen de prouver le théorème intégral de Cauchy sans utiliser le théorème de la courbe de Jordan .

Lorsqu'un domaine de Reinhardt complet doit être le domaine de convergence d'une série entière, une condition supplémentaire est requise, appelée logarithmiquement convexe.

Un domaine de Reinhardt D est dit logarithmiquement convexe si l'image de l'ensemble

sous la cartographie

est un ensemble convexe dans l'espace de coordonnées réelles .

Tout domaine de ce type dans est l'intérieur de l'ensemble des points de convergence absolue d'une série entière dans , et inversement ; Le domaine de convergence de toute série entière dans est un domaine de Reinhardt logarithmiquement convexe de centre . Mais il existe un exemple de domaine de Reinhardt complet D qui n'est pas logarithmiquement convexe.

En examinant le domaine de convergence sur le domaine de Reinhardt, Hartogs a découvert le phénomène de Hartogs dans lequel les fonctions holomorphes dans un domaine sur le étaient toutes connectées à un domaine plus grand.

Sur le polydisque constitué de deux disques lorsque .

Domaine interne de

Théorème d'extension de Hartogs (1906) ; Soit f une fonction holomorphe sur un ensemble G \ K , où G est un domaine borné (entouré par une courbe de Jordan fermée rectifiable) sur ( n ≥ 2 ) et K est un sous-ensemble compact de G . Si le complément G \ K est connexe, alors chaque fonction holomorphe f, quelle que soit la manière dont elle est choisie, peut être étendue à une fonction holomorphe unique sur G .

On l'appelle aussi théorème d'Osgood-Brown car pour les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, la singularité est un point d'accumulation et non un point isolé. Cela signifie que les diverses propriétés qui s'appliquent aux fonctions holomorphes de variables complexes à une variable ne s'appliquent pas aux fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes. La nature de ces singularités est également dérivée du théorème de préparation de Weierstrass . Une généralisation de ce théorème utilisant la même méthode que celle de Hartogs a été prouvée en 2007.

D'après le théorème d'extension de Hartogs, le domaine de convergence s'étend de à . En considérant cela du point de vue du domaine de Reinhardt, le domaine de Reinhardt contenant le centre z = 0 est le domaine de Reinhardt, et le domaine de convergence de a été étendu au plus petit domaine de Reinhardt complet contenant .

Le résultat classique de Thullen dit qu'un domaine de Reinhard borné à 2 dimensions contenant l'origine est biholomorphe à l'un des domaines suivants à condition que l'orbite de l'origine par le groupe d'automorphismes ait une dimension positive :

1. (polydisque);
2. (boule unité) ;
3. (Domaine de Thullen).

Toshikazu Sunada (1978) a établi une généralisation du résultat de Thullen :

Deux domaines de Reinhardt bornés de dimension n et sont mutuellement biholomorphes si et seulement s'il existe une transformation donnée par , étant une permutation des indices), telle que .$0)z_i\mapsto r_i{z}_{\sigma \left(i\right)}(r_i>0)$0)}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbdb0fb2483b460aa0173f9149ea91a3bd97a4e">

Lorsqu'on passe de la théorie d'une variable complexe à la théorie de plusieurs variables complexes, selon l'étendue du domaine, il peut ne pas être possible de définir une fonction holomorphe telle que la frontière du domaine devienne une frontière naturelle. Considérant le domaine où les frontières du domaine sont des frontières naturelles ( appelées dans l'espace de coordonnées complexes le domaine de l'holomorphie), le premier résultat du domaine de l'holomorphie fut la convexité holomorphe de H. Cartan et Thullen. Le problème de Levi montre que le domaine pseudoconvexe était un domaine de l'holomorphie. (D'abord pour , étendu plus tard à . ) La notion d'idéal de domaines indéterminés de Kiyoshi Oka est interprétée comme la théorie de la cohomologie des faisceaux par H. Cartan et plus de développement Serre. En cohomologie des faisceaux, le domaine de l'holomorphie en est venu à être interprété comme la théorie des variétés de Stein. La notion de domaine de l'holomorphie est également considérée dans d'autres variétés complexes, de plus également dans l'espace analytique complexe qui en est la généralisation.

Lorsqu'une fonction f est holomorphe sur le domaine et ne peut pas se connecter directement au domaine extérieur à D , y compris le point de la frontière du domaine , le domaine D est appelé le domaine d'holomorphie de f et la frontière est appelée la frontière naturelle de f . En d'autres termes, le domaine d'holomorphie D est le supremum du domaine où la fonction holomorphe f est holomorphe, et le domaine D , qui est holomorphe, ne peut plus être étendu. Pour plusieurs variables complexes, c'est-à-dire le domaine , les frontières peuvent ne pas être des frontières naturelles. Le théorème d'extension de Hartogs donne un exemple de domaine où les frontières ne sont pas des frontières naturelles.

Formellement, un domaine D dans l' espace de coordonnées complexe de dimension n est appelé domaine d'holomorphie s'il n'existe pas de domaine non vide et , et tel que pour toute fonction holomorphe f sur D il existe une fonction holomorphe g sur V avec sur U .

Pour le cas présent, le domaine tout ( ) était le domaine de l'holomorphie ; on peut définir une fonction holomorphe avec des zéros s'accumulant partout sur la frontière du domaine, qui doit alors être une frontière naturelle pour un domaine de définition de sa réciproque.

• Si sont des domaines d'holomorphie, alors leur intersection est également un domaine d'holomorphie.
• Si est une suite croissante de domaines d'holomorphie, alors leur union est également un domaine d'holomorphie (voir théorème de Behnke–Stein ).
• Si et sont des domaines d'holomorphie, alors est un domaine d'holomorphie.
• Le premier problème de Cousin est toujours résoluble dans un domaine d'holomorphie, Cartan a également montré que l'inverse de ce résultat était incorrect pour . ceci est également vrai, avec des hypothèses topologiques supplémentaires, pour le deuxième problème de Cousin.

Soit un domaine, ou alternativement pour une définition plus générale, soit une variété analytique complexe de dimension . De plus, soit pour l'ensemble des fonctions holomorphes sur G . Pour un ensemble compact , l' enveloppe holomorphiquement convexe de K est

On obtient un concept plus restreint d' enveloppe polynomialement convexe en prenant plutôt pour ensemble les fonctions polynomiales à valeurs complexes sur G . L'enveloppe polynomialement convexe contient l'enveloppe holomorphement convexe.

Le domaine est dit holomorphe-convexe si pour tout sous-ensemble compact il est également compact dans G . Parfois, on l'abrège simplement en holomorphe-convexe .

Lorsque , tout domaine est holomorphiquement convexe car alors est l'union de K avec les composantes relativement compactes de .

Lorsque , si f satisfait la convexité holomorphe ci-dessus sur D , il a les propriétés suivantes. pour tout sous-ensemble compact K dans D , où désigne la distance entre K et . De plus, à ce moment, D est un domaine d'holomorphie. Par conséquent, tout domaine convexe est un domaine d'holomorphie.

Hartogs a montré que

Hartogs (1906) : Soit D un ensemble de domaines de Hartogs sur et R une fonction positive sur D telle que l'ensemble dans défini par et soit un ensemble de domaines d'holomorphie. Alors est une fonction sous-harmonique sur D .

Si une telle relation est valable dans le domaine de l'holomorphie de plusieurs variables complexes, elle semble être une condition plus gérable qu'une fonction holomorphiquement convexe. La fonction sous-harmonique ressemble à une sorte de fonction convexe , c'est pourquoi Levi l'a nommée domaine pseudo-convexe (pseudo-convexité de Hartogs). Les domaines pseudo-convexes (frontière de pseudo-convexité) sont importants, car ils permettent la classification des domaines d'holomorphie. Un domaine d'holomorphie est une propriété globale, en revanche, la pseudo-convexité est la propriété analytique locale ou géométrique locale de la frontière d'un domaine.

Une fonction

avec domaine

est dit plurisubharmonique s'il est semi-continu supérieur , et pour toute ligne complexe

la fonction est une fonction sous-harmonique sur l'ensemble

En généralité , la notion peut être définie sur une variété complexe quelconque ou même sur un espace analytique complexe comme suit. Une fonction semi-continue supérieure

est dit plurisubharmonique si et seulement si pour toute application holomorphe

est sous-harmonique, où désigne le disque unité.

Dans une fonction complexe à une variable, la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction à valeurs réelles , qui peut être différentiable au second ordre par rapport à z d'une fonction complexe à une variable soit sous-harmonique est . Par conséquent, si est de classe , alors est plurisous-harmonique si et seulement si la matrice hermitienne est semi-définie positive.

De manière équivalente, une fonction u est plurisubharmonique si et seulement si est une forme positive (1,1) .

Lorsque la matrice hermitienne de u est définie positive et de classe , nous appelons u une fonction plurisubharmonique stricte.

On définit pseudoconvexe faible comme : Soit un domaine. On dit que X est pseudoconvexe s'il existe une fonction plurisubharmonique continue sur X telle que l'ensemble soit un sous-ensemble relativement compact de X pour tous les nombres réels x . c'est-à-dire qu'il existe une fonction d'exhaustion plurisubharmonique lisse . Souvent, la définition de pseudoconvexe est utilisée ici et s'écrit comme ; Soit X une variété complexe de dimension n . On dit alors qu'il est pseudoconvexe faible s'il existe une fonction d'exhaustion plurisubharmonique lisse .

Soit X une variété complexe de dimension n . Fortement (ou strictement) pseudoconvexe s'il existe une fonction d'exhaustion strictement plurisubharmonique lisse , c'est- à-dire définie positive en tout point. Le domaine fortement pseudoconvexe est le domaine pseudoconvexe. Fortement pseudoconvexe et strictement pseudoconvexe (c'est-à-dire 1-convexe et 1-complet ) sont souvent utilisés de manière interchangeable, voir Lempert pour la différence technique.

Si frontière , on peut montrer que D a une fonction définissante ; c'est-à-dire qu'il existe qui est tel que , et . Or, D est pseudoconvexe ssi pour tout et dans l'espace tangent complexe en p, c'est-à-dire,

Si D n’a pas de frontière, le résultat d’approximation suivant peut être utile.

Proposition 1 Si D est pseudoconvexe, alors il existe des domaines pseudoconvexes bornés , fortement Levi, de limite de classe , qui sont relativement compacts dans D , tels que

C'est parce qu'une fois que nous avons un as dans la définition, nous pouvons réellement trouver une fonction d'épuisement.

Lorsque la forme de Levi (–Krzoska) est définie positive, elle est appelée pseudoconvexe fortement Levi (–Krzoska) ou souvent appelée simplement pseudoconvexe fortement (ou strictement).

Si pour tout point bord de D , il existe une variété analytique passante qui se trouve entièrement à l'extérieur de D dans un voisinage autour de , sauf le point lui-même. Le domaine D qui satisfait ces conditions est appelé pseudoconvexe total de Levi.

Soient n -fonctions continues sur , holomorphes en lorsque le paramètre t est fixé dans [0, 1], et supposons que ne sont pas toutes nulles en aucun point de . Alors l'ensemble est appelé un disque analytique dépendant d'un paramètre t , et est appelé sa coque. Si et , Q(t) est appelé Famille de disques d'Oka.

Lorsque D est vrai sur une famille quelconque du disque d'Oka, D est appelé pseudoconvexe d'Oka. La preuve d'Oka du problème de Levi était que lorsque le domaine de Riemann non ramifié sur était un domaine d'holomorphie (holomorphiquement convexe), il était prouvé qu'il était nécessaire et suffisant que chaque point frontière du domaine d'holomorphie soit un pseudoconvexe d'Oka.

Pour tout point il existe un voisinage U de x et f holomorphe. (c'est-à-dire être holomorphiquement convexe.) tel que f ne puisse être étendu à aucun voisinage de x . c'est-à- dire, soit une application holomorphe, si tout point a un voisinage U tel qu'admet une fonction d'exhaustion -plurisubharmonique (faiblement 1-complète ), dans cette situation, on dit que X est localement pseudoconvexe (ou localement Stein) sur Y . Comme ancien nom, on l'appelle aussi pseudoconvexe de Cartan. Dans le domaine localement pseudoconvexe est lui-même un domaine pseudoconvexe et c'est un domaine d'holomorphie. Par exemple, Diederich–Fornæss a trouvé des domaines bornés pseudoconvexes locaux à bord lisse sur des variétés non kählériennes tels que ce ne soit pas faiblement 1-complet.

Pour un domaine, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. D est un domaine d'holomorphie.
2. D est holomorphiquement convexe.
3. D est l'union d'une suite croissante de polyèdres analytiques dans D .
4. D est pseudoconvexe.
5. D est localement pseudoconvexe.

Les implications , , et sont des résultats standards. Démonstration , c'est-à-dire construction d'une fonction holomorphe globale qui n'admet aucune extension à partir de fonctions non extensibles définies seulement localement. Ceci est appelé le problème de Levi (d'après EE Levi ) et a été résolu pour les domaines de Riemann non ramifiés par Kiyoshi Oka, mais pour les domaines de Riemann ramifiés, la pseudoconvexité ne caractérise pas la convexité holomorphe, puis par Lars Hörmander en utilisant des méthodes d'analyse fonctionnelle et d'équations aux dérivées partielles (une conséquence de -problem(equation) avec un L ² méthodes ).

L'introduction de faisceaux dans plusieurs variables complexes a permis la reformulation et la solution de plusieurs problèmes importants dans le domaine.

Oka a introduit la notion qu'il a appelée « idéal de domaines indéterminés ». Plus précisément, il s'agit d'un ensemble de paires , holomorphes sur un ouvert non vide , tel que

1. Si et est arbitraire, alors .
2. Pour chaque , alors

L'origine des domaines indéterminés vient du fait que les domaines changent en fonction du couple . Cartan a traduit cette notion en notion de faisceau cohérent (notamment faisceau analytique cohérent) en cohomologie des faisceaux. Ce nom vient de H. Cartan. De plus, Serre (1955) a introduit la notion de faisceau cohérent en géométrie algébrique, c'est-à-dire la notion de faisceau algébrique cohérent. La notion de faisceau cohérent ( cohomologie des faisceaux cohérents ) a permis de résoudre les problèmes en plusieurs variables complexes.

La définition du faisceau cohérent est la suivante. Un faisceau quasi-cohérent sur un espace annelé est un faisceau de - modules qui a une présentation locale, c'est-à-dire que chaque point de a un voisinage ouvert dans lequel il existe une suite exacte

pour certains ensembles (éventuellement infinis) et .

Un faisceau cohérent sur un espace annelé est un faisceau satisfaisant les deux propriétés suivantes :

1. type fini sur , c'est-à-dire que tout point de possède un voisinage ouvert dans tel qu'il existe un morphisme surjectif pour un nombre naturel ;
2. pour chaque ouvert , entier et morphisme arbitraire de -modules, le noyau de est de type fini.$0n>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96">

Les morphismes entre faisceaux (quasi-)cohérents sont les mêmes que les morphismes de faisceaux de -modules.

Aussi, Jean-Pierre Serre (1955) prouve que

Si dans une séquence exacte de faisceaux de -modules, deux des trois faisceaux sont cohérents, alors le troisième l'est également.

Le théorème cohérent (Oka–Cartan) dit que chaque faisceau qui répond aux conditions suivantes est cohérent.

1. le faisceau de germes de fonctions holomorphes sur , ou le faisceau de structures de sous-variétés complexes ou de tout espace analytique complexe
2. le faisceau idéal d'un sous-ensemble analytique A d'un sous-ensemble ouvert de . (Cartan 1950 )
3. la normalisation du faisceau de structures d'un espace analytique complexe

D'après le théorème de Serre (1955) ci-dessus, il existe un faisceau cohérent, également, (i) est utilisé pour prouver les théorèmes de Cartan A et B.

Dans le cas de fonctions complexes à une variable, le théorème de Mittag-Leffler permet de créer une fonction méromorphe globale à partir d'une partie principale et d'une partie donnée (problème de Cousin I), et le théorème de factorisation de Weierstrass permet de créer une fonction méromorphe globale à partir d'un nombre donné de zéros ou d'un lieu nul (problème de Cousin II). Cependant, ces théorèmes ne sont pas valables pour plusieurs variables complexes car les singularités de la fonction analytique dans plusieurs variables complexes ne sont pas des points isolés ; ces problèmes sont appelés problèmes de Cousin et sont formulés en termes de cohomologie de faisceau. Ils ont été introduits pour la première fois dans des cas particuliers par Pierre Cousin en 1895. C'est Oka qui a montré les conditions de résolution du premier problème de Cousin pour le domaine de l'holomorphie sur l'espace de coordonnées complexe, résolvant également le second problème de Cousin avec des hypothèses topologiques supplémentaires. Le problème de Cousin est un problème relatif aux propriétés analytiques des variétés complexes, mais les seuls obstacles à la résolution des problèmes d'une propriété analytique complexe sont purement topologiques ; Serre a appelé cela le principe d'Oka. Ils sont maintenant posés, et résolus, pour une variété complexe quelconque M , en termes de conditions sur M . M , qui satisfait ces conditions, est une façon de définir une variété de Stein. L'étude du problème de Cousin nous a fait réaliser que dans l'étude de plusieurs variables complexes, il est possible d'étudier des propriétés globales à partir du rapiéçage de données locales, c'est-à-dire qu'elle a développé la théorie de la cohomologie des faisceaux. (par exemple séminaire Cartan. )

Sans le langage des faisceaux, le problème peut être formulé comme suit. Sur une variété complexe M , on dispose de plusieurs fonctions méromorphes ainsi que des domaines où elles sont définies, et où chaque différence est holomorphe (où que la différence soit définie). Le premier problème de Cousin demande alors une fonction méromorphe sur M telle que soit holomorphe sur ; autrement dit, qui partage le comportement singulier de la fonction locale donnée.

Soit maintenant K le faisceau des fonctions méromorphes et O le faisceau des fonctions holomorphes sur M. Le problème de Cousin premier peut toujours être résolu si l'application suivante est surjective :

Par la longue séquence de cohomologie exacte ,

est exacte, et donc le premier problème de Cousin est toujours résoluble à condition que le premier groupe de cohomologie H ¹ ( M , O ) soit nul. En particulier, d'après le théorème B de Cartan , le problème de Cousin est toujours résoluble si M est une variété de Stein.

Le deuxième problème Cousin commence par une configuration similaire au premier, en spécifiant à la place que chaque rapport est une fonction holomorphe non nulle (où ladite différence est définie). Il demande une fonction méromorphe sur M telle qu'elle soit holomorphe et non nulle.

Soit le faisceau de fonctions holomorphes qui ne s'annulent nulle part, et le faisceau de fonctions méromorphes qui ne sont pas identiquement nulles. Ce sont alors tous deux des faisceaux de groupes abéliens , et le faisceau quotient est bien défini. Si l'application suivante est surjective, alors le problème du cousin germain peut être résolu :

La séquence de cohomologie du faisceau exact long associée au quotient est

donc le problème du second cousin est résoluble dans tous les cas à condition que

Le groupe de cohomologie pour la structure multiplicative sur peut être comparé au groupe de cohomologie avec sa structure additive en prenant un logarithme. C'est-à-dire qu'il existe une suite exacte de faisceaux

où le faisceau le plus à gauche est le faisceau localement constant avec la fibre . L'obstacle à la définition d'un logarithme au niveau de H ¹ est dans , à partir de la longue séquence de cohomologie exacte

Lorsque M est une variété de Stein, la flèche du milieu est un isomorphisme car pour qu'une condition nécessaire et suffisante dans ce cas pour que le problème du second Cousin soit toujours résoluble est que (Cette condition est appelée principe d'Oka.) $0q>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482e0a33d9e8fd6307b5f68a5182c2d0d14efc9c">

Puisqu'une surface de Riemann non compacte (ouverte) a toujours une fonction holomorphe à valeur unique non constante, et satisfait le deuxième axiome de dénombrement , la surface de Riemann ouverte est en fait une variété complexe de dimension 1 possédant une application holomorphe dans le plan complexe . (En fait, Gunning et Narasimhan ont montré (1967) que toute surface de Riemann non compacte a en fait une immersion holomorphe dans le plan complexe. En d'autres termes, il existe une application holomorphe dans le plan complexe dont la dérivée ne s'annule jamais.) Le théorème d'encastrement de Whitney nous dit que toute variété n -dimensionnelle lisse peut être plongée comme une sous-variété lisse de , alors qu'il est « rare » qu'une variété complexe ait un encastrement holomorphe dans . Par exemple, pour une variété complexe connexe compacte quelconque X , toute fonction holomorphe sur elle est constante par le théorème de Liouville, et donc elle ne peut pas avoir de plongement dans un n-espace complexe. C'est-à-dire que pour plusieurs variables complexes, les variétés complexes arbitraires n'ont pas toujours de fonctions holomorphes qui ne sont pas des constantes. Considérons donc les conditions dans lesquelles une variété complexe a une fonction holomorphe qui n'est pas une constante. Maintenant, si nous avions un plongement holomorphe de X dans , alors les fonctions de coordonnées de se limiteraient aux fonctions holomorphes non constantes sur X , ce qui contredirait la compacité, sauf dans le cas où X est juste un point. Les variétés complexes qui peuvent être plongées holomorphes dans sont appelées variétés de Stein. Les variétés de Stein satisfont également le deuxième axiome de dénombrement.

Une variété de Stein est une sous-variété complexe de l' espace vectoriel à n dimensions complexes. Elles ont été introduites et nommées d'après Karl Stein (1951). Un espace de Stein est similaire à une variété de Stein mais peut avoir des singularités. Les espaces de Stein sont les analogues des variétés affines ou des schémas affines en géométrie algébrique. Si le domaine univalent sur est une connexion à une variété, peut être considéré comme une variété complexe et satisfait la condition de séparation décrite plus loin, la condition pour devenir une variété de Stein est de satisfaire la convexité holomorphe. Par conséquent, la variété de Stein est les propriétés du domaine de définition de la continuation analytique (maximale) d'une fonction analytique.

Supposons que X soit une variété complexe paracompacte de dimension complexe et que l' on désigne l'anneau des fonctions holomorphes sur X . On appelle X une variété de Stein si les conditions suivantes sont remplies :

1. X est holomorphiquement convexe, c'est-à-dire que pour tout sous-ensemble compact , on parle d' enveloppe holomorphiquement convexe ,
   est également un sous-ensemble compact de X .
2. X est holomorphiquement séparable , c'est-à-dire que si sont deux points dans X , alors il existe tel que
3. Le voisinage ouvert de chaque point de la variété possède une carte holomorphe au .

Notez que la condition (3) peut être dérivée des conditions (1) et (2).

Soit X une surface de Riemann connexe, non compacte (ouverte) . Un théorème profond de Behnke et Stein (1948) affirme que X est une variété de Stein.

Un autre résultat, attribué à Hans Grauert et Helmut Röhrl (1956), énonce en outre que tout fibré vectoriel holomorphe sur X est trivial. En particulier, tout fibré en ligne est trivial, donc . La suite des faisceaux exponentiels conduit à la suite exacte suivante :

Or, le théorème B de Cartan montre que , donc .

Ceci est lié à la solution du problème du deuxième cousin (multiplicatif) .

Cartan a étendu le problème de Levi aux variétés de Stein.

Si l' ouvert compact relatif de la variété de Stein X est localement pseudo-convexe, alors D est une variété de Stein, et inversement, si D est localement pseudo-convexe, alors X est une variété de Stein. c'est-à-dire que alors X est une variété de Stein si et seulement si D est localement la variété de Stein.

Ceci a été prouvé par Bremermann en l'incorporant dans une dimension suffisamment élevée et en le réduisant au résultat d'Oka.

De plus, Grauert a prouvé pour des variétés complexes arbitraires M .

Si le sous-ensemble compact relatif d'une variété complexe quelconque M est fortement pseudoconvexe sur M , alors M est une variété holomorphe convexe (c'est-à-dire de Stein). De plus, D est elle-même une variété de Stein.

Et Narasimhan a étendu le problème de Levi à l’espace analytique complexe , généralisé au cas singulier des variétés complexes.

Un espace analytique complexe qui admet une fonction d'épuisement strictement plurisubharmonique continue (c'est-à-dire fortement pseudoconvexe) est l'espace de Stein.

Le problème de Levi reste non résolu dans les cas suivants :

Supposons que X soit un espace de Stein singulier, . Supposons que pour tout il existe un voisinage ouvert tel que soit un espace de Stein. D est -il lui-même un espace de Stein ?

plus généralisé

Supposons que N soit un espace de Stein et f un injectif, ainsi qu'un domaine non ramifié de Riemann, tels que l'application f soit une application localement pseudoconvexe (c'est-à-dire un morphisme de Stein). Alors M est lui-même Stein ?

et aussi,

Supposons que X soit un espace de Stein et une réunion croissante d'ouverts de Stein. Alors D est lui-même Stein ?

Cela signifie que le théorème de Behnke-Stein, qui est valable pour les variétés de Stein, n'a pas trouvé de conditions à établir dans l'espace de Stein.

Grauert a introduit le concept de K-complet dans la preuve du problème de Levi.

Soit X une variété complexe, X est K-complet si, en tout point , il existe un nombre fini d'applications holomorphes de X dans , , telles que soit un point isolé de l'ensemble . Ce concept s'applique également à l'espace analytique complexe.

• L' espace complexe standard est une variété de Stein.
• Chaque domaine d'holomorphie dans est une variété de Stein.
• Il peut être démontré assez facilement que toute sous-variété complexe fermée d'une variété de Stein est également une variété de Stein.
• Le théorème d'encastrement pour les variétés de Stein énonce ce qui suit : Toute variété de Stein X de dimension complexe n peut être encastrée dans une application propre biholomorphe .

Ces faits impliquent qu'une variété de Stein est une sous-variété complexe fermée de l'espace complexe, dont la structure complexe est celle de l' espace ambiant (car l'encastrement est biholomorphe).

• Toute variété de Stein de dimension (complexe) n a le type d'homotopie d'un complexe CW de dimension n .
• En dimension complexe, la condition de Stein peut être simplifiée : une surface de Riemann connexe est une variété de Stein si et seulement si elle n'est pas compacte. Ceci peut être démontré en utilisant une version du théorème de Runge pour les surfaces de Riemann, due à Behnke et Stein.
• Toute variété de Stein X est holomorphiquement étalable, c'est-à-dire que pour tout point , il existe n fonctions holomorphes définies sur l'ensemble de X qui forment un système de coordonnées local lorsqu'elles sont restreintes à un voisinage ouvert de x .
• Le problème du premier cousin peut toujours être résolu sur une variété de Stein.
• Être une variété de Stein équivaut à être une variété fortement pseudoconvexe (complexe) . Cette dernière signifie qu'elle possède une fonction exhaustive fortement pseudoconvexe (ou plurisubharmonique ), c'est-à-dire une fonction réelle lisse sur X (qui peut être supposée être une fonction de Morse ) avec , telle que les sous-ensembles soient compacts dans X pour tout nombre réel c . C'est une solution au problème dit de Levi , du nom de EE Levi (1911). La fonction invite à une généralisation de la variété de Stein à l'idée d'une classe correspondante de variétés complexes compactes à bord appelée domaine de Stein . Un domaine de Stein est la préimage de . Certains auteurs appellent donc de telles variétés des variétés strictement pseudoconvexes.$0i\partial \overline{\partial }\psi >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa8412c898cfa98affbc8ec3f54e60d8bc50412">
• En lien avec le point précédent, une autre définition équivalente et plus topologique en dimension complexe 2 est la suivante : une surface de Stein est une surface complexe X avec une fonction Morse à valeurs réelles f sur X telle que, loin des points critiques de f , le champ de tangences complexes à la préimage soit une structure de contact qui induit une orientation sur X _c en accord avec l'orientation habituelle comme frontière de C'est-à-dire qu'il s'agit d'un remplissage de Stein de X _c .

Il existe de nombreuses autres caractérisations de telles variétés, notamment la propriété qu'elles possèdent de « nombreuses » fonctions holomorphes prenant des valeurs dans les nombres complexes. Voir par exemple les théorèmes A et B de Cartan , relatifs à la cohomologie des faisceaux .

Dans l' ensemble d'analogies GAGA , les variétés de Stein correspondent à des variétés affines .

Les variétés de Stein sont en quelque sorte duales des variétés elliptiques en analyse complexe qui admettent en elles-mêmes « de nombreuses » fonctions holomorphes issues des nombres complexes. On sait qu'une variété de Stein est elliptique si et seulement si elle est fibrante au sens de la théorie dite de l'homotopie holomorphe.

Les fonctions méromorphes dans les fonctions complexes à une variable ont été étudiées dans une surface de Riemann compacte (fermée), car puisque le théorème de Riemann-Roch ( inégalité de Riemann ) est vrai pour les surfaces de Riemann compactes (par conséquent, la théorie des surfaces de Riemann compactes peut être considérée comme la théorie des courbes algébriques (projectives (non singulières) lisses) sur ). En fait, la surface de Riemann compacte avait une fonction méromorphe à valeur unique non constante , et aussi une surface de Riemann compacte avait suffisamment de fonctions méromorphes. Une variété complexe compacte à une dimension était une sphère de Riemann . Cependant, la notion abstraite d'une surface de Riemann compacte est toujours algébrisable ( théorème d'existence de Riemann , théorème d'inclusion de Kodaira .), mais il n'est pas facile de vérifier quels espaces analytiques complexes compacts sont algébrisables. En fait, Hopf a trouvé une classe de variétés complexes compactes sans fonctions méromorphes non constantes. Cependant, il existe un résultat de Siegel qui donne les conditions nécessaires pour que les variétés complexes compactes soient algébriques. La généralisation du théorème de Riemann-Roch à plusieurs variables complexes a d'abord été étendue aux surfaces analytiques compactes par Kodaira, Kodaira a également étendu le théorème aux variétés kählériennes tridimensionnelles, et n-dimensionnelles. Serre a formulé le théorème de Riemann-Roch comme un problème de dimension de cohomologie de faisceaux cohérents , et Serre a également prouvé la dualité de Serre . Cartan et Serre ont démontré la propriété suivante : le groupe de cohomologie est de dimension finie pour un faisceau cohérent sur une variété complexe compacte M. Riemann–Roch sur une surface de Riemann pour un fibré vectoriel a été démontré par Weil en 1938. Hirzebruch a généralisé le théorème aux variétés complexes compactes en 1994 et Grothendieck l'a généralisé à une version relative (énoncés relatifs sur les morphismes .). Ensuite, la généralisation du résultat que « les surfaces de Riemann compactes sont projectives » à la dimension élevée. En particulier, considérons les conditions selon lesquelles lors de l'incorporation de la sous-variété complexe compacte X dans l'espace projectif complexe . Le théorème d'annulation (a été introduit pour la première fois parM , avec une métrique de Hodge, il existe un plongement analytique complexe de M dans un espace projectif complexe de dimension suffisamment élevée N . De plus, le théorème de Chow montre que le sous-espace analytique complexe (sous-variété) d'un espace projectif complexe fermé est un algébrique, c'est-à-dire qu'il est donc le zéro commun de certains polynômes homogènes, une telle relation est un exemple de ce qu'on appelle le principe GAGA de Serre . Le sous-espace analytique complexe (variété) de l'espace projectif complexe a à la fois des propriétés algébriques et analytiques. Ensuite, combiné avec le résultat de Kodaira, une variété kählérienne compacte M s'intègre comme une variété algébrique. Ce résultat donne un exemple d'une variété complexe avec suffisamment de fonctions méromorphes. En gros, le principe GAGA dit que la géométrie des espaces analytiques complexes projectifs (ou variétés) est équivalente à la géométrie des variétés complexes projectives. La combinaison des méthodes analytiques et algébriques pour les variétés projectives complexes conduit à des domaines tels que la théorie de Hodge . De plus, la théorie de la déformation des variétés complexes compactes s'est développée sous la forme de la théorie de Kodaira-Spencer. Cependant, bien qu'il s'agisse d'une variété complexe compacte, il existe des contre-exemples de qui ne peuvent pas être intégrés dans l'espace projectif et ne sont pas algébriques. Analogie des problèmes de Levi sur l'espace projectif complexe de Takeuchi.