Espace de coordonnées complexe

En mathématiques , l' espace des coordonnées complexes à n dimensions (ou espace complexe à n dimensions ) est l'ensemble de tous les n - uplets ordonnés de nombres complexes , également appelés vecteurs complexes . Cet espace est noté ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}</annotation></semantics></math><img src=$ n -ième de la ligne complexe ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\left\{(z_{1},\dots ,z_{n})\mid z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} ight\ <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∣</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mo>}</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\left\{(z_{1},\dots ,z_{n})\mid z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} ight\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} imes \mathbb {C} imes \cdots imes \mathbb {C} } _{n}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><munder><mrow><munder><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>×</mo><mo>⋯</mo><mo>×</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mo>⏟</mo></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munder><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} imes \mathbb {C} imes \cdots imes \mathbb {C} } _{n}.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle z_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>z</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ n . Le cas particulier ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}</annotation></semantics></math><img src=$ Le plan des coordonnées complexes , appelé plan complexe , ne doit pas être confondu avec le plan complexe , une représentation graphique de la droite complexe.

L'espace des coordonnées complexes est un espace vectoriel sur les nombres complexes, muni de l'addition composante par composante et de la multiplication par un scalaire . Les parties réelle et imaginaire des coordonnées définissent une bijection de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}</annotation></semantics></math><img src=$ n dimensions , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}</annotation></semantics></math><img src=$

Une fonction définie sur un ouvert de l'espace complexe à n dimensions est dite holomorphe si elle l'est par rapport à chaque coordonnée complexe prise séparément. L'étude de ces fonctions holomorphes à plusieurs variables complexes porte sur l'ensemble des fonctions holomorphes à n variables. Plus généralement, l'espace complexe à n dimensions est l'espace cible des systèmes de coordonnées holomorphes sur les variétés complexes .