Anneau de groupe

En algèbre , un anneau de groupes est un module libre et en même temps un anneau , construit de manière naturelle à partir d'un anneau et d'un groupe donnés . En tant que module libre, son anneau de scalaires est l'anneau donné, et sa base est l'ensemble des éléments du groupe donné. En tant qu'anneau, sa loi d'addition est celle du module libre et sa multiplication étend « par linéarité » la loi de groupe donnée sur la base. De manière moins formelle, un anneau de groupes est une généralisation d'un groupe donné, en attachant à chaque élément du groupe un « facteur de pondération » issu d'un anneau donné.

Si l'anneau est commutatif, l'anneau de groupe est également appelé algèbre de groupe , car il s'agit bien d'une algèbre sur l'anneau donné. Une algèbre de groupe sur un corps a une autre structure d' algèbre de Hopf ; dans ce cas, elle est donc appelée algèbre de groupe de Hopf .

L'appareil des anneaux de groupes est particulièrement utile dans la théorie des représentations de groupes .

Soit un groupe, écrit multiplicativement, et soit un anneau. L'anneau de groupe de sur , que nous noterons par , ou simplement , est l'ensemble des applications de support fini ( est non nul seulement pour un nombre fini d'éléments ), où le produit scalaire modulo d'un scalaire dans et d'une application est défini comme l'application , et la somme modulo-groupe de deux applications et est définie comme l'application . Pour transformer le groupe additif en anneau, nous définissons le produit de et comme étant l'application

La sommation est légitime car et ont un support fini, et les axiomes de l'anneau sont facilement vérifiés.

Certaines variantes de notation et de terminologie sont utilisées. En particulier, les applications telles que sont parfois écrites comme ce que l'on appelle des « combinaisons linéaires formelles d'éléments de avec des coefficients dans » :

ou simplement

Notez que si l'anneau est en fait un corps , alors la structure du module du groupe anneau est en fait un espace vectoriel sur .

1. Soit G = C ₃ , le groupe cyclique d'ordre 3, de générateur et d'élément neutre 1 _G . Un élément r de C [ G ] peut s'écrire comme

où z ₀ , z ₁ et z ₂ sont dans C , les nombres complexes . C'est la même chose qu'un anneau de polynômes en variable tel que ie C [ G ] soit isomorphe à l'anneau C [ ]/ .

En écrivant un élément différent s comme , leur somme est

et leur produit est

Notez que l'élément d'identité 1 _G de G induit une inclusion canonique de l'anneau de coefficients (dans ce cas C ) dans C [ G ] ; cependant, à proprement parler, l'élément d'identité multiplicatif de C [ G ] est 1⋅1 _G où le premier 1 provient de C et le second de G . L'élément d'identité additif est nul.

Lorsque G est un groupe non commutatif, il faut veiller à préserver l'ordre des éléments du groupe (et à ne pas les commuter accidentellement) lors de la multiplication des termes.

2. L'anneau des polynômes de Laurent sur un anneau R est l'anneau du groupe cyclique infini Z sur R .

3. Soit Q le groupe de quaternions d'éléments . Considérons l'anneau de groupes R Q , où R est l'ensemble des nombres réels. Un élément arbitraire de cet anneau de groupes est de la forme

où est un nombre réel.

La multiplication, comme dans tout autre anneau de groupe, est définie en fonction de l'opération de groupe. Par exemple,

Notez que R Q n'est pas le même que le corps oblique des quaternions sur R . Cela est dû au fait que le corps oblique des quaternions satisfait des relations supplémentaires dans l'anneau, telles que , alors que dans l'anneau de groupe R Q , n'est pas égal à . Pour être plus précis, l'anneau de groupe R Q a une dimension 8 comme espace vectoriel réel , tandis que le corps oblique des quaternions a une dimension 4 comme espace vectoriel réel .

4. Un autre exemple d'anneau de groupe non abélien est où est le groupe symétrique sur 3 lettres. Ce n'est pas un domaine intégral puisque nous avons où l'élément est la transposition qui échange 1 et 2. Par conséquent, l'anneau de groupe n'a pas besoin d'être un domaine intégral même lorsque l'anneau sous-jacent est un domaine intégral.

En utilisant 1 pour désigner l'identité multiplicative de l'anneau R et en désignant l'unité du groupe par 1 _G , l'anneau R [ G ] contient un sous-anneau isomorphe à R et son groupe d'éléments inversibles contient un sous-groupe isomorphe à G . Considérant la fonction indicatrice de {1 _G }, qui est le vecteur f défini par

l'ensemble de tous les multiples scalaires de f est un sous-anneau de R [ G ] isomorphe à R . Et si nous mappons chaque élément s de G à la fonction indicatrice de { s }, qui est le vecteur f défini par

l'application résultante est un homomorphisme de groupe injectif (par rapport à la multiplication, et non à l'addition, dans R [ G ]).

Si R et G sont tous deux commutatifs (c'est-à-dire que R est commutatif et G est un groupe abélien ), R [ G ] est commutatif.

Si H est un sous-groupe de G , alors R [ H ] est un sous-anneau de R [ G ]. De même, si S est un sous-anneau de R , S [ G ] est un sous-anneau de R [ G ].

Si G est un groupe fini d'ordre supérieur à 1, alors R [ G ] a toujours des diviseurs nuls . Par exemple, considérons un élément g de G d'ordre | g | = m > 1 . Alors 1 − g est un diviseur nul :

Par exemple, considérons l'anneau de groupe Z [ S ₃ ] et l'élément d'ordre 3 g = (123). Dans ce cas, A résultat connexe : Si l'anneau de groupe est premier , alors G n'a pas de sous-groupe normal fini non identique (en particulier, G doit être infini).

Preuve : Considérant la contraposée , supposons un sous-groupe normal fini non identique de . Soit . Puisque pour tout , on sait , donc . En prenant , on a . Par normalité de , commute avec une base de , et donc

Et nous voyons que ce n'est pas nul, ce qui montre que ce n'est pas premier. Cela montre l'affirmation originale.

Les algèbres de groupe apparaissent naturellement dans la théorie des représentations de groupe des groupes finis . L'algèbre de groupe K [ G ] sur un corps K est essentiellement l'anneau de groupe, le corps K prenant la place de l'anneau. En tant qu'ensemble et espace vectoriel, c'est l' espace vectoriel libre sur G sur le corps K . C'est-à-dire que pour x dans K [ G ],

La structure algébrique sur l'espace vectoriel est définie à l'aide de la multiplication dans le groupe :

où à gauche, g et h indiquent les éléments de l'algèbre de groupe, tandis que la multiplication à droite est l'opération de groupe (notée par juxtaposition).

Étant donné que la multiplication ci-dessus peut être déroutante, on peut également écrire les vecteurs de base de K [ G ] comme e _g (au lieu de g ), auquel cas la multiplication s'écrit :

En considérant l' espace vectoriel libre comme des fonctions à valeurs K sur G , la multiplication algébrique est une convolution de fonctions.

Alors que l'algèbre de groupe d'un groupe fini peut être identifiée à l'espace des fonctions sur le groupe, pour un groupe infini, il en va autrement. L'algèbre de groupe, constituée de sommes finies , correspond à des fonctions sur le groupe qui s'annulent pour un nombre cofini de points ; topologiquement (en utilisant la topologie discrète ), celles-ci correspondent à des fonctions à support compact .

Cependant, l'algèbre de groupe K [ G ] et l'espace des fonctions K ^G := Hom( G , K ) sont duaux : étant donné un élément de l'algèbre de groupe

et une fonction sur le groupe f : G → K ces paires donnent un élément de K via

qui est une somme bien définie car finie.

En prenant K [ G ] comme algèbre abstraite, on peut demander des représentations de l'algèbre agissant sur un K- espace vectoriel V de dimension d . Une telle représentation

est un homomorphisme d'algèbre de l'algèbre des groupes vers l'algèbre des endomorphismes de V , qui est isomorphe à l'anneau des matrices d × d : . De manière équivalente, il s'agit d'un K [ G ]-module gauche sur le groupe abélien V .

En conséquence, une représentation de groupe

est un homomorphisme de groupe de G dans le groupe des automorphismes linéaires de V , qui est isomorphe au groupe linéaire général des matrices inversibles : . Toute représentation de ce type induit une représentation algébrique

simplement en laissant et en étendant linéairement. Ainsi, les représentations du groupe correspondent exactement aux représentations de l'algèbre, et les deux théories sont essentiellement équivalentes.

L'algèbre de groupe est une algèbre sur elle-même ; sous la correspondance des représentations sur les modules R et R [ G ], elle est la représentation régulière du groupe.

Écrit comme une représentation, c'est la représentation g ↦ ρ _g avec l'action donnée par , ou

La dimension de l'espace vectoriel K [ G ] est égale au nombre d'éléments du groupe. Le corps K est communément considéré comme étant les nombres complexes C ou les nombres réels R , de sorte que l'on parle des algèbres de groupe C [ G ] ou R [ G ].

L'algèbre de groupe C [ G ] d'un groupe fini sur les nombres complexes est un anneau semi-simple . Ce résultat, le théorème de Maschke , permet de comprendre C [ G ] comme un produit fini d' anneaux de matrices à éléments dans C . En effet, si l'on énumère les représentations complexes irréductibles de G comme V _k pour k = 1, . . . , m , celles-ci correspondent à des homomorphismes de groupe et donc à des homomorphismes d'algèbre . L'assemblage de ces applications donne un isomorphisme d'algèbre

où d _k est la dimension de V _k . La sous-algèbre de C [ G ] correspondant à End( V _k ) est l' idéal bilatéral engendré par l' idempotent

où est le caractère de V _k . Ceux-ci forment un système complet d'idempotents orthogonaux, de sorte que , pour j ≠ k , et . L'isomorphisme est étroitement lié à la transformée de Fourier sur les groupes finis .

Pour un corps K plus général , lorsque la caractéristique de K ne divise pas l'ordre du groupe G , alors K [ G ] est semi-simple. Lorsque G est un groupe abélien fini , l'anneau de groupes K [G] est commutatif et sa structure est facile à exprimer en termes de racines de l'unité .

Lorsque K est un corps de caractéristique p qui divise l'ordre de G , l'anneau de groupes n'est pas semi-simple : il possède un radical de Jacobson non nul , ce qui donne au sujet correspondant de la théorie des représentations modulaires son caractère propre et plus profond.

Le centre de l'algèbre de groupe est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de l'algèbre de groupe :

Le centre est égal à l'ensemble des fonctions de classe , c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui sont constants sur chaque classe de conjugaison

Si K = C , l'ensemble des caractères irréductibles de G forme une base orthonormée de Z( K [ G ]) par rapport au produit scalaire

On en sait beaucoup moins dans le cas où G est dénombrable infini, ou indénombrable, et c'est un domaine de recherche actif. Le cas où R est le corps des nombres complexes est probablement le mieux étudié. Dans ce cas, Irving Kaplansky a prouvé que si a et b sont des éléments de C [ G ] avec ab = 1 , alors ba = 1 . On ne sait pas encore si cela est vrai si R est un corps de caractéristique positive.

Une conjecture de longue date de Kaplansky (~1940) dit que si G est un groupe sans torsion et K un corps, alors l'anneau de groupes K [ G ] n'a pas de diviseurs de zéro non triviaux . Cette conjecture est équivalente à K [ G ] n'ayant pas de nilpotents non triviaux sous les mêmes hypothèses pour K et G .

En fait, la condition selon laquelle K est un corps peut être assouplie à tout anneau pouvant être intégré dans un domaine intégral .

La conjecture reste ouverte en généralité, mais certains cas particuliers de groupes sans torsion satisfont à la conjecture du diviseur nul. Il s'agit notamment de :

• Groupes de produits uniques (par exemple groupes pouvant être commandés , en particulier groupes gratuits )
• Groupes élémentaires accessibles (par exemple groupes virtuellement abéliens )
• Groupes diffus – en particulier, les groupes qui agissent librement de manière isométrique sur les R -arbres, et les groupes fondamentaux des groupes de surface à l’exception des groupes fondamentaux des sommes directes d’une, deux ou trois copies du plan projectif.

Le cas où G est un groupe topologique est discuté plus en détail dans l'article Algèbre de groupe d'un groupe localement compact .

Catégoriquement , la construction de l'anneau de groupe est adjointe à gauche du « groupe d'unités » ; les foncteurs suivants sont une paire adjointe :

où prend un groupe vers son anneau de groupe sur R , et prend une R -algèbre vers son groupe d'unités.

Lorsque R = Z , cela donne une adjonction entre la catégorie des groupes et la catégorie des anneaux , et l'unité de l'adjonction prend un groupe G en un groupe qui contient des unités triviales : G × {±1} = {± g }. En général, les anneaux de groupe contiennent des unités non triviales. Si G contient des éléments a et b tels que et b ne se normalise pas alors le carré de

est nul, donc . L'élément 1 + x est une unité d'ordre infini.

L'adjonction ci-dessus exprime une propriété universelle des anneaux de groupe. Soit R un anneau (commutatif), soit G un groupe et soit S une R -algèbre. Pour tout homomorphisme de groupe , il existe un unique homomorphisme de R -algèbre tel que où i est l'inclusion

En d'autres termes, il s'agit de l'homomorphisme unique qui fait commuter le diagramme suivant :

Tout autre anneau satisfaisant cette propriété est canoniquement isomorphe à l’anneau de groupe.

L'algèbre de groupe K [ G ] a une structure naturelle d' algèbre de Hopf . La comultiplication est définie par , étendue linéairement, et l'antipode est , à nouveau étendue linéairement.

L'algèbre de groupe se généralise à l' anneau monoïde et de là à l' algèbre de catégorie , dont un autre exemple est l' algèbre d'incidence .

Si un groupe a une fonction de longueur – par exemple, s’il y a un choix de générateurs et que l’on prend le mot métrique , comme dans les groupes de Coxeter – alors l’anneau de groupes devient une algèbre filtrée .