Fonctions sol et plafond

En mathématiques , la fonction floor est la fonction qui prend en entrée un nombre réel x et donne en sortie le plus grand entier inférieur ou égal à x , noté ⌊ x ⌋ ou floor( x ) . De même, la fonction ceiling associe x au plus petit entier supérieur ou égal à x , noté ⌈ x ⌉ ou ceil( x ) .

Par exemple, pour le sol : ⌊2,4⌋ = 2 , ⌊−2,4⌋ = −3 , et pour le plafond : ⌈2,4⌉ = 3 et ⌈−2,4⌉ = −2 .

Le plancher de x est également appelé partie intégrale , partie entière , plus grand entier ou entier de x , et était historiquement noté [ x ] (entre autres notations). Cependant, le même terme, partie entière , est également utilisé pour la troncature vers zéro, ce qui diffère de la fonction plancher pour les nombres négatifs.

Pour n un entier, ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n .

Bien que floor( x+1 ) et ceil( x ) produisent des graphes qui semblent exactement identiques, ils ne sont pas identiques lorsque la valeur de x est un entier exact. Par exemple, lorsque x = 2,0001 ; ⌊2,0001+1⌋ = ⌈2,0001⌉ = 3 . Cependant, si x = 2, alors ⌊2+1⌋ = 3 , tandis que ⌈2⌉ = 2 .

La partie entière d' un nombre ( dans l'original) a été définie pour la première fois en 1798 par Adrien -Marie Legendre dans sa démonstration de la formule de Legendre .

Carl Friedrich Gauss a introduit la notation entre crochets [ x ] dans sa troisième preuve de réciprocité quadratique (1808). Cela est resté la norme en mathématiques jusqu'à ce que Kenneth E. Iverson introduise, dans son livre de 1962 A Programming Language , les noms « floor » et « ceiling » et les notations correspondantes ⌊ x ⌋ et ⌈ x ⌉ . (Iverson a utilisé les crochets dans un but différent, la notation entre crochets d'Iverson .) Les deux notations sont maintenant utilisées en mathématiques, bien que la notation d'Iverson soit suivie dans cet article.

Dans certaines sources, les parenthèses en gras ou doubles ⟦ x ⟧ sont utilisées pour le sol et les parenthèses inversées ⟧ x ⟦ ou ] x [ ​​pour le plafond.

La partie fractionnaire est la fonction en dents de scie , notée { x } pour x réel et définie par la formule

{ x } = x − ⌊ x ⌋

Pour tout x ,

0 ≤ { x } < 1 .

Ces caractères sont fournis en Unicode :

• U+2308 ⌈ PLAFOND GAUCHE ( ⌈, ⌈ )
• U+2309 ⌉ PLAFOND DROIT ( ⌉, ⌉ )
• U+230A ⌊ ÉTAGE GAUCHE ( ⌊, ⌊ )
• U+230B ⌋ ÉTAGE DROIT ( ⌋, ⌋ )

Dans le système de composition LaTeX , ces symboles peuvent être spécifiés avec les commandes et en mode mathématique. LaTeX prend en charge UTF-8 depuis 2018, les caractères Unicode peuvent donc désormais être utilisés directement. Les versions plus grandes sont et . \lceil, ceil, \lfloor, floor\left\lceil, ight ceil, \left\lfloor, ight floor

Étant donné les nombres réels x et y , les entiers m et n et l'ensemble des entiers , le plancher et le plafond peuvent être définis par les équations

Comme il existe exactement un entier dans un intervalle semi-ouvert de longueur un, pour tout nombre réel x , il existe des entiers uniques m et n satisfaisant l'équation

où et peut également être pris comme définition du sol et du plafond.

Ces formules peuvent être utilisées pour simplifier les expressions impliquant des planchers et des plafonds.

Dans le langage de la théorie de l'ordre , la fonction plancher est une application résiduelle , c'est-à-dire une partie d'une connexion de Galois : c'est l'adjoint supérieur de la fonction qui plonge les entiers dans les réels.

Ces formules montrent comment l'ajout d'un entier n aux arguments affecte les fonctions :

Les affirmations ci-dessus ne sont jamais vraies si n n'est pas un entier ; cependant, pour chaque x et y , les inégalités suivantes sont vraies :

Les fonctions plancher et plafond sont toutes deux des fonctions monotones non décroissantes :

Il ressort clairement des définitions que

x est un entier, c'est-à-dire

En fait, pour les entiers n , les fonctions plancher et plafond sont toutes deux l' identité :

La négation de l'argument inverse le plancher et le plafond et change le signe :

et:

La négation de l'argument complète la partie fractionnaire :

Les fonctions plancher, plafond et partie fractionnaire sont idempotentes :

Le résultat des fonctions de plancher ou de plafond imbriquées est la fonction la plus interne :

en raison de la propriété d'identité des entiers.

Si m et n sont des entiers et n ≠ 0,

Si n est un entier positif

Si m est positif

Pour m = 2, cela implique

Plus généralement, m positif (Voir l'identité d'Hermite )

Les éléments suivants peuvent être utilisés pour convertir les sols en plafonds et vice versa ( m positif)

Pour tous les entiers strictement positifs m et n :

ce qui, pour m et n positifs et premiers entre eux , se réduit à

et de même pour les fonctions plafond et partie fractionnaire (toujours pour m et n positifs et premiers entre eux ),

Étant donné que le côté droit du cas général est symétrique en m et n , cela implique que

Plus généralement, si m et n sont positifs,

C'est ce qu'on appelle parfois une loi de réciprocité.

La division par des entiers positifs donne lieu à une propriété intéressante et parfois utile. En supposant que , $0m,n>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91082f201fdfd540ec8a582b019e1f876d58f00">

De la même manière,

En effet,

en gardant à l'esprit que la deuxième équivalence impliquant la fonction plafond peut être prouvée de la même manière.

Pour un entier positif n et des nombres réels arbitraires m , x :

Aucune des fonctions décrites dans cet article n'est continue , mais toutes sont linéaires par morceaux : les fonctions , et présentent des discontinuités aux entiers.

Étant donné qu'aucune des fonctions décrites dans cet article n'est continue, aucune d'entre elles ne possède de développement en série entière . Étant donné que floor et ceiling ne sont pas périodiques, ils ne possèdent pas de développement en série de Fourier uniformément convergent . La fonction partie fractionnaire possède un développement en série de Fourier pour x qui n'est pas un entier.

Aux points de discontinuité, une série de Fourier converge vers une valeur qui est la moyenne de ses limites à gauche et à droite, contrairement aux fonctions plancher, plafond et partie fractionnaire : pour y fixé et x multiple de y la série de Fourier donnée converge vers y /2, plutôt que vers x mod y = 0. Aux points de continuité la série converge vers la vraie valeur.

L'utilisation de la formule donne x qui n'est pas un entier.

Pour un entier x et un entier positif y , l' opération modulo , notée x mod y , donne la valeur du reste lorsque x est divisé par y . Cette définition peut être étendue aux entiers x et y , y ≠ 0, par la formule

Il résulte alors de la définition de la fonction plancher que cette opération étendue satisfait de nombreuses propriétés naturelles. Notamment, x mod y est toujours compris entre 0 et y , c'est-à-dire,

si y est positif,

et si y est négatif,

$y.0\ge xmody>y.$y.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74344b7f10acd75d014471a0624651f03829fb21">

La troisième preuve de la réciprocité quadratique de Gauss , telle que modifiée par Eisenstein, comporte deux étapes fondamentales.

Soient p et q des nombres premiers impairs positifs distincts, et soit

Tout d'abord, le lemme de Gauss est utilisé pour montrer que les symboles de Legendre sont donnés par

La deuxième étape consiste à utiliser un argument géométrique pour montrer que

La combinaison de ces formules donne une réciprocité quadratique sous la forme

Il existe des formules qui utilisent floor pour exprimer le caractère quadratique des petits nombres modulo les nombres premiers impairs p :

Pour un nombre réel arbitraire , l'arrondi à l'entier le plus proche avec départage vers l'infini positif est donné par ; l'arrondi vers l'infini négatif est donné par .

Si le départage est éloigné de 0, alors la fonction d'arrondi est (voir fonction de signe ), et l'arrondi vers pair peut être exprimé avec le plus encombrant , qui est l'expression ci-dessus pour l'arrondi vers l'infini positif moins un indicateur d'intégralité pour .

L'arrondi d'un nombre réel à la valeur entière la plus proche constitue un type de quantificateur très basique : un quantificateur uniforme . Un quantificateur uniforme typique ( à mi-chemin ) avec un pas de quantification égal à une certaine valeur peut être exprimé comme suit :

Le nombre de chiffres en base b d'un entier positif k est

Le nombre de chaînes possibles de longueur arbitraire qui n'utilisent aucun caractère deux fois est donné par

où:

• n > 0 est le nombre de lettres de l'alphabet (par exemple, 26 en anglais )
• la factorielle décroissante désigne le nombre de chaînes de longueur k qui n'utilisent aucun caractère deux fois.
• n ! désigne la factorielle de n
• e = 2,718... est le nombre d'Euler

Pour n = 26, cela donne 1096259850353149530222034277.

Soit n un entier positif et p un nombre premier positif. L'exposant de la plus grande puissance de p qui divise n ! est donné par une version de la formule de Legendre

où est la manière d'écrire n en base p . Il s'agit d'une somme finie, puisque les planchers sont nuls lorsque p ^k > n .

La séquence de Beatty montre comment chaque nombre irrationnel positif donne lieu à une partition des nombres naturels en deux séquences via la fonction plancher.

Il existe des formules pour la constante d'Euler γ = 0,57721 56649 ... qui impliquent le plancher et le plafond, par exemple

et

La fonction fractionnaire apparaît également dans les représentations intégrales de la fonction zêta de Riemann . Il est simple de prouver (en utilisant l'intégration par parties) que si est une fonction quelconque avec une dérivée continue dans l'intervalle fermé [ a , b ],

En supposant que la partie réelle de s soit supérieure à 1 et que a et b soient des entiers, et que b tende vers l'infini, cela donne

Cette formule est valable pour tous les s dont la partie réelle est supérieure à −1 (sauf s = 1, où il y a un pôle) et combinée avec le développement de Fourier pour { x } peut être utilisée pour étendre la fonction zêta à l'ensemble du plan complexe et pour prouver son équation fonctionnelle.

Pour s = σ + it dans la bande critique 0 < σ < 1,

En 1947, van der Pol a utilisé cette représentation pour construire un ordinateur analogique permettant de trouver les racines de la fonction zêta.

La fonction floor apparaît dans plusieurs formules caractérisant les nombres premiers. Par exemple, comme est égal à 1 si m divise n , et à 0 sinon, il s'ensuit qu'un entier positif n est un nombre premier si et seulement si

On peut aussi donner des formules pour produire les nombres premiers. Par exemple, soit p _n le n -ième nombre premier, et pour tout entier r > 1, on définit le nombre réel α par la somme

Ensuite

Un résultat similaire est qu'il existe un nombre θ = 1,3064... ( constante de Mills ) avec la propriété que

sont tous premiers.

Il existe également un nombre ω = 1,9287800... avec la propriété que

sont tous premiers.

Soit π ( x ) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x . On peut déduire directement du théorème de Wilson que

De plus, si n ≥ 2,

Aucune des formules de cette section n’est d’une quelconque utilité pratique.

Ramanujan a soumis ces problèmes au Journal of the Indian Mathematical Society .

Si n est un entier positif, prouver que

Certaines généralisations aux identités de fonction de plancher ci-dessus ont été prouvées.

L'étude du problème de Waring a conduit à un problème non résolu :

Existe-t-il des entiers positifs k ≥ 6 tels que

$2^\{k\}-\{\backslash Bigl\; \backslash lfloor\; \}\{\backslash bigl\; (\}\{\; frac\; \{3\}\{2\}\}\{\backslash bigr\; )\}^\{k\}\{\backslash Bigr\; floor\; \}-2\backslash \; ?3^k-2^k\lfloor (\frac{3}{2}{)}^k\rfloor >2^k-\lfloor (\frac{3}{2}{)}^k\rfloor -2?$2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{ frac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr floor }-2\ ?}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e8b7193c43f1a515129d026736c57538165a49">

Mahler a prouvé qu'il ne peut y avoir qu'un nombre fini de tels k ; aucun n'est connu.

Dans la plupart des langages de programmation, la méthode la plus simple pour convertir un nombre à virgule flottante en entier ne consiste pas à utiliser le plancher ou le plafond, mais la troncature. La raison en est historique, car les premières machines utilisaient le complément à un et la troncature était plus simple à mettre en œuvre (le plancher est plus simple en complément à deux ). FORTRAN a été défini pour exiger ce comportement et donc presque tous les processeurs implémentent la conversion de cette façon. Certains considèrent qu'il s'agit d'une décision de conception historique malheureuse qui a conduit à des bogues dans la gestion des décalages négatifs et des graphiques du côté négatif de l'origine.

Un décalage arithmétique vers la droite d'un entier signé de est identique à . La division par une puissance de 2 est souvent écrite comme un décalage vers la droite, non pas pour l'optimisation comme on pourrait le supposer, mais parce que le plancher des résultats négatifs est requis. Considérer que ces décalages sont une « optimisation prématurée » et les remplacer par une division peut casser le logiciel.

De nombreux langages de programmation (dont C , C++ , C# , Java , Julia , PHP , R , et Python ) fournissent des fonctions standard pour floor et ceiling, généralement appelées flooret ceil, ou moins fréquemment ceiling. Le langage APL utilise ⌊xpour floor. Le langage de programmation J , une suite d'APL qui est conçu pour utiliser des symboles de clavier standard, utilise <.pour floor et >.pour ceiling. ALGOL utilise entierpour floor.

Dans Microsoft Excel, la fonction INTarrondit vers le bas plutôt que vers zéro, tandis qu'elle FLOORarrondit vers zéro, l'inverse de ce que font « int » et « floor » dans d'autres langages. Depuis 2010, elle FLOORa été modifiée en erreur si le nombre est négatif. Le format de fichier OpenDocument , tel qu'utilisé par OpenOffice.org , Libreoffice et d'autres, INT et FLOORles deux font floor, et FLOORont un troisième argument pour reproduire le comportement antérieur d'Excel.