Annihilateur (théorie des anneaux)

Soit R un anneau , et soit M un R - module à gauche . Choisissons un sous-ensemble non vide S de M. L' annulateur de S , noté Ann_{_R} ( S ), est l'ensemble de tous les éléments r de R tels que, pour tout s de S , [ notation ensembliste,

Il s'agit de l'ensemble de tous les éléments de R qui « annulent » S (les éléments pour lesquels S est un ensemble de torsion). On peut également utiliser des sous-ensembles de modules à droite, après avoir modifié la définition en remplaçant « ».

L'annulateur d'un élément x est généralement noté Ann _R ( x ) plutôt que Ann _R ({ x }). Si l'anneau R est sous-entendu, l'indice R peut être omis.

Puisque R est un module sur lui-même, S peut être considéré comme un sous-ensemble de R lui-même, et puisque R est à la fois un R -module à droite et à gauche , la notation doit être légèrement modifiée pour indiquer le côté gauche ou droit.

Si M est un R -module et , alors M est appelé un module fidèle .

Si S est un sous-ensemble d'un R -module à gauche M , alors Ann( S ) est un idéal à gauche de R. Si S n'est pas seulement un sous-ensemble mais aussi un sous-module de M , alors Ann _R ( S ) est en outre un idéal bilatère : ( ac ) s = a ( cs ) = 0, puisque cs est autre élément de S. ]

Si S est un sous-ensemble de M et N le sous-module de M engendré par S , alors en général Ann _R ( N ) est un sous-ensemble de Ann _R ( S ), mais ils ne sont pas nécessairement égaux. Si R est commutatif , alors l'égalité est vérifiée.

Un R -module M peut également être considéré comme un R /Ann _R ( M )-module en utilisant l'actionR -module en un R / I -module de cette manière, mais si l'idéal I est un sous-ensemble de l'annulateur de M , alors cette action est bien définie. Le module M est toujours fidèle lorsqu'il est considéré comme un R /Ann _R ( M ).

Le réseau des idéaux de la formeS est un sous-ensemble de R est un réseau complet lorsqu'il est partiellement ordonné par inclusion . Il est intéressant d'étudier les anneaux pour lesquels ce réseau (ou son homologue droit) satisfait la condition de chaîne ascendante ou la condition de chaîne descendante .

Soit le treillis des idéaux annulateurs à gauche de RR commeR ne possède pas d'ensembles infinis d' idempotents deux à deux orthogonaux .

Si R est un anneau pour lequel_{Si R} satisfait à l'ACC et a une dimension uniforme finie , alors R est appelé un anneau de Goldie gauche .

Quandle long de l' adjonction Hom-tenseur .

Plus généralement, étant donné une application bilinéaire de modules

Inversement, étant donné

L'annihilateur établit une connexion galoisienne entre des sous-ensembles de

• Les annulateurs sont des sous-modules

Un cas particulier important est celui de la présence d'une forme non dégénérée sur un espace vectoriel , notamment un produit scalaire : alors l'annulateur associé à l'application

Étant donné un module M sur un anneau commutatif noethérien R , un idéal premier de R qui annule un élément non nul de M est appelé un idéal premier associé de M.

• Les annihilateurs sont utilisés pour définir les anneaux de Rickart gauches et les anneaux de Baer .
• L'ensemble des diviseurs de zéro (à gauche) D _S de S peut s'écrire comme

(Ici, nous autorisons zéro à être un diviseur de zéro.)

En particulier, D _R est l'ensemble des diviseurs de zéro (à gauche) de R prenant S = R et R agissant sur lui-même comme un R -module à gauche.

• Lorsque R est commutatif et noethérien, l'ensembleR -module R.