Anneau principal

En algèbre abstraite , un anneau non nul R est un anneau premier si pour deux éléments a et b de R , arb = 0 pour tout r dans R implique que a = 0 ou b = 0. Cette définition peut être considérée comme une généralisation simultanée des domaines intégraux et des anneaux simples .

Bien que cet article traite de la définition ci-dessus, l'anneau premier peut également faire référence au sous-anneau minimal non nul d'un corps , qui est généré par son élément d'identité 1, et déterminé par sa caractéristique . Pour un corps caractéristique 0, l'anneau premier est les entiers , et pour un corps caractéristique p (avec p un nombre premier ) l'anneau premier est le corps fini d'ordre p (cf. Corps premier ).

Un anneau R est premier si et seulement si l' idéal nul {0} est un idéal premier au sens non commutatif .

Cela étant, les conditions équivalentes pour les idéaux premiers donnent les conditions équivalentes suivantes pour que R soit un anneau premier :

• Pour deux idéaux A et B de R , AB = {0} implique A = {0} ou B = {0}.
• Pour deux idéaux droits A et B de R , AB = {0} implique A = {0} ou B = {0}.
• Pour deux idéaux de gauche A et B de R , AB = {0} implique A = {0} ou B = {0}.

En utilisant ces conditions, on peut vérifier que les conditions suivantes sont équivalentes au fait que R soit un cycle premier :

• Tous les idéaux droits non nuls sont fidèles en tant que modules R droits .
• Tous les idéaux gauches non nuls sont fidèles en tant que modules R gauches .

• Tout domaine est un anneau principal.
• Tout anneau simple est un anneau premier, et plus généralement : tout anneau primitif gauche ou droit est un anneau premier.
• Tout anneau de matrices sur un domaine entier est un anneau premier. En particulier, l'anneau des matrices entières 2 × 2 est un anneau premier.

• Un anneau commutatif est un anneau premier si et seulement s'il est un domaine entier .
• Un anneau non nul est premier si et seulement si le monoïde de ses idéaux est dépourvu de diviseurs de zéro .
• L'anneau de matrices sur un anneau premier est à nouveau un anneau premier.

• Lam, Tsit-Yuen (2001), Un premier cours sur les anneaux non commutatifs (2e éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0, M. 1838439