Anneau zéro

Dans la théorie des anneaux , une branche des mathématiques , l' anneau nul ou anneau trivial est l' anneau unique (à isomorphisme près ) constitué d'un élément. (Moins fréquemment, le terme « anneau nul » est utilisé pour désigner tout anneau aléatoire de carré zéro , c'est-à-dire un anneau aléatoire dans lequel xy = 0 pour tout x et y . Cet article fait référence à l'anneau à un élément.)

Dans la catégorie des anneaux , l'anneau zéro est l' objet terminal , tandis que l'anneau des entiers Z est l' objet initial .

L'anneau zéro, noté {0} ou simplement 0 , est constitué de l' ensemble à un élément {0} avec les opérations + et · définies telles que 0 + 0 = 0 et 0 · 0 = 0.

• L'anneau zéro est l'unique anneau dans lequel l' identité additive 0 et l'identité multiplicative 1 coïncident. (Preuve : Si 1 = 0 dans un anneau R , alors pour tout r dans R , on a r = 1 r = 0 r = 0 . La preuve de la dernière égalité se trouve ici.)
• L'anneau zéro est commutatif.
• L'élément 0 dans l'anneau zéro est une unité , servant de son propre inverse multiplicatif .
• Le groupe unitaire de l'anneau zéro est le groupe trivial {0}.
• L'élément 0 dans l'anneau zéro n'est pas un diviseur de zéro .
• Le seul idéal de l'anneau nul est l'idéal nul {0}, qui est aussi l'idéal unitaire, égal à l'anneau entier. Cet idéal n'est ni maximal ni premier .
• L'anneau zéro est généralement exclu des corps , bien qu'il soit parfois appelé corps trivial . Son exclusion est en accord avec le fait que son idéal zéro n'est pas maximal. (Lorsque les mathématiciens parlent du « corps à un élément », ils se réfèrent à un objet inexistant, et leur intention est de définir la catégorie qui serait la catégorie des schémas sur cet objet s'il existait.)
• L'anneau zéro est généralement exclu des domaines intégraux . La ​​question de savoir si l'anneau zéro est considéré comme un domaine est une question de convention, mais il y a deux avantages à le considérer comme n'étant pas un domaine. Tout d'abord, cela concorde avec la définition selon laquelle un domaine est un anneau dans lequel 0 est le seul diviseur de zéro (en particulier, 0 doit être un diviseur de zéro, ce qui échoue dans l'anneau zéro). Deuxièmement, de cette façon, pour un entier positif n , l'anneau Z / n Z est un domaine si et seulement si n est premier, mais 1 n'est pas premier.
• Pour chaque anneau A , il existe un homomorphisme d'anneau unique de A vers l'anneau zéro. Ainsi, l'anneau zéro est un objet terminal dans la catégorie des anneaux .
• Si A est un anneau non nul, alors il n'y a pas d'homomorphisme d'anneau de l'anneau nul vers A. En particulier, l'anneau nul n'est pas un sous-anneau d'un anneau non nul.
• L'anneau zéro est l'anneau unique de caractéristique 1.
• Le seul module pour l'anneau zéro est le module zéro. Il est libre de rang א pour tout nombre cardinal א.
• L'anneau zéro n'est pas un anneau local . Il s'agit cependant d'un anneau semi-local .
• L'anneau zéro est artinien et (donc) noethérien .
• Le spectre de l'anneau zéro est le schéma vide .
• La dimension Krull de l'anneau zéro est −∞.
• L'anneau zéro est semi-simple mais pas simple .
• L'anneau zéro n'est pas une algèbre simple centrale sur aucun corps.
• L' anneau quotient total de l'anneau zéro est lui-même.

• Pour tout anneau A et idéal I de A , le quotient A / I est l'anneau nul si et seulement si I = A , c'est-à-dire si et seulement si I est l' idéal unitaire .
• Pour tout anneau commutatif A et ensemble multiplicatif S dans A , la localisation S ⁻¹ A est l'anneau nul si et seulement si S contient 0.
• Si A est un anneau quelconque, alors l'anneau M ₀ ( A ) des matrices 0 × 0 sur A est l'anneau nul.
• Le produit direct d'une collection vide d'anneaux est l'anneau zéro.
• L' anneau d'endomorphismes du groupe trivial est l'anneau zéro.
• L'anneau des fonctions continues à valeurs réelles sur l' espace topologique vide est l'anneau zéro.