Complexe de chaîne

En mathématiques , un complexe de chaînes est une structure algébrique composée d'une suite de groupes abéliens (ou modules ) et d'une suite d' homomorphismes entre groupes consécutifs, tels que l' image de chaque homomorphisme soit contenue dans le noyau du suivant. On associe à un complexe de chaînes son homologie , qui est ( en simplifiant) une mesure de son imprécision .

Un complexe de cochaîne est semblable à un complexe de chaîne, à ceci près que ses homomorphismes sont de sens opposé. L'homologie d'un complexe de cochaîne est appelée sa cohomologie .

En topologie algébrique , le complexe de chaînes singulier d'un espace topologique X est construit à partir d'applications continues d'un simplexe vers X, et les homomorphismes de ce complexe de chaînes décrivent comment ces applications se restreignent au bord du simplexe. L'homologie de ce complexe de chaînes est appelée homologie singulière de X et constitue un invariant fréquemment utilisé pour les espaces topologiques.

Les complexes de chaînes sont étudiés en algèbre homologique , mais sont utilisés dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment l'algèbre abstraite , la théorie de Galois , la géométrie différentielle et la géométrie algébrique . Ils peuvent être définis plus généralement dans les catégories abéliennes .

Définitions

Un complexe de chaîne ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet }) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \cdots ,A_{0},A_{1},A_{2},\dots <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mo>,</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdots ,A_{0},A_{1},A_{2},\dots }</annotation></semantics></math><img src=$ opérateurs de bord ou différentiels ) ${\displaystyle d_{n}:A_{n} o A_{n-1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>:</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{n}:A_{n} o A_{n-1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>∘</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d^{2}=0 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d^{2}=0}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mover><mo>←</mo><mpadded><msub><mi>d</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mpadded></mover><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mover><mo>←</mo><mpadded><msub><mi>d</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mpadded></mover><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mover><mo>←</mo><mpadded><msub><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mpadded></mover><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mover><mo>←</mo><mpadded><msub><mi>d</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mpadded></mover><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mover><mo>←</mo><mpadded><msub><mi>d</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mpadded></mover><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mover><mo>←</mo><mpadded><msub><mi>d</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></mpadded></mover><mo>⋯</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots }</annotation></semantics></math></span><img src=

Le complexe de cochaîne ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet }) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \cdots ,A^{0},A^{1},A^{2},\dots <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mo>…</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdots ,A^{0},A^{1},A^{2},\dots }</annotation></semantics></math><img src=$ opérateurs de cobord ) ${\displaystyle d^{n}:A^{n} o A^{n+1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>:</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>→</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d^{n}:A^{n} o A^{n+1}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>∘</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle d ^ {n + 1} circ d ^ {n} = 0}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mover><mo>→</mo><mpadded><msup><mi>d</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mpadded></mover><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mover><mo>→</mo><mpadded><msup><mi>d</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mpadded></mover><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mover><mo>→</mo><mpadded><msup><mi>d</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mpadded></mover><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mover><mo>→</mo><mpadded><msup><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mpadded></mover><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mover><mo>→</mo><mpadded><msup><mi>d</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mpadded></mover><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mover><mo>→</mo><mpadded><msup><mi>d</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></mpadded></mover><mo>⋯</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots }</annotation></semantics></math></span><img src=

Dans les deux cas, l'indice ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ degré (ou dimension ). La différence entre les complexes en chaîne et les complexes cochaîne réside dans le fait que, dans les complexes en chaîne, les différentiels diminuent la dimension, tandis que dans les complexes cochaîne, ils l'augmentent. Tous les concepts et définitions relatifs aux complexes en chaîne s'appliquent aux complexes cochaîne, à ceci près qu'ils suivent cette convention différente pour la dimension, et que les termes sont souvent préfixés par « co- » . Dans cet article, les définitions relatives aux complexes en chaîne seront données lorsque cette distinction n'est pas nécessaire.

Un complexe à chaîne délimitée est un complexe dans lequel presque tous les ${\displaystyle A_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ majoré si tous ses modules sont supérieurs à un certain degré fixé. ${\displaystyle N <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N}</annotation></semantics></math><img src=$ borné inférieurement si tous les modules inférieurs à un certain degré fixé sont 0. De toute évidence, un complexe est borné à la fois supérieurement et inférieurement si et seulement si le complexe est borné.

Les éléments des différents groupes d'un complexe (co)chaîne sont appelés (co)chaînes . Les éléments du noyau de ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ (co)cycles (ou éléments fermés ), et les éléments de l'image de d sont appelés (co)frontières (ou éléments exacts ). Dès la définition de la différentielle, toutes les frontières sont des cycles. Le n -ième groupe de (co)homologie H _n ( H n ^ ) est le groupe des (co)cycles modulo les (co)frontières de degré n , c'est-à-dire :

{\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1} ight) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>H</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>ker</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mstyle><mtext>je suis </mtext></mstyle></mrow><msub><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mspace></mspace><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>H</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>ker</mi><mo>⁡</mo><msup><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mstyle><mtext>je suis </mtext></mstyle></mrow><msup><mi>d</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1} ight)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Séquences exactes

{\displaystyle \cdots \xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \;\mathbf {Z} \;\xrightarrow { imes p} \;\mathbf {Z} woheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;\xrightarrow {} \;0\;\xrightarrow {} \cdots </span referrerpolicy=

Dans le groupe du milieu, les éléments fermés sont les éléments p Z ; ce sont clairement les éléments exacts de ce groupe.

Cartes en chaîne

Une carte de chaîne f entre deux complexes de chaîne ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet }) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>UN</mi><mo>,</mo><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet }) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>B</mi><mo>,</mo><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{\bullet <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{\bullet }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n} ightarrow B_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>:</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{n}:A_{n} ightarrow B_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ n qui commute avec les opérateurs de bord sur les deux complexes de chaînes, donc ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>d</mi><mrow><mi>B</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>∘</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>∘</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>UN</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}</annotation></semantics></math><img src=$

Une application en chaîne envoie les cycles sur les cycles et les frontières sur les frontières, et induit ainsi une application sur l'homologie. ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet }) ightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet }) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub><mo>:</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>UN</mi><mo>,</mo><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>H</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>d</mi><mrow><mi>B</mi><mo>,</mo><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet }) ightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}</annotation></semantics></math><img src=$

Une application continue f entre espaces topologiques X et Y induit une application en chaîne entre les complexes de chaînes singuliers de X et Y , et donc une application f _* entre les homologies singulières de X et Y. Lorsque X et Y sont tous deux égaux à la n -sphère , l'application induite sur l'homologie définit le degré de l'application f .

Le concept de carte en chaîne se réduit à celui de frontière par la construction du cône d'une carte en chaîne.

homotopie de chaîne

: A → B , une homotopie de chaînes est une suite d'homomorphismes : A _n → B _{n +1} tels que . Ces applications peuvent être représentées par un diagramme comme suit, mais ce diagramme n'est pas commutatif.

L'application hd _A + d _B h induit aisément l'application nulle sur l'homologie, pour tout h . Il s'ensuit immédiatement que f et g induisent la même application sur l'homologie. On dit que f et g sont homotopes sur la chaîne (ou simplement homotopes ), et cette propriété définit une relation d'équivalence entre les applications sur la chaîne.

Soient X et Y deux espaces topologiques. Dans le cas de l'homologie singulière, une homotopie entre deux applications continues : X → Y induit une homotopie en chaîne entre les applications en chaîne associées à f et g . Ceci montre que deux applications homotopiques induisent la même application en homologie singulière. Le terme « homotopie en chaîne » tire son origine de cet exemple.

Exemples

Homologie singulière

{\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X) o C_{n-1}(X) </span referrerpolicy=

être

{\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}] o X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}] o X) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>∂</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>:</mo><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>σ</mi><mo>:</mo><mo>[</mo><msub><mi>v</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>v</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>]</mo><mo>→</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>↦</mo><mo>(</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mi>σ</mi><mo>:</mo><mo>[</mo><msub><mi>v</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mrow><mover><mi>v</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>v</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>]</mo><mo>→</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma</annotation></semantics></math>:[v_{0},\ldots ,v_{n}] o X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}] o X)} </span><img src=

où le chapeau indique l'omission d'un sommet . Autrement dit, la frontière d'un simplexe singulier est la somme alternée des restrictions de ses faces. On peut montrer que ∂² ^/∂² = 0, donc ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet }) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>∂</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}</annotation></semantics></math><img src=$ homologie singulière ${\displaystyle H_{\bullet }(X) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>H</mi><mrow><mo>∙</mo></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H_{\bullet }(X)}</annotation></semantics></math><img src=$

L' homologie singulière est un invariant utile des espaces topologiques à équivalence d'homotopie près . Le groupe d'homologie de degré zéro est un groupe abélien libre sur les composantes des chemins de X.

cohomologie de de Rham

= 0 découle essentiellement de la symétrie des dérivées secondes ; ainsi, les espaces vectoriels des k -formes munis de la dérivée extérieure forment un complexe de cochaînes.

{\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{ o }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{ o }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{ o }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{ o }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{ o }}\ \Omega ^{3}(M) o \cdots <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mo>⊂</mo></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><mrow><msup><mi>ℜ</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mo>⊂</mo></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><mrow><msup><mi>Ω</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><mrow><msup><mi>Ω</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><mrow><msup><mi>Ω</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mover><mrow><mo>→</mo></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><msup><mi>Ω</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>⋯</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{ o }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{ o }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{ o }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{ o }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{ o }}\ \Omega ^{3}(M) o \cdots }</annotation></semantics></math></span><img src=

La cohomologie de ce complexe est appelée la cohomologie de de Rham de M. Les fonctions localement constantes sont désignées par son isomorphisme . ${\displaystyle \Re ^{c <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>ℜ</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Re ^{c}}</annotation></semantics></math><img src=$ M. De cette façon, le complexe a été étendu pour laisser le complexe exact au niveau de la forme zéro en utilisant l'opérateur de sous-ensemble.

Les applications lisses entre variétés induisent des applications en chaîne, et les homotopies lisses entre applications induisent des homotopies en chaîne.

Catégorie de complexes en chaîne

Complexes en chaîne de ${\displaystyle K <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>C</mi><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K}</annotation></semantics></math><img src=$

Si ${\displaystyle V=V_{* <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi><mo>=</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V=V_{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle W=W_{* <semantics><mrow><mstyle><mi>W</mi><mo>=</mo><msub><mi>W</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle W=W_{*}}</annotation></semantics></math><img src=$ produit tensoriel ${\displaystyle V\otimes W <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi><mo>⊗</mo><mi>W</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V\otimes W}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j\mid i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>⊗</mo><mi>W</mi><msub><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mo>⨁</mo><mrow><mo>{</mo><mi>je</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>∣</mo><mi>je</mi><mo>+</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>}</mo></mrow></munder><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>⊗</mo><msub><mi>W</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j\mid i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}</annotation></semantics></math></span><img src=

et différentiel donné par

{\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a ight|}a\otimes \partial b <semantics><mrow><mstyle><mi>∂</mi><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>⊗</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>∂</mi><mi>un</mi><mo>⊗</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>|</mo><mi>un</mi><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><mi>un</mi><mo>⊗</mo><mi>∂</mi><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a ight|}a\otimes \partial b}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle a <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics><mrow><mstyle><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle b}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle W <semantics><mrow><mstyle><mi>W</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle W}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \left|a ight| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo><mi>un</mi><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left|a ight|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a}</annotation></semantics></math><img src=$

Ce produit tensoriel constitue la catégorie ${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>C</mi><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 0 <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a ight|\left|b ight|}b\otimes a <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mo>⊗</mo><mi>b</mi><mo>↦</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>|</mo><mi>un</mi><mo>|</mo></mrow><mrow><mo>|</mo><mi>b</mi><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><mi>b</mi><mo>⊗</mo><mi>un</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a ight|\left|b ight|}b\otimes a}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le panneau est nécessaire pour que le tressage forme une carte en chaîne.

De plus, la catégorie des complexes en chaîne de ${\displaystyle K <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle W <semantics><mrow><mstyle><mi>W</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle W}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle W <semantics><mrow><mstyle><mi>W</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle W}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>H</mi><mi>o</mi><mi>m</mi></mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mi>W</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Pi _{i}{ ext{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Π</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>W</mi><mrow><mi>je</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Pi _{i}{ ext{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f ight|}f(\partial (v)) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>∂</mi><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>∂</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>−</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>|</mo><mi>f</mi><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>∂</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f ight|}f(\partial (v))}</annotation></semantics></math></span><img src=

Nous avons un isomorphisme naturel

{\displaystyle { ext{Hom}}(A\otimes B,C)\cong { ext{Hom}}(A,{ ext{Hom}}(B,C)) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>⊗</mo><mi>B</mi><mo>,</mo><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>≅</mo><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>,</mo><mrow><mtext>Hom</mtext></mrow><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>,</mo><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Hom}}(A\otimes B,C)\cong { ext{Hom}}(A,{ ext{Hom}}(B,C))}</annotation></semantics></math></span><img src=