Semi-continuité

En analyse mathématique , la semi-continuité (ou semi-continuité ) est une propriété des fonctions à valeurs réelles étendues qui est plus faible que la continuité . Une fonction à valeurs réelles étendue est semi-continue supérieure (respectivement inférieure ) en un point si, grosso modo, les valeurs de la fonction pour les arguments proches ne sont pas beaucoup plus élevées (respectivement plus basses) que

Une fonction est continue si et seulement si elle est à la fois semi-continue supérieure et inférieure. Si nous prenons une fonction continue et augmentons sa valeur à un certain point à pour un certain , alors le résultat est semi-continue supérieure ; si nous diminuons sa valeur à alors le résultat est semi-continue inférieure. $0c>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84">

La notion de fonction semi-continue supérieure et inférieure a été introduite et étudiée pour la première fois par René Baire dans sa thèse en 1899.

Supposons que tout cela est un espace topologique et une fonction avec des valeurs dans les nombres réels étendus .

Une fonction est dite semi-continue supérieure en un point si pour tout réel il existe un voisinage de tel que pour tout . De manière équivalente, est semi-continue supérieure en si et seulement si où lim sup est la limite supérieure de la fonction au point $f\backslash left(x\_\{0\}\; ight)\mathrm{et}>f\left(x_0\right)$f\gauche(x_{0}\droite)}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a29fe445e064d17fa30b7a9fb468a079a7333ad">

Si est un espace métrique avec une fonction de distance et cela peut également être reformulé en utilisant une formulation - , similaire à la définition de la fonction continue . À savoir, pour chaque il existe un tel que chaque fois que$0\epsilon >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12">$0\delta >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9">

Une fonction est dite semi-continue supérieure si elle satisfait l'une des conditions équivalentes suivantes :

(1) La fonction est semi-continue supérieure en tout point de son domaine .

(2) Pour chaque , l'ensemble est ouvert dans , où .

(3) Pour chaque , l' ensemble de superniveaux est fermé dans .

(4) L' hypographe est fermé en .

(5) La fonction est continue lorsque le codomaine est donné avec la topologie d'ordre gauche . Il s'agit simplement d'une reformulation de la condition (2) puisque la topologie d'ordre gauche est générée par tous les intervalles .

Une fonction est dite semi-continue inférieure en un point si pour tout réel il existe un voisinage de tel que pour tout . De manière équivalente, est semi-continue inférieure en si et seulement si où est la limite inférieure de la fonction au point $yf\left(x\right)>y$y}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e214848bc216b97ceff4740b8f773609136f696">

Si est un espace métrique avec une fonction de distance et cela peut également être reformulé comme suit : Pour chaque il existe un tel que chaque fois que$0\epsilon >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12">$0\delta >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9">$f(x\_\{0\})-\backslash varepsilonf\left(x\right)>f\left(x_0\right)-\epsilon$f(x_{0})-\varepsilon }" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac8bf72e41af82cbdca9d86f0cfdf756df81110">

Une fonction est dite semi-continue inférieure si elle satisfait l'une des conditions équivalentes suivantes :

(1) La fonction est semi-continue inférieure en tout point de son domaine .

(2) Pour chaque , l'ensemble est ouvert dans , où .$y\backslash f^{-1}\left(\right(y,\infty \left]\right)=\{x\in X:f(x)>y\}$y\}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272409a931166756ce2b7a7f5d61addf37debcf2">$y\backslash (y,\infty ]=\{t\in \overline{R}:t>y\}$y\}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11d06cc7126d67bbd5f8d5ca4d0386d386b5d1a">

(3) Pour chaque , l' ensemble de sous- niveaux est fermé dans .

(4) L' épigraphe est fermée en .

(5) La fonction est continue lorsque le codomaine est doté de la topologie d'ordre approprié . Il s'agit simplement d'une reformulation de la condition (2) puisque la topologie d'ordre approprié est générée par tous les intervalles .

Considérez la fonction définie par morceaux par : Cette fonction est semi-continue supérieurement mais pas semi-continue inférieurement.

La fonction floor qui renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à un nombre réel donné est partout semi-continue supérieure. De même, la fonction ceiling est semi-continue inférieurement.

La semi-continuité supérieure et inférieure n'ont aucun rapport avec la continuité à gauche ou à droite pour les fonctions d'une variable réelle. La semi-continuité est définie en termes d'ordre dans l'étendue des fonctions, et non dans le domaine. Par exemple, la fonction est semi-continue supérieure à tandis que les limites de la fonction à gauche ou à droite à zéro n'existent même pas.

Si est un espace euclidien (ou plus généralement, un espace métrique) et est l'espace des courbes dans (de distance suprême ), alors la fonctionnelle de longueur qui assigne à chaque courbe sa longueur est semi-continue inférieure. À titre d'exemple, considérons l'approximation de la diagonale carrée unité par un escalier par en dessous. L'escalier a toujours une longueur de 2, tandis que la ligne diagonale n'a que une longueur de .

Soit un espace mesuré et soit l'ensemble des fonctions mesurables positives munies de la topologie de convergence en mesure par rapport à Alors par le lemme de Fatou l'intégrale, vue comme un opérateur de vers est semi-continue inférieure.

Le théorème de Tonelli en analyse fonctionnelle caractérise la faible semi-continuité inférieure des fonctionnelles non linéaires sur les espaces L ^p en termes de convexité d'une autre fonction.

Sauf indication contraire, toutes les fonctions ci-dessous proviennent d'un espace topologique vers les nombres réels étendus . Plusieurs des résultats sont valables pour la semi-continuité en un point spécifique, mais par souci de concision, ils ne sont énoncés que pour la semi-continuité sur l'ensemble du domaine.

• Une fonction est continue si et seulement si elle est à la fois semi-continue supérieurement et inférieurement.
• La fonction caractéristique ou fonction indicatrice d'un ensemble (défini par si et si ) est semi-continue supérieure si et seulement si est un ensemble fermé . Elle est semi-continue inférieure si et seulement si est un ensemble ouvert .
• Dans le domaine de l'analyse convexe , la fonction caractéristique d'un ensemble est définie différemment, comme si et si . Avec cette définition, la fonction caractéristique de tout ensemble fermé est semi-continue inférieurement, et la fonction caractéristique de tout ensemble ouvert est semi-continue supérieurement.

Laisser .

• Si et sont semi-continues inférieures, alors la somme est semi-continue inférieure (à condition que la somme soit bien définie, c'est-à-dire qu'elle ne soit pas de forme indéterminée ). Il en va de même pour les fonctions semi-continues supérieures.
• Si et sont semi-continues inférieures et non négatives, alors la fonction produit est semi-continue inférieurement. Le résultat correspondant est valable pour les fonctions semi-continues supérieures.
• La fonction est semi-continue inférieure si et seulement si elle est semi-continue supérieure.
• Si et sont semi-continus supérieurs et est non décroissant , alors la composition est semi-continue supérieure. D'autre part, si n'est pas non décroissant, alors peut ne pas être semi-continue supérieure.
• Si et sont semi-continues inférieures, leur maximum et minimum (ponctuels) (définis par et ) sont également semi-continus inférieurs. Par conséquent, l'ensemble de toutes les fonctions semi-continues inférieures de à (ou à ) forme un treillis . Les énoncés correspondants sont également valables pour les fonctions semi-continues supérieures.

• Le supremum (ponctuel) d'une famille arbitraire de fonctions semi-continues inférieures (définies par ) est semi-continue inférieure.

En particulier, la limite d'une suite monotone croissante de fonctions continues est semi-continue inférieure. (Le théorème de Baire ci-dessous fournit une réciproque partielle.) La fonction limite ne sera en général que semi-continue inférieure, et non continue. Un exemple est donné par les fonctions définies pour pour

De même, l' infimum d'une famille arbitraire de fonctions semi-continues supérieures est semi-continue supérieure. Et la limite d'une suite monotone décroissante de fonctions continues est semi-continue supérieure.

• Si est un espace compact (par exemple un intervalle fermé borné ) et est semi-continu supérieur, alors atteint un maximum sur Si est semi-continu inférieur sur il atteint un minimum sur

( Preuve pour le cas semi-continu supérieur : Par la condition (5) de la définition, est continue lorsque l'on donne la topologie d'ordre gauche. Son image est donc compacte dans cette topologie. Et les ensembles compacts dans cette topologie sont exactement les ensembles avec un maximum. Pour une preuve alternative, voir l'article sur le théorème des valeurs extrêmes .)

• ( Théorème de Baire ) Soit un espace métrique . Toute fonction semi-continue inférieure est la limite d'une suite croissante ponctuelle de fonctions continues à valeurs réelles étendues sur En particulier, il existe une suite de fonctions continues telle que

Si ne prend pas la valeur , les fonctions continues peuvent être considérées comme à valeurs réelles.

De plus, chaque fonction semi-continue supérieure est la limite d'une séquence décroissante monotone de fonctions continues à valeurs réelles étendues sur lesquelles si elle ne prend pas la valeur, les fonctions continues peuvent être considérées comme à valeurs réelles.

• Toute fonction semi-continue supérieure sur un espace topologique arbitraire est localement constante sur un sous-ensemble ouvert dense de

• Si l'espace topologique est séquentiel , alors est semi-continu supérieur si et seulement s'il est séquentiellement semi-continu supérieur, c'est-à-dire si pour toute suite convergeant vers , on a . De manière équivalente, dans un espace séquentiel, est semi-continu supérieur si et seulement si ses ensembles de super-niveaux sont séquentiellement fermés pour tout . En général, les fonctions semi-continues supérieures sont séquentiellement semi-continues supérieures, mais la réciproque peut être fausse.

Pour les fonctions à valeurs multiples , plusieurs concepts de semi-continuité ont été définis, à savoir la semi-continuité supérieure , inférieure , externe et interne , ainsi que l'hémi-continuité supérieure et inférieure . Une fonction à valeurs multiples d'un ensemble vers un ensemble s'écrit Pour chaque la fonction définit un ensemble La préimage d'un ensemble sous est définie comme C'est-à-dire, est l'ensemble qui contient tous les points de tels que ne soit pas disjoint de .

Une application à valeurs multiples est semi-continue supérieure à si pour tout ouvert tel que , il existe un voisinage de tel que

Une application à valeurs multiples est semi-continue inférieure à si pour tout ouvert tel qu'il existe un voisinage de tel que

Les semi-continuités à valeurs d'ensemble supérieures et inférieures sont également définies de manière plus générale pour des applications à valeurs d'ensemble entre des espaces topologiques en remplaçant et dans les définitions ci-dessus par des espaces topologiques arbitraires.

Il faut noter qu'il n'y a pas de correspondance directe entre la semi-continuité inférieure et supérieure à valeur unique et la semi-continuité inférieure et supérieure à valeurs multiples. Une fonction semi-continue supérieure à valeur unique n'est pas nécessairement semi-continue supérieure lorsqu'elle est considérée comme une application à valeurs multiples. Par exemple, la fonction définie par est semi-continue supérieure au sens à valeur unique mais l'application à valeurs multiples n'est pas semi-continue supérieure au sens à valeurs multiples.

Une fonction à valeurs multiples est dite semi-continue interne à si pour chaque suite convergente dans telle que , il existe une suite dans telle que et pour tout suffisamment grand

Une fonction à valeurs multiples est dite semi-continue externe si pour chaque séquence de convergence dans telle que et chaque séquence convergente dans telle que pour chaque la séquence converge vers un point dans (c'est-à-dire, ).