Complément orthogonal

Dans les domaines mathématiques de l'algèbre linéaire et de l'analyse fonctionnelle , le complément orthogonal d'un sous-espace d'un espace vectoriel doté d'une forme bilinéaire est l'ensemble de tous les vecteurs de qui sont orthogonaux à tout vecteur de . De manière informelle, on l'appelle le complément perpendiculaire . C'est un sous-espace de .

Soit l'espace vectoriel muni du produit scalaire usuel (ce qui en fait un espace de produit scalaire ), et soit avec alors son complément orthogonal peut également être défini comme étant

Le fait que chaque vecteur colonne de soit orthogonal à chaque vecteur colonne de peut être vérifié par calcul direct. Le fait que les espaces de ces vecteurs soient orthogonaux découle alors de la bilinéarité du produit scalaire. Enfin, le fait que ces espaces soient des compléments orthogonaux découle des relations de dimension données ci-dessous.

Soit un espace vectoriel sur un corps muni d'une forme bilinéaire On définit comme étant orthogonal à gauche à , et comme étant orthogonal à droite à , lorsque Pour un sous-ensemble de définir le complément orthogonal à gauche comme étant

Il existe une définition correspondante du complément orthogonal à droite. Pour une forme bilinéaire réflexive , où , les compléments gauche et droit coïncident. Ce sera le cas si est une forme symétrique ou alternée .

La définition s'étend à une forme bilinéaire sur un module libre sur un anneau commutatif , et à une forme sesquilinéaire étendue pour inclure tout module libre sur un anneau commutatif avec conjugaison .

• Un complément orthogonal est un sous-espace de ;
• Si alors ;
• Le radical de est un sous-espace de tout complément orthogonal ;
• Si est non dégénéré et de dimension finie, alors .
• Si sont des sous-espaces d'un espace de dimension finie et alors .

Cette section considère les compléments orthogonaux dans un espace de produit scalaire .

Deux vecteurs et sont dits orthogonaux si , ce qui se produit si et seulement si les scalaires .

Si est un sous-ensemble d'un espace de produit scalaire alors soncomplément orthogonal dansest le sous-espace vectoriel qui est toujours un sous-ensemble fermé (donc un sous-espace vectoriel fermé) dequi satisfait :

Si est un sous-espace vectoriel d'un espace de produit scalaire alors Si est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert alors où est appelé ledécomposition orthogonale deenetet indique queest unsous-espace complémentédeavec complément

Le complément orthogonal est toujours fermé dans la topologie métrique. Dans les espaces de dimension finie, c'est simplement un exemple du fait que tous les sous-espaces d'un espace vectoriel sont fermés. Dans les espaces de Hilbert de dimension infinie , certains sous-espaces ne sont pas fermés, mais tous les compléments orthogonaux sont fermés. Si est un sous-espace vectoriel d'un espace de produit scalaire , le complément orthogonal du complément orthogonal de est la fermeture de c'est-à-dire,

D'autres propriétés utiles qui sont toujours valables sont les suivantes. Soit un espace de Hilbert et soit et des sous-espaces linéaires. Alors :

• si alors ;
• si est un sous-espace linéaire fermé de alors ;
• si est un sous-espace linéaire fermé de alors la somme directe (interne) .

Le complément orthogonal se généralise à l' annihilateur , et donne une connexion de Galois sur les sous-ensembles de l'espace du produit scalaire, avec l'opérateur de fermeture associé la fermeture topologique de l'étendue.

Pour un espace de produit scalaire de dimension finie , le complément orthogonal d'un sous-espace de dimension , est un sous-espace de dimension , et le double complément orthogonal est le sous-espace d'origine :

Si , où , et font référence à l' espace de ligne , à l'espace de colonne et à l'espace nul de (respectivement), alors

Il existe un analogue naturel de cette notion dans les espaces de Banach généraux . Dans ce cas, on définit le complément orthogonal de comme un sous-espace du dual de défini de la même manière que l' annihilateur

C'est toujours un sous-espace fermé de . Il existe aussi un analogue de la propriété du double complément. est maintenant un sous-espace de (qui n'est pas identique à ). Cependant, les espaces réflexifs ont un isomorphisme naturel entre et . Dans ce cas, nous avons

Il s’agit d’une conséquence assez simple du théorème de Hahn-Banach .

En relativité restreinte, le complément orthogonal est utilisé pour déterminer l' hyperplan simultané en un point d'une ligne d'univers . La forme bilinéaire utilisée dans l'espace de Minkowski détermine un espace pseudo-euclidien d'événements. L'origine et tous les événements sur le cône de lumière sont auto-orthogonaux. Lorsqu'un événement temporel et un événement spatial s'évaluent à zéro sous la forme bilinéaire, ils sont alors hyperboliques-orthogonaux . Cette terminologie provient de l'utilisation d' hyperboles conjuguées dans le plan pseudo-euclidien : les diamètres conjugués de ces hyperboles sont hyperboliques-orthogonaux.