Domaine d'une fonction

En mathématiques , le domaine d'une fonction est l' ensemble des entrées acceptées par la fonction . Il est parfois noté ou , où f est la fonction. En termes simples, le domaine d'une fonction peut généralement être considéré comme « ce que x peut être ».

Plus précisément, étant donné une fonction , le domaine de f est X . Dans le langage mathématique moderne, le domaine fait partie de la définition d'une fonction plutôt que d'une propriété de celle-ci.

Dans le cas particulier où X et Y sont tous deux des ensembles de nombres réels , la fonction f peut être représentée graphiquement dans le système de coordonnées cartésiennes . Dans ce cas, le domaine est représenté sur l' axe des x du graphique, comme la projection du graphique de la fonction sur l' axe des x .

Pour une fonction , l'ensemble Y est appelé le codomaine : l'ensemble auquel toutes les sorties doivent appartenir. L'ensemble des sorties spécifiques que la fonction affecte aux éléments de X est appelé son domaine ou image . L'image de f est un sous-ensemble de Y , représenté par l'ovale jaune dans le diagramme ci-joint.

Toute fonction peut être restreinte à un sous-ensemble de son domaine. La restriction de à , où , s'écrit .

Si une fonction réelle f est donnée par une formule, elle peut ne pas être définie pour certaines valeurs de la variable. Dans ce cas, il s'agit d'une fonction partielle , et l'ensemble des nombres réels sur lesquels la formule peut être évaluée en un nombre réel est appelé le domaine naturel ou domaine de définition de f . Dans de nombreux contextes, une fonction partielle est appelée simplement une fonction , et son domaine naturel est appelé simplement son domaine .

• La fonction définie par ne peut pas être évaluée à 0. Par conséquent, le domaine naturel de est l'ensemble des nombres réels excluant 0, qui peut être noté par ou .
• La fonction par morceaux définie par a pour domaine naturel l'ensemble des nombres réels.
• La fonction racine carrée a pour domaine naturel l'ensemble des nombres réels non négatifs, qui peuvent être notés par , l'intervalle ou .
• La fonction tangente , notée , a pour domaine naturel l'ensemble de tous les nombres réels qui ne sont pas de la forme pour un entier , qui peut s'écrire .

Le terme domaine est aussi couramment utilisé dans un sens différent en analyse mathématique : un domaine est un ensemble ouvert connexe non vide dans un espace topologique . En particulier, en analyse réelle et complexe , un domaine est un sous-ensemble ouvert connexe non vide de l' espace de coordonnées réel ou de l' espace de coordonnées complexe

Parfois, un tel domaine est utilisé comme domaine d'une fonction, bien que les fonctions puissent être définies sur des ensembles plus généraux. Les deux concepts sont parfois confondus, comme dans l'étude des équations aux dérivées partielles : dans ce cas, un domaine est le sous-ensemble ouvert connexe dans lequel un problème est posé, ce qui en fait à la fois un domaine de style analytique et également le domaine de la ou des fonctions inconnues recherchées.

Par exemple, il est parfois pratique en théorie des ensembles de permettre que le domaine d'une fonction soit une classe propre X , auquel cas il n'existe formellement pas de triplet ( X , Y , G ) . Avec une telle définition, les fonctions n'ont pas de domaine, bien que certains auteurs l'utilisent encore de manière informelle après avoir introduit une fonction sous la forme f : X → Y .