foncteur ext

En mathématiques , les foncteurs Ext sont les foncteurs dérivés du foncteur Hom . Avec le foncteur Tor , Ext est l'un des concepts fondamentaux de l'algèbre homologique , dans laquelle les idées de la topologie algébrique sont utilisées pour définir les invariants des structures algébriques. La cohomologie des groupes , les algèbres de Lie et les algèbres associatives peuvent toutes être définies en termes de Ext. Le nom vient du fait que le premier groupe Ext Ext ¹ classe les extensions d'un module par un autre.

Dans le cas particulier des groupes abéliens , Ext a été introduit par Reinhold Baer (1934). Il a été nommé par Samuel Eilenberg et Saunders MacLane (1942), et appliqué à la topologie (le théorème des coefficients universels pour la cohomologie ). Pour les modules sur tout anneau , Ext a été défini par Henri Cartan et Eilenberg dans leur livre de 1956 Homological Algebra .

Soit un anneau et soit la catégorie des modules sur . (On peut prendre ceci comme signifiant soit des modules à gauche, soit des modules à droite .) Pour un module fixe , soit pour dans . (Voici le groupe abélien des applications linéaires de à ; c'est un module si est commutatif .) C'est un foncteur exact à gauche de à de la catégorie des groupes abéliens , et donc il a des foncteurs dérivés à droite . Les groupes Ext sont les groupes abéliens définis par

pour un entier i . Par définition, cela signifie : prendre n'importe quelle résolution injective

supprimer le terme B et former le complexe de cochaîne :

Pour chaque entier i , Ext^je
_R( A , B ) est la cohomologie de ce complexe en position i . Elle est nulle pour i négatif. Par exemple, Ext⁰
_R( A , B ) est le noyau de l'application Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), qui est isomorphe à Hom _R ( A , B ).

Une définition alternative utilise le foncteur G ( A )=Hom _R ( A , B ), pour un R -module B fixé . Il s'agit d'un foncteur contravariant , qui peut être considéré comme un foncteur exact à gauche de la catégorie opposée ( R -Mod) ^op à Ab. Les groupes Ext sont définis comme les foncteurs dérivés à droite R ⁱ G :

C'est-à-dire, choisissez n'importe quelle résolution projective

supprimez le terme A et formez le complexe de cochaîne :

Puis Ext^je
_R( A , B ) est la cohomologie de ce complexe en position i .

On peut se demander pourquoi le choix de la résolution est resté flou jusqu'à présent. En fait, Cartan et Eilenberg ont montré que ces constructions sont indépendantes du choix de la résolution projective ou injective, et que les deux constructions donnent les mêmes groupes Ext. De plus, pour un anneau fixe R , Ext est un foncteur en chaque variable (contravariant en A , covariant en B ).

Pour un anneau commutatif R et R -modules A et B , Ext^je
_R( A , B ) est un R -module (en utilisant Hom _R ( A , B ) est un R -module dans ce cas). Pour un anneau non commutatif R , Ext^je
_R( A , B ) n'est qu'un groupe abélien, en général. Si R est une algèbre sur un anneau S (ce qui signifie en particulier que S est commutatif), alors Ext^je
_R( A , B ) est au moins un S -module.

Voici quelques-unes des propriétés et calculs de base des groupes Ext.

• Ext⁰
  _R( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) pour tout R -module A et B .

• Ext^je
  _R( A , B ) = 0 pour tout i > 0 si le R -module A est projectif (par exemple, libre ) ou si B est injectif .

• Les réciproques sont également valables :
  • Si Ext¹
    _R( A , B ) = 0 pour tout B , alors A est projectif (et donc Ext^je
    _R( A , B ) = 0 pour tout i > 0).
  • Si Ext¹
    _R( A , B ) = 0 pour tout A , alors B est injectif (et donc Ext^je
    _R( A , B ) = 0 pour tout i > 0).

• i ≥ 2 et tous les groupes abéliens A et B .

• En généralisant l'exemple précédent, pour tout i ≥ 2 si R est un domaine idéal principal .

• Si R est un anneau commutatif et u dans R n'est pas un diviseur de zéro , alors

pour tout R -module B . Ici B [ u ] désigne le sous-groupe de u -torsion de B , { x ∈ B : ux = 0}. En prenant R comme anneau des entiers, ce calcul peut être utilisé pour calculer pour tout groupe abélien de type fini A .

• En généralisant l'exemple précédent, on peut calculer des groupes Ext lorsque le premier module est le quotient d'un anneau commutatif par une suite régulière quelconque , en utilisant le complexe de Koszul . Par exemple, si R est l' anneau polynomial k [ x ₁ ,..., x _n ] sur un corps k , alors Ext^*
  _R( k , k ) est l' algèbre extérieure S sur k sur n générateurs dans Ext ¹ . De plus, Ext^*
  _S( k , k ) est l'anneau de polynômes R ; c'est un exemple de dualité de Koszul .

• Par les propriétés générales des foncteurs dérivés, il existe deux suites exactes de base pour Ext. Premièrement, une courte suite exacte 0 → K → L → M → 0 de R -modules induit une longue suite exacte de la forme

pour tout R -module A . De plus, une suite exacte courte 0 → K → L → M → 0 induit une suite exacte longue de la forme

pour tout R -module B .

• Ext prend des sommes directes (éventuellement infinies) dans la première variable et des produits dans la seconde variable. C'est-à-dire :

• Soit A un module de type fini sur un anneau noethérien commutatif R . Alors Ext commute avec localisation , au sens où pour tout ensemble multiplicativement fermé S dans R , tout R -module B et tout entier i ,

Les groupes Ext tirent leur nom de leur relation avec les extensions de modules. Étant donné les R -modules A et B , une extension de A par B est une courte séquence exacte de R -modules

Deux extensions

sont dits équivalents (en tant qu'extensions de A par B ) s'il existe un diagramme commutatif :

Notez que le lemme des cinq implique que la flèche du milieu est un isomorphisme. Une extension de A par B est dite divisée si elle est équivalente à l' extension triviale

Il existe une correspondance bijective entre les classes d'équivalence des extensions de A par B et les éléments de Ext¹
_R( A , B ). L'extension triviale correspond à l'élément nul de Ext¹
_R( A , B ).

La somme de Baer est une description explicite de la structure du groupe abélien sur Ext¹
_R( A , B ), considéré comme l'ensemble des classes d'équivalence des extensions de A par B . À savoir, étant donné deux extensions

et

première forme du retrait sur ,

Ensuite, formez le module quotient

La somme de Baer de E et E′ est l'extension

où se trouve la première carte et la seconde est .

À équivalence d'extensions près, la somme de Baer est commutative et a pour élément neutre l'extension triviale. L'inverse d'une extension 0 → B → E → A → 0 est l'extension faisant intervenir le même module E , mais avec l'homomorphisme B → E remplacé par son négatif.

Nobuo Yoneda a défini les groupes abéliens Extⁿ
_C( A , B ) pour les objets A et B dans toute catégorie abélienne C ; ceci est conforme à la définition en termes de résolutions si C a suffisamment de projectifs ou suffisamment d'injectifs . Tout d'abord, Ext⁰
_C( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Ensuite, Ext¹
_C( A , B ) est l'ensemble des classes d'équivalence des extensions de A par B , formant un groupe abélien sous la somme de Baer. Enfin, les groupes Ext supérieurs Extⁿ
_C( A , B ) sont définies comme des classes d'équivalence de n-extensions , qui sont des séquences exactes

sous la relation d'équivalence générée par la relation qui identifie deux extensions

s'il existe des applications pour tout m dans {1, 2, ..., n } telles que tout carré résultant commute , c'est-à-dire s'il existe une application en chaîne qui est l'identité sur A et B.

La somme de Baer de deux n -extensions comme ci-dessus est formée en laissant être le pullback de et sur A , et être le pushout de et sous B . Alors la somme de Baer des extensions est

Un point important est que les groupes Ext dans une catégorie abélienne C peuvent être considérés comme des ensembles de morphismes dans une catégorie associée à C , la catégorie dérivée D ( C ). Les objets de la catégorie dérivée sont des complexes d'objets dans C . Plus précisément, on a

où un objet de C est vu comme un complexe concentré en degré zéro, et [ i ] signifie décaler un complexe de i pas vers la gauche. De cette interprétation, il existe une application bilinéaire , parfois appelée produit de Yoneda :

qui est simplement la composition de morphismes dans la catégorie dérivée.

Le produit de Yoneda peut également être décrit en termes plus élémentaires. Pour i = j = 0, le produit est la composition d'applications de la catégorie C . En général, le produit peut être défini en assemblant deux extensions de Yoneda.

Alternativement, le produit de Yoneda peut être défini en termes de résolutions. (Ceci est proche de la définition de la catégorie dérivée.) Par exemple, soit R un anneau, avec R -modules A , B , C , et soient P , Q et T les résolutions projectives de A , B , C . Alors Ext^je
_R( A , B ) peut être identifié au groupe des classes d'homotopie de chaînes d'applications de chaînes P → Q [ i ]. Le produit de Yoneda est donné en composant les applications de chaînes :

Selon l'une de ces interprétations, le produit de Yoneda est associatif. Par conséquent, est un anneau gradué , pour tout R -module A . Par exemple, cela donne la structure de l'anneau sur la cohomologie de groupe puisque cela peut être vu comme . Également par associativité du produit de Yoneda : pour tout R -module A et B , est un module sur .

• La cohomologie de groupe est définie par , où G est un groupe, M est une représentation de G sur les entiers et est l' anneau de groupe de G .

• Pour une algèbre A sur un corps k et un A - bimodule M , la cohomologie de Hochschild est définie par

• La cohomologie des algèbres de Lie est définie par , où est une algèbre de Lie sur un anneau commutatif k , M est un -module et est l' algèbre enveloppante universelle .

• Pour un espace topologique X , la cohomologie des faisceaux peut être définie comme Ici Ext est pris dans la catégorie abélienne des faisceaux de groupes abéliens sur X , et est le faisceau des fonctions à valeurs localement constantes .

• Pour un anneau local noethérien commutatif R de corps résiduel k , est l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie graduée π*( R ) sur k , connue sous le nom d' algèbre de Lie d'homotopie de R . (Pour être précis, lorsque k a une caractéristique 2, π*( R ) doit être considérée comme une « algèbre de Lie ajustée ». ) Il existe un homomorphisme naturel des algèbres de Lie graduées de la cohomologie d'André-Quillen D *( k / R , k ) à π*( R ), qui est un isomorphisme si k a une caractéristique nulle.