Faisceau de modules

En mathématiques, un faisceau de O -modules ou simplement un O -module sur un espace annelé ( X , O ) est un faisceau F tel que, pour tout ouvert U de X , F ( U ) soit un O ( U )-module et les applications de restriction F ( U ) → F ( V ) soient compatibles avec les applications de restriction O ( U ) → O ( V ) : la restriction de fs est la restriction de f multipliée par la restriction de s pour tout f dans O ( U ) et s dans F ( U ).

Le cas standard est celui où X est un schéma et O son faisceau de structures. Si O est le faisceau constant , alors un faisceau de O -modules est identique à un faisceau de groupes abéliens (c'est-à-dire un faisceau abélien ).

Si X est le spectre premier d'un anneau R , alors tout R -module définit un O _X -module (appelé faisceau associé ) de manière naturelle. De même, si R est un anneau gradué et X est le Proj de R , alors tout module gradué définit un O _X -module de manière naturelle. Les O -modules apparaissant de cette manière sont des exemples de faisceaux quasi-cohérents , et en fait, sur des schémas affines ou projectifs, tous les faisceaux quasi-cohérents sont obtenus de cette manière.

Les faisceaux de modules sur un espace annelé forment une catégorie abélienne . De plus, cette catégorie a suffisamment d'injectifs , et par conséquent on peut définir et définit la cohomologie des faisceaux comme le i -ième foncteur dérivé à droite du foncteur de section globale .

• Étant donné un espace annelé ( X , O ), si F est un O -sous-module de O , alors on l'appelle le faisceau des idéaux ou faisceau idéal de O , car pour tout ouvert U de X , F ( U ) est un idéal de l'anneau O ( U ).
• Soit X une variété lisse de dimension n . Alors le faisceau tangent de X est le dual du faisceau cotangent et le faisceau canonique est la n -ième puissance extérieure ( déterminant ) de .
• Un faisceau d'algèbres est un faisceau de modules qui est aussi un faisceau d'anneaux.

Soit ( X , O ) un espace annelé. Si F et G sont des O -modules, alors leur produit tensoriel, noté

est le O -module qui est le faisceau associé au préfaisceau (Pour voir que la faisceautisation ne peut être évitée, calculez les sections globales de où O (1) est le faisceau torsadé de Serre sur un espace projectif.)

De même, si F et G sont des O -modules, alors

désigne le O -module qui est le faisceau . En particulier, le O -module

est appelé le module dual de F et est noté . Remarque : pour tout O -module E , F , il existe un homomorphisme canonique

qui est un isomorphisme si E est un faisceau localement libre de rang fini. En particulier, si L est localement libre de rang un (un tel L est appelé un faisceau inversible ou un fibré en ligne ), alors cela s'écrit :

ce qui implique que les classes d'isomorphismes des faisceaux inversibles forment un groupe. Ce groupe est appelé groupe de Picard de X et est canoniquement identifié au premier groupe de cohomologie (par l'argument standard avec la cohomologie de Čech ).

Si E est un faisceau localement libre de rang fini, alors il existe une application O -linéaire donnée par l'appariement ; elle est appelée application trace de E .

Pour tout O -module F , l' algèbre tensorielle , l'algèbre extérieure et l'algèbre symétrique de F sont définies de la même manière. Par exemple, la k -ième puissance extérieure

est le faisceau associé au préfaisceau . Si F est localement libre de rang n , alors est appelé le fibré déterminant (bien que techniquement faisceau inversible ) de F , noté det( F ). Il existe un appariement parfait naturel :

Soit f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) un morphisme d'espaces annelés. Si F est un O -module, alors le faisceau image directe est un O' - module par l'application naturelle O ' → f _* O (une telle application naturelle fait partie des données d'un morphisme d'espaces annelés.)

Si G est un O' - module, alors l'image inverse du module de G est le O -module donné comme le produit tensoriel des modules :

où est le faisceau image inverse de G et est obtenu à partir de par adjonction .

Il existe une relation adjointe entre et : pour tout O -module F et O' -module G ,

comme groupe abélien. Il existe aussi la formule de projection : pour un O -module F et un O' -module E localement libre de rang fini,

Soit ( X , O ) un espace annelé. On dit qu'un O -module F est engendré par des sections globales s'il existe une surjection de O -modules :

Explicitement, cela signifie qu'il existe des sections globales s _i de F telles que les images de s _i dans chaque tige F _x génèrent F _x comme O _x -module.

Un exemple d'un tel faisceau est celui associé en géométrie algébrique à un R -module M , R étant un anneau commutatif quelconque , sur le spectre d'un anneau Spec ( R ). Autre exemple : selon le théorème A de Cartan , tout faisceau cohérent sur une variété de Stein est engendré par des sections globales. (cf. le théorème A de Serre ci-dessous.) Dans la théorie des schémas , une notion apparentée est celle de fibré en ligne ample . (Par exemple, si L est un fibré en ligne ample, une certaine puissance de celui-ci est engendrée par des sections globales.)

Un O -module injectif est flasque (c'est-à-dire que toutes les applications de restrictions F ( U ) → F ( V ) sont surjectives.) Puisqu'un faisceau flasque est acyclique dans la catégorie des faisceaux abéliens, cela implique que le i -ème foncteur dérivé à droite du foncteur de section globale dans la catégorie des O -modules coïncide avec la cohomologie habituelle du i -ème faisceau dans la catégorie des faisceaux abéliens.

Soit un module sur un anneau . Posons et écrivons . Pour chaque paire , par la propriété universelle de localisation, il existe une application naturelle

ayant la propriété que . Alors

est un foncteur contravariant de la catégorie dont les objets sont les ensembles D ( f ) et les morphismes les inclusions d'ensembles de la catégorie des groupes abéliens . On peut montrer qu'il s'agit en fait d'un B-faisceau (c'est- à -dire qu'il satisfait l'axiome de recollement) et définit ainsi le faisceau sur X appelé faisceau associé à M.

L'exemple le plus basique est la structure faisceau sur X ; c'est-à-dire . De plus, a la structure de -module et on obtient ainsi le foncteur exact de Mod _A , la catégorie des modules sur A à la catégorie des modules sur . Il définit une équivalence de Mod _A à la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur X , avec l'inverse , le foncteur de section globale . Lorsque X est noethérien , le foncteur est une équivalence de la catégorie des A -modules de type fini à la catégorie des faisceaux cohérents sur X .

La construction a les propriétés suivantes : pour tout A -module M , N , et tout morphisme ,

• Pour tout idéal premier p de A , comme O _p = A _p -module.
• Si M est de présentation finie , .
• _A et la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur X .
• Une suite de A -modules est exacte si et seulement si la suite induite par est exacte. En particulier, .

Il existe un analogue gradué de la construction et de l'équivalence de la section précédente. Soit R un anneau gradué engendré par des éléments de degré un comme R ₀ -algèbre ( R ₀ signifie la pièce de degré zéro) et M un R -module gradué . Soit X le Proj de R (donc X est un schéma projectif si R est noethérien). Alors il existe un O -module tel que pour tout élément homogène f de degré positif de R , il existe un isomorphisme naturel

comme des faisceaux de modules sur le schéma affine ; en fait, cela définit par collage.

Exemple : Soit R (1) le R -module gradué donné par R (1) _n = R _{n +1} . On appelle alors faisceau torsadé de Serre , qui est le dual du fibré en ligne tautologique si R est de degré un finiment engendré.

Si F est un O -module sur X , alors, en écrivant , il existe un homomorphisme canonique :

qui est un isomorphisme si et seulement si F est quasi-cohérent.

La cohomologie des faisceaux a la réputation d'être difficile à calculer. C'est pourquoi le fait général suivant est fondamental pour tout calcul pratique :

Le théorème d'annulation de Serre stipule que si X est une variété projective et F un faisceau cohérent sur elle, alors, pour n suffisamment grand , la torsion de Serre F ( n ) est engendrée par un nombre fini de sections globales. De plus,

1. Pour chaque i , H ⁱ ( X , F ) est engendré de manière finie sur R ₀ , et
2. Il existe un entier n ₀ , dépendant de F , tel que

Soit ( X , O ) un espace annelé, et soient F , H des faisceaux de O -modules sur X . Une extension de H par F est une courte suite exacte de O -modules

Comme pour les extensions de groupe, si l'on fixe F et H , alors toutes les classes d'équivalence des extensions de H par F forment un groupe abélien (cf. somme de Baer ), qui est isomorphe au groupe Ext , où l'élément identité dans correspond à l'extension triviale.

Dans le cas où H est O , on a : pour tout i ≥ 0,

puisque les deux côtés sont les foncteurs dérivés droits du même foncteur

Remarque : Certains auteurs, notamment Hartshorne, abandonnent l' indice O.

Supposons que X est un schéma projectif sur un anneau noethérien. Soient F , G des faisceaux cohérents sur X et i un entier. Alors il existe n ₀ tel que

alors

ainsi

Considérons une hypersurface lisse de degré . Ensuite, nous pouvons calculer une résolution

et je trouve que

Considérez le schéma

où est une intersection lisse complète et , . Nous avons un complexe

en résolvant ce que nous pouvons utiliser pour calculer .