Worldlex Wiki En mathématiques , notamment dans les domaines de la théorie des groupes et de la théorie des représentations des groupes , une fonction de classe est une fonction sur un groupe G qui est constante sur les classes de conjugaison de G. En d'autres termes, elle est invariante par rapport à l' application de conjugaison sur G. De telles fonctions jouent un rôle fondamental dans la théorie des représentations .
Personnages
Le caractère d'une représentation linéaire de G sur un corps K est toujours une fonction de classe à valeurs dans K . Les fonctions de classe forment le centre de l' anneau de groupe K [ G ]. Ici une fonction de classe f est identifiée à l'élément .
Produits intérieurs
L'ensemble des fonctions de classe d'un groupe G à valeurs dans un corps K forme un K - espace vectoriel . Si G est fini et que la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre de G , alors il existe un produit scalaire défini sur cet espace défini par où | G | désigne l'ordre de G et bar est la conjugaison dans le corps K. L'ensemble des caractères irréductibles de G forme une base orthogonale , et si K est un corps décomposable pour G , par exemple si K est algébriquement clos , alors les caractères irréductibles forment une base orthonormée .
Dans le cas d'un groupe compact et K = C le corps des nombres complexes , la notion de mesure de Haar permet de remplacer la somme finie ci-dessus par une intégrale :
Lorsque K est un nombre réel ou un nombre complexe, le produit scalaire est une forme bilinéaire hermitienne non dégénérée .