Résolution (algèbre)

En mathématiques , et plus précisément en algèbre homologique , une résolution (ou résolution à gauche ; dualéatoirement une corésolution ou résolution à droite ) est une suite exacte de modules (ou, plus généralement, d' objets d'une catégorie abélienne ) utilisée pour définir des invariants caractérisant la structure d'un module ou d'un objet spécifique de cette catégorie. Lorsque, comme c'est généralement le cas, les flèches sont orientées vers la droite, la suite est supposée infinie à gauche pour les résolutions à gauche, et à droite pour les résolutions à droite. Cependant, une résolution finie est une résolution dans laquelle seul un nombre fini d'objets de la suite sont non nuls ; elle est généralement représentée par une suite exacte finie dans laquelle l'objet le plus à gauche (pour les résolutions) ou l'objet le plus à droite (pour les corésolutions) est l' objet nul .

Généralement, les objets de la suite doivent posséder une certaine propriété P (par exemple, être libres). On parle alors de résolution P. En particulier, tout module possède des résolutions libres , des résolutions projectives et des résolutions plates , qui sont des résolutions à gauche composées respectivement de modules libres , de modules projectifs ou de modules plats . De même, tout module possède des résolutions injectives , qui sont des résolutions à droite composées de modules injectifs .

Résolutions des modules

Définitions

Étant donné un module ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ résolution à gauche (ou simplement résolution ) de ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0. <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mrow><mover><mo>⟶</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mover></mrow><msub><mi>E</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mover><mo>⟶</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mover></mrow><mo>⋯</mo><mrow><mover><mo>⟶</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mover></mrow><msub><mi>E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mrow><mover><mo>⟶</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mover></mrow><msub><mi>E</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mrow><mover><mo>⟶</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mover></mrow><msub><mi>E</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mover><mo>⟶</mo><mi>ε</mi></mover></mrow><mi>M</mi><mo>⟶</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Les homomorphismes ${\displaystyle d_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varepsilon <semantics><mrow><mstyle><mi>ε</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varepsilon }</annotation></semantics></math><img src=$ carte d'augmentation . Par souci de concision, la résolution ci-dessus peut s'écrire comme suit :

{\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mrow><mover><mo>⟶</mo><mi>ε</mi></mover></mrow><mi>M</mi><mo>⟶</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\ displaystyle E_ {\ bullet }{\ overset {\ varepsilon }{\ longrightarrow }} M \ longrightarrow 0.}</annotation></semantics></math></span><img src=

La notion duale est celle d'une résolution à droite (ou co-résolution , ou simplement résolution ). Plus précisément, étant donné un module ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots , <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>⟶</mo><mi>M</mi><mrow><mover><mo>⟶</mo><mi>ε</mi></mover></mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mrow><mover><mo>⟶</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mover></mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mover><mo>⟶</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mover></mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mover><mo>⟶</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mover></mrow><mo>⋯</mo><mrow><mover><mo>⟶</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mover></mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mover><mo>⟶</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mover></mrow><mo>⋯</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots,}</annotation></semantics></math></span><img src=

où chaque ${\displaystyle C^{i <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>C</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C^{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }. <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>⟶</mo><mi>M</mi><mrow><mover><mo>⟶</mo><mi>ε</mi></mover></mrow><msup><mi>C</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Une (co)résolution est dite finie si seul un nombre fini des modules impliqués sont non nuls. La longueur d'une résolution finie est l'indice maximal ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Résolutions libres, projectives, injectives et plates

Dans de nombreuses circonstances, des conditions sont imposées aux modules ${\displaystyle E_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ résolution libre d'un module ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ projectives et plates sont des résolutions à gauche telles que tous les ${\displaystyle E_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ injectives sont des résolutions à droite dont ${\displaystyle C^{i <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>C</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C^{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

Chaque ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{0}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E_{1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{0}}</annotation></semantics></math><img src=$ → ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$

Résolution projective d'un module ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle P_{0} o M <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>P</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>→</mo><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P_{0} o M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle P_{1} o M <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>P</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>→</mo><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P_{1} o M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$

Les résolutions servent à définir les dimensions homologiques . La longueur minimale d'une résolution projective finie d'un module ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ dimension projective et est notée ${\displaystyle { ext{P-}}\dim(M) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>P-</mtext></mrow><mi>faible</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{P-}}\dim(M)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ext{I-}}\dim(M) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>JE-</mtext></mrow><mi>faible</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{I-}}\dim(M)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle { ext{F-}}\dim(M) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>F-</mtext></mrow><mi>faible</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{F-}}\dim(M)}</annotation></semantics></math><img src=$

Les dimensions injective et projective sont utilisées dans la catégorie du droit ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$

Modules et algèbres gradués

Soit M un module gradué sur une algèbre graduée , engendré sur un corps par ses éléments de degré positif. Alors M admet une résolution libre dans laquelle les modules libres E _i peuvent être gradués de telle sorte que les d _i et ε soient des applications linéaires graduées . Parmi ces résolutions libres graduées, les résolutions libres minimales sont celles pour lesquelles le nombre d'éléments de base de chaque E _i est minimal. Le nombre d'éléments de base de chaque E _i et leurs degrés sont identiques pour toutes les résolutions libres minimales d'un module gradué.

Si I est un idéal homogène dans un anneau de polynômes sur un corps, la régularité de Castelnuovo–Mumford de l' ensemble algébrique projectif défini par I est l'entier minimal r tel que les degrés des éléments de base des E _i dans une résolution libre minimale de I soient tous inférieurs à ri .

Exemples

Un exemple classique de résolution libre est donné par le complexe de Koszul d'une suite régulière dans un anneau local ou d'une suite régulière homogène dans une algèbre graduée de type fini sur un corps.

Soit X un espace asphérique , c'est-à-dire que son revêtement universel E est contractile . Alors tout complexe de chaînes singulier (ou simplicial ) de E est une résolution libre du module Z non seulement sur l'anneau Z mais aussi sur l' anneau de groupe Z [ π ₁ ( X )].

Résolutions dans les catégories abéliennes

La définition des résolutions d'un objet M dans une catégorie abélienne A est la même que ci-dessus, mais les E _i et C ⁱ sont des objets dans A , et toutes les applications impliquées sont des morphismes dans A .

La notion analogue de modules projectifs et injectifs est celle d'objets projectifs et injectifs , et, par conséquent, de résolutions projectives et injectives. Cependant, de telles résolutions n'existent pas nécessairement dans une catégorie abélienne générale A. Si tout objet de A possède une résolution projective (resp. injective), alors on dit que A possède suffisamment de projectifs (resp. d'injectifs ). Même si elles existent, ces résolutions sont souvent difficiles à manipuler. Par exemple, comme indiqué précédemment, tout R -module possède une résolution injective, mais cette résolution n'est pas fonctorielle , c'est-à-dire que, étant donné un homomorphisme M → M' et des résolutions injectives,

{\displaystyle 0 ightarrow M ightarrow I_{*},\ \ 0 ightarrow M' ightarrow I'_{*}, <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>→</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><msub><mi>je</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mn>0</mn><mo>→</mo><msup><mi>M</mi><mo>′</mo></msup><mo>→</mo><msubsup><mi>je</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow><mo>′</mo></msubsup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0 ightarrow M ightarrow I_{*},\ \ 0 ightarrow M' ightarrow I'_{*},}</annotation></semantics></math></span><img src=

Il n'existe généralement pas de méthode fonctorielle pour obtenir une application entre ${\displaystyle I_{* <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>je</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I_{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I'_{* <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>je</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow><mo>′</mo></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Je'_{*}}</annotation></semantics></math><img src=$

catégories abéliennes sans résolutions projectives en général

Une classe d'exemples de catégories abéliennes sans résolution projective est celle des catégories ${\displaystyle { ext{Coh}}(X) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Coh</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Coh}}(X)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {M <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {M}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j}) o \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i}) o {\mathcal {M}} o 0. <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>⨁</mo><mrow><mi>je</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></munder><msub><mrow><mrow><mi>O</mi></mrow></mrow><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mi>je</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>→</mo><munder><mo>⨁</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></munder><msub><mrow><mrow><mi>O</mi></mrow></mrow><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>→</mo><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mo>→</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j}) o \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i}) o {\mathcal {M}} o 0.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Les deux premiers termes ne sont généralement pas projectifs puisque ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s)) eq 0 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>H</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mrow><mi>O</mi></mrow></mrow><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>≠</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s)) eq 0}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 s > 0$ 0 Cependant, les deux termes sont localement libres et localement plats. Les deux classes de faisceaux peuvent être utilisées indifféremment pour certains calculs, remplaçant les résolutions projectives pour le calcul de certains foncteurs dérivés.

résolution acyclique

Dans de nombreux cas, ce qui nous intéresse, ce n'est pas tant les objets apparaissant dans une résolution, mais plutôt le comportement de la résolution par rapport à un foncteur donné. C'est pourquoi, dans de nombreuses situations, on utilise la notion de résolutions acycliques : étant donné un foncteur exact à gauche F : A → B entre deux catégories abéliennes, une résolution

{\displaystyle 0 ightarrow M ightarrow E_{0} ightarrow E_{1} ightarrow E_{2} ightarrow \cdots <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>→</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><msub><mi>E</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>E</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>→</mo><mo>⋯</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0 ightarrow M ightarrow E_{0} ightarrow E_{1} ightarrow E_{2} ightarrow \cdots }</annotation></semantics></math></span><img src=

Un objet M de A est dit F -acyclique si les foncteurs dérivés R _i F ( E _n ) s'annulent pour tout i > 0 et n ≥ 0. Dualement, une résolution à gauche est acyclique par rapport à un foncteur exact à droite si ses foncteurs dérivés s'annulent sur les objets de la résolution.

Par exemple, étant donné un R -module M , le produit tensoriel ${\displaystyle \otimes _{R}M <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>⊗</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \otimes _{R}M}</annotation></semantics></math><img src=$ Mod ( R ) → Mod ( R ). Toute résolution plate est acyclique par rapport à ce foncteur. Une résolution plate est acyclique pour le produit tensoriel par tout M. De même, les résolutions acycliques pour tous les foncteurs Hom ( ⋅ , M ) sont les résolutions projectives et celles acycliques pour les foncteurs Hom ( M , ⋅ ) sont les résolutions injectives.

Toute résolution injective (projective) est F -acyclique pour tout foncteur exact à gauche (exact à droite, respectivement).

L'importance des résolutions acycliques réside dans le fait que les foncteurs dérivés R _i F (d'un foncteur exact à gauche, et de même L _i F d'un foncteur exact à droite) peuvent être obtenus à partir de l'homologie des résolutions F -acycliques : étant donné une résolution acyclique ${\displaystyle E_{* <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ M , nous avons

{\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}), <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mi>F</mi><mo>(</mo><msub><mi>E</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où le membre de droite est le i -ème objet d'homologie du complexe ${\displaystyle F(E_{*}). <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi><mo>(</mo><msub><mi>E</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F(E_{*}).}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette situation s'applique dans de nombreux cas. Par exemple, le faisceau constant R sur une variété différentiable M peut être décomposé en faisceaux. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M) <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle 0 ightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{ ightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{ ightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{ ightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M) ightarrow 0. <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>→</mo><mi>R</mi><mo>⊂</mo><msup><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></mover></mrow></mrow><msup><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></mover></mrow></mrow><mo>⋯</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></mover></mrow></mrow><msup><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mrow><mi>faible</mi><mo>⁡</mo><mi>M</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0 ightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{ ightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{ ightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{ ightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M) ightarrow 0.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Les gerbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M) <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M) <semantics><mrow><mstyle><mi>Γ</mi><mo>:</mo><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mo>↦</mo><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Gamma</annotation></semantics></math>:{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)} <img src=$ Γ, est calculée comme ${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)). <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>,</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msup><mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}</annotation></semantics></math><img src=$

De même, les résolutions de Godement sont acycliques par rapport au foncteur des sections globales.