Quantification (traitement du signal)

En mathématiques et en traitement numérique du signal , la quantification est le processus de mappage des valeurs d'entrée d'un grand ensemble (souvent un ensemble continu) vers des valeurs de sortie dans un ensemble plus petit (dénombrable), souvent avec un nombre fini d'éléments . L'arrondi et la troncature sont des exemples typiques de processus de quantification. La quantification est impliquée dans une certaine mesure dans presque tous les traitements de signaux numériques, car le processus de représentation d'un signal sous forme numérique implique généralement un arrondi. La quantification constitue également le cœur de pratiquement tous les algorithmes de compression avec perte .

La différence entre une valeur d'entrée et sa valeur quantifiée (comme l'erreur d'arrondi ) est appelée erreur de quantification . Un dispositif ou une fonction algorithmique qui effectue la quantification est appelé quantificateur . Un convertisseur analogique-numérique est un exemple de quantificateur.

Par exemple, l'arrondi d'un nombre réel à la valeur entière la plus proche constitue un type de quantificateur très basique : un quantificateur uniforme . Un quantificateur uniforme typique ( à mi-chemin ) avec un pas de quantification égal à une certaine valeur peut être exprimé comme suit :

où la notation désigne la fonction plancher .

Alternativement, le même quantificateur peut être exprimé en termes de fonction plafond , comme

(La notation désigne la fonction plafond).

La propriété essentielle d'un quantificateur est d'avoir un ensemble dénombrable de valeurs de sortie possibles plus petites que l'ensemble des valeurs d'entrée possibles. Les membres de l'ensemble de valeurs de sortie peuvent avoir des valeurs entières, rationnelles ou réelles. Pour un arrondi simple à l'entier le plus proche, la taille du pas est égale à 1. Avec ou égal à toute autre valeur entière, ce quantificateur a des entrées à valeur réelle et des sorties à valeur entière.

Lorsque la taille du pas de quantification (Δ) est faible par rapport à la variation du signal quantifié, il est relativement simple de montrer que l' erreur quadratique moyenne produite par une telle opération d'arrondi sera d'environ . L'erreur quadratique moyenne est également appelée puissance du bruit de quantification . L'ajout d'un bit au quantificateur réduit de moitié la valeur de Δ, ce qui réduit la puissance du bruit du facteur ⁠1/4En termes de décibels , le changement de puissance du bruit est

Étant donné que l'ensemble des valeurs de sortie possibles d'un quantificateur est dénombrable, tout quantificateur peut être décomposé en deux étapes distinctes, que l'on peut appeler l' étape de classification (ou étape de quantification directe ) et l' étape de reconstruction (ou étape de quantification inverse ), où l'étape de classification mappe la valeur d'entrée à un indice de quantification entier et l'étape de reconstruction mappe l'indice à la valeur de reconstruction qui est l'approximation de sortie de la valeur d'entrée. Pour l'exemple de quantificateur uniforme décrit ci-dessus, l'étape de quantification directe peut être exprimée comme suit :

et l'étape de reconstruction pour cet exemple de quantificateur est simplement

Cette décomposition est utile pour la conception et l'analyse du comportement de quantification, et elle illustre comment les données quantifiées peuvent être communiquées via un canal de communication : un codeur source peut effectuer l'étape de quantification directe et envoyer les informations d'index via un canal de communication, et un décodeur peut effectuer l'étape de reconstruction pour produire l'approximation de sortie des données d'entrée d'origine. En général, l'étape de quantification directe peut utiliser n'importe quelle fonction qui mappe les données d'entrée à l'espace entier des données d'index de quantification, et l'étape de quantification inverse peut être conceptuellement (ou littéralement) une opération de recherche de table pour mapper chaque index de quantification à une valeur de reconstruction correspondante. Cette décomposition en deux étapes s'applique aussi bien aux quantificateurs vectoriels qu'aux quantificateurs scalaires.

Étant donné que la quantification est un mappage de plusieurs à quelques-uns, il s'agit d'un processus intrinsèquement non linéaire et irréversible (c'est-à-dire que, étant donné que la même valeur de sortie est partagée par plusieurs valeurs d'entrée, il est impossible, en général, de récupérer la valeur d'entrée exacte lorsque seule la valeur de sortie est donnée).

L'ensemble des valeurs d'entrée possibles peut être infiniment grand, et peut éventuellement être continu et donc non dénombrable (comme l'ensemble de tous les nombres réels, ou de tous les nombres réels dans une plage limitée). L'ensemble des valeurs de sortie possibles peut être fini ou dénombrablement infini . Les ensembles d'entrée et de sortie impliqués dans la quantification peuvent être définis d'une manière assez générale. Par exemple, la quantification vectorielle est l'application de la quantification à des données d'entrée multidimensionnelles (à valeurs vectorielles).

Un convertisseur analogique-numérique (CAN) peut être modélisé selon deux processus : l'échantillonnage et la quantification. L'échantillonnage convertit un signal de tension variable dans le temps en un signal à temps discret , une séquence de nombres réels. La quantification remplace chaque nombre réel par une approximation d'un ensemble fini de valeurs discrètes. Le plus souvent, ces valeurs discrètes sont représentées sous forme de mots à virgule fixe. Bien qu'un nombre quelconque de niveaux de quantification soit possible, les longueurs de mot courantes sont de 8 bits (256 niveaux), 16 bits (65 536 niveaux) et 24 bits (16,8 millions de niveaux). La quantification d'une séquence de nombres produit une séquence d'erreurs de quantification qui est parfois modélisée comme un signal aléatoire additif appelé bruit de quantification en raison de son comportement stochastique . Plus un quantificateur utilise de niveaux, plus sa puissance de bruit de quantification est faible.

La quantification optimisée en termes de taux et de distorsion est utilisée dans le codage source pour les algorithmes de compression de données avec perte, où l'objectif est de gérer la distorsion dans les limites du débit binaire pris en charge par un canal de communication ou un support de stockage. L'analyse de la quantification dans ce contexte implique l'étude de la quantité de données (généralement mesurée en chiffres ou en bits ou en débit binaire ) utilisée pour représenter la sortie du quantificateur, et l'étude de la perte de précision introduite par le processus de quantification (appelée distorsion ).

La plupart des quantificateurs uniformes pour les données d'entrée signées peuvent être classés en deux types : à mi-hauteur et à mi-marche . La terminologie est basée sur ce qui se passe dans la région autour de la valeur 0 et utilise l'analogie de la visualisation de la fonction d'entrée-sortie du quantificateur comme un escalier . Les quantificateurs à mi-marche ont un niveau de reconstruction à valeur nulle (correspondant à une marche d'escalier), tandis que les quantificateurs à mi-marche ont un seuil de classification à valeur nulle (correspondant à une contremarche d'escalier).

La quantification à mi-course implique un arrondi. Les formules de quantification uniforme à mi-course sont fournies dans la section précédente.

La quantification à mi-hauteur implique une troncature. La formule d'entrée-sortie pour un quantificateur uniforme à mi-hauteur est donnée par :

où la règle de classification est donnée par

et la règle de reconstruction est

Notez que les quantificateurs uniformes à mi-hauteur n'ont pas de valeur de sortie nulle : leur amplitude de sortie minimale est la moitié de la taille du pas. En revanche, les quantificateurs à mi-hauteur ont un niveau de sortie nul. Pour certaines applications, il peut être nécessaire d'avoir une représentation du signal de sortie nul.

En général, un quantificateur à mi-hauteur ou à mi-hauteur peut ne pas être un quantificateur uniforme , c'est-à-dire que la taille des intervalles de classification du quantificateur peut ne pas être la même, ou que l'espacement entre ses valeurs de sortie possibles peut ne pas être le même. La caractéristique distinctive d'un quantificateur à mi-hauteur est qu'il a une valeur de seuil de classification qui est exactement zéro, et la caractéristique distinctive d'un quantificateur à mi-hauteur est qu'il a une valeur de reconstruction qui est exactement zéro.

Un quantificateur à zone morte est un type de quantificateur à mi-course avec un comportement symétrique autour de 0. La région autour de la valeur de sortie zéro d'un tel quantificateur est appelée zone morte ou bande morte . La zone morte peut parfois servir au même but qu'une porte de bruit ou une fonction de silencieux . En particulier pour les applications de compression, la zone morte peut avoir une largeur différente de celle des autres étapes. Pour un quantificateur par ailleurs uniforme, la largeur de la zone morte peut être définie sur n'importe quelle valeur en utilisant la règle de quantification directe

où la fonction ( ) est la fonction signe (également appelée fonction signum ). La règle générale de reconstruction pour un tel quantificateur de zone morte est donnée par

où est une valeur de décalage de reconstruction dans la plage de 0 à 1 en tant que fraction de la taille du pas. En règle générale, lors de la quantification des données d'entrée avec une fonction de densité de probabilité (PDF) typique qui est symétrique autour de zéro et atteint sa valeur maximale à zéro (comme une PDF gaussienne , laplacienne ou gaussienne généralisée ). Bien que cela puisse dépendre de en général et puisse être choisi pour remplir la condition d'optimalité décrite ci-dessous, il est souvent simplement défini sur une constante, telle que . (Notez que dans cette définition, en raison de la définition de la fonction ( ) , donc n'a aucun effet.)

Un cas particulier très fréquemment utilisé (par exemple, le schéma généralement utilisé en comptabilité financière et en mathématiques élémentaires) consiste à définir et pour tout . Dans ce cas, le quantificateur de zone morte est également un quantificateur uniforme, puisque la zone morte centrale de ce quantificateur a la même largeur que toutes ses autres étapes, et toutes ses valeurs de reconstruction sont également espacées de manière égale.

Une hypothèse courante pour l'analyse de l'erreur de quantification est qu'elle affecte un système de traitement du signal de manière similaire à celle du bruit blanc additif - ayant une corrélation négligeable avec le signal et une densité spectrale de puissance approximativement plate . Le modèle de bruit additif est couramment utilisé pour l'analyse des effets de l'erreur de quantification dans les systèmes de filtrage numérique, et il peut être très utile dans une telle analyse. Il s'est avéré être un modèle valide dans les cas de quantification à haute résolution (petite par rapport à la puissance du signal) avec des PDF lisses.

Le comportement du bruit additif n'est pas toujours une hypothèse valable. L'erreur de quantification (pour les quantificateurs définis comme décrit ici) est liée de manière déterministe au signal et n'est pas entièrement indépendante de celui-ci. Ainsi, les signaux périodiques peuvent créer un bruit de quantification périodique. Et dans certains cas, cela peut même provoquer l'apparition de cycles limites dans les systèmes de traitement de signal numérique. Une façon de garantir une indépendance efficace de l'erreur de quantification par rapport au signal source est d'effectuer une quantification ditherisée (parfois avec mise en forme du bruit ), qui consiste à ajouter du bruit aléatoire (ou pseudo-aléatoire ) au signal avant la quantification.

Dans le cas typique, le signal d'origine est bien plus grand qu'un bit le moins significatif (LSB). Lorsque c'est le cas, l'erreur de quantification n'est pas significativement corrélée au signal et a une distribution approximativement uniforme . Lorsque l'arrondi est utilisé pour quantifier, l'erreur de quantification a une moyenne de zéro et la valeur quadratique moyenne (RMS) est l' écart type de cette distribution, donné par . Lorsque la troncature est utilisée, l'erreur a une moyenne non nulle de et la valeur RMS est . Bien que l'arrondi génère moins d'erreur RMS que la troncature, la différence est uniquement due au terme statique (DC) de . Les valeurs RMS de l'erreur AC sont exactement les mêmes dans les deux cas, il n'y a donc aucun avantage particulier à arrondir par rapport à la troncature dans les situations où le terme DC de l'erreur peut être ignoré (comme dans les systèmes couplés AC). Dans les deux cas, l'écart type, en pourcentage de la plage complète du signal, change d'un facteur 2 pour chaque changement de 1 bit dans le nombre de bits de quantification. Le rapport potentiel signal/bruit de quantification change donc de 4, soit environ 6 dB par bit.

À des amplitudes plus faibles, l'erreur de quantification devient dépendante du signal d'entrée, ce qui entraîne une distorsion. Cette distorsion est créée après le filtre anti-aliasing, et si ces distorsions sont supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, elles se replieront dans la bande d'intérêt. Afin de rendre l'erreur de quantification indépendante du signal d'entrée, le signal est tramé en ajoutant du bruit au signal. Cela réduit légèrement le rapport signal/bruit, mais peut éliminer complètement la distorsion.

Le bruit de quantification est un modèle d'erreur de quantification introduit par la quantification dans le CAN. Il s'agit d'une erreur d'arrondi entre la tension d'entrée analogique du CAN et la valeur numérisée de sortie. Le bruit est non linéaire et dépendant du signal. Il peut être modélisé de plusieurs manières différentes.

Dans un CAN idéal, où l'erreur de quantification est uniformément répartie entre −1/2 LSB et +1/2 LSB, et le signal a une distribution uniforme couvrant tous les niveaux de quantification, le rapport signal/bruit de quantification (SQNR) peut être calculé à partir de

où Q est le nombre de bits de quantification.

Les signaux de test les plus courants qui répondent à cette exigence sont les ondes triangulaires de pleine amplitude et les ondes en dents de scie .

Par exemple, un CAN 16 bits a un rapport signal/bruit de quantification maximal de 6,02 × 16 = 96,3 dB.

Lorsque le signal d'entrée est une onde sinusoïdale de pleine amplitude, la distribution du signal n'est plus uniforme et l'équation correspondante est à la place

Ici, le bruit de quantification est à nouveau supposé uniformément réparti. C'est le cas lorsque le signal d'entrée présente une amplitude élevée et un spectre de fréquences large. Dans ce cas, un CAN 16 bits présente un rapport signal/bruit maximal de 98,09 dB. La différence de 1,761 du rapport signal/bruit n'est due qu'au fait que le signal est une onde sinusoïdale à pleine échelle au lieu d'un triangle ou d'une dent de scie.

Pour les signaux complexes dans les ADC haute résolution, ce modèle est précis. Pour les ADC basse résolution, les signaux de faible niveau dans les ADC haute résolution et pour les formes d'onde simples, le bruit de quantification n'est pas uniformément réparti, ce qui rend ce modèle imprécis. Dans ces cas, la distribution du bruit de quantification est fortement affectée par l'amplitude exacte du signal.

Les calculs sont relatifs à une entrée à pleine échelle. Pour des signaux plus petits, la distorsion de quantification relative peut être très importante. Pour contourner ce problème, une compression analogique peut être utilisée, mais cela peut introduire une distorsion.

Souvent, la conception d'un quantificateur implique la prise en charge d'une plage limitée de valeurs de sortie possibles et l'exécution d'un écrêtage pour limiter la sortie à cette plage chaque fois que l'entrée dépasse la plage prise en charge. L'erreur introduite par cet écrêtage est appelée distorsion de surcharge . Dans les limites extrêmes de la plage prise en charge, la quantité d'espacement entre les valeurs de sortie sélectionnables d'un quantificateur est appelée sa granularité , et l'erreur introduite par cet espacement est appelée distorsion granulaire . Il est courant que la conception d'un quantificateur implique la détermination de l'équilibre approprié entre la distorsion granulaire et la distorsion de surcharge. Pour un nombre donné de valeurs de sortie possibles prises en charge, la réduction de la distorsion granulaire moyenne peut impliquer l'augmentation de la distorsion de surcharge moyenne, et vice versa. Une technique permettant de contrôler l'amplitude du signal (ou, de manière équivalente, la taille du pas de quantification ) pour obtenir l'équilibre approprié est l'utilisation du contrôle automatique de gain (AGC). Cependant, dans certaines conceptions de quantificateurs, les concepts d'erreur granulaire et d'erreur de surcharge peuvent ne pas s'appliquer (par exemple, pour un quantificateur avec une plage limitée de données d'entrée ou avec un ensemble dénombrable infini de valeurs de sortie sélectionnables).

Un quantificateur scalaire, qui effectue une opération de quantification, peut généralement être décomposé en deux étapes :

Classification

Processus qui classe la plage de signaux d'entrée en intervalles non superposés , en définissant des valeurs limites de décision , telles que pour , avec les limites extrêmes définies par et . Toutes les entrées qui se situent dans une plage d'intervalles donnée sont associées au même indice de quantification .

Reconstruction

Chaque intervalle est représenté par une valeur de reconstruction qui implémente le mappage .

Ces deux étapes constituent ensemble l’opération mathématique de .

Les techniques de codage entropique peuvent être appliquées pour communiquer les indices de quantification d'un codeur source qui effectue l'étape de classification à un décodeur qui effectue l'étape de reconstruction. Une façon de procéder consiste à associer chaque indice de quantification à un mot de code binaire . Un élément important à prendre en compte est le nombre de bits utilisés pour chaque mot de code, désigné ici par . Par conséquent, la conception d'un quantificateur de niveau et d'un ensemble associé de mots de code pour communiquer ses valeurs d'indice nécessite de trouver les valeurs de , et qui satisfont de manière optimale à un ensemble sélectionné de contraintes de conception telles que le débit binaire et la distorsion .

En supposant qu'une source d'information produit des variables aléatoires avec une PDF associée , la probabilité que la variable aléatoire tombe dans un intervalle de quantification particulier est donnée par :

Le débit binaire résultant , en unités de bits moyens par valeur quantifiée, pour ce quantificateur peut être dérivé comme suit :

Si l'on suppose que la distorsion est mesurée par l'erreur quadratique moyenne, la distorsion D , est donnée par :

Une observation clé est que le taux dépend des limites de décision et des longueurs des mots de code , tandis que la distorsion dépend des limites de décision et des niveaux de reconstruction .

Après avoir défini ces deux mesures de performance pour le quantificateur, une formulation typique de taux–distorsion pour un problème de conception de quantificateur peut être exprimée de deux manières :

1. Étant donné une contrainte de distorsion maximale , minimisez le débit binaire
2. Étant donné une contrainte de débit binaire maximale , minimiser la distorsion

Souvent, la solution à ces problèmes peut être exprimée et résolue de manière équivalente (ou approximativement) en convertissant la formulation en problème sans contrainte où le multiplicateur de Lagrange est une constante non négative qui établit l'équilibre approprié entre le taux et la distorsion. Résoudre le problème sans contrainte équivaut à trouver un point sur l' enveloppe convexe de la famille de solutions à une formulation contrainte équivalente du problème. Cependant, trouver une solution - en particulier une solution sous forme fermée - à l'une de ces trois formulations de problèmes peut être difficile. Des solutions qui ne nécessitent pas de techniques d'optimisation itérative multidimensionnelle n'ont été publiées que pour trois PDF : les distributions uniforme, exponentielle et laplacienne . Les approches d'optimisation itérative peuvent être utilisées pour trouver des solutions dans d'autres cas. [

Notez que les valeurs de reconstruction affectent uniquement la distorsion – elles n’affectent pas le débit binaire – et que chaque individu apporte une contribution distincte à la distorsion totale, comme indiqué ci-dessous :

où

Cette observation peut être utilisée pour faciliter l’analyse : étant donné l’ensemble des valeurs, la valeur de chacune peut être optimisée séparément pour minimiser sa contribution à la distorsion .

Pour le critère de distorsion de l'erreur quadratique moyenne, il peut être facilement démontré que l'ensemble optimal de valeurs de reconstruction est donné en définissant la valeur de reconstruction dans chaque intervalle sur la valeur attendue conditionnelle (également appelée centroïde ) dans l'intervalle, comme indiqué par :

L'utilisation de techniques de codage d'entropie suffisamment bien conçues peut conduire à l'utilisation d'un débit binaire proche du contenu informationnel réel des indices , de telle sorte que

et donc

L'utilisation de cette approximation peut permettre de séparer le problème de conception du codage entropique de la conception du quantificateur lui-même. Les techniques modernes de codage entropique telles que le codage arithmétique peuvent atteindre des débits binaires très proches de l'entropie réelle d'une source, compte tenu d'un ensemble de probabilités connues (ou estimées de manière adaptative) .

Dans certaines conceptions, plutôt que d'optimiser pour un nombre particulier de régions de classification , le problème de conception du quantificateur peut également inclure l'optimisation de la valeur de . Pour certains modèles de source probabilistes, les meilleures performances peuvent être obtenues lorsque l'on s'approche de l'infini.

Dans la formulation ci-dessus, si la contrainte de débit binaire est négligée en la définissant sur 0, ou de manière équivalente si l'on suppose qu'un code à longueur fixe (FLC) sera utilisé pour représenter les données quantifiées au lieu d'un code à longueur variable (ou une autre technologie de codage d'entropie telle que le codage arithmétique qui est meilleur qu'un FLC dans le sens débit-distorsion), le problème d'optimisation se réduit à la minimisation de la distorsion seule.

Les indices produits par un quantificateur à niveaux peuvent être codés à l'aide d'un code à longueur fixe utilisant des bits/symbole. Par exemple, avec 256 niveaux, le débit binaire FLC est de 8 bits/symbole. Pour cette raison, un tel quantificateur a parfois été appelé quantificateur à 8 bits. Cependant, l'utilisation d'un FLC élimine l'amélioration de la compression qui peut être obtenue par l'utilisation d'un meilleur codage entropique.

En supposant un FLC avec des niveaux, le problème de minimisation du rapport taux–distorsion peut être réduit à la seule minimisation de la distorsion. Le problème réduit peut être formulé comme suit : étant donné une source avec PDF et la contrainte que le quantificateur doit utiliser uniquement des régions de classification, trouver les limites de décision et les niveaux de reconstruction pour minimiser la distorsion résultante

Trouver une solution optimale au problème ci-dessus donne lieu à un quantificateur parfois appelé solution MMSQE (erreur quadratique moyenne minimale de quantification), et le quantificateur optimisé PDF (non uniforme) résultant est appelé quantificateur Lloyd-Max , du nom de deux personnes qui ont développé indépendamment des méthodes itératives pour résoudre les deux ensembles d'équations simultanées résultant de et , comme suit :

qui place chaque seuil au point médian entre chaque paire de valeurs de reconstruction, et

qui place chaque valeur de reconstruction au centroïde (valeur attendue conditionnelle) de son intervalle de classification associé.

L'algorithme de la méthode I de Lloyd , décrit à l'origine en 1957, peut être généralisé de manière simple pour être appliqué aux données vectorielles. Cette généralisation donne lieu aux méthodes d'optimisation du classificateur Linde-Buzo-Gray (LBG) ou k-means . De plus, la technique peut être généralisée de manière simple pour inclure également une contrainte d'entropie pour les données vectorielles.

Le quantificateur Lloyd–Max est en fait un quantificateur uniforme lorsque la PDF d'entrée est uniformément distribuée sur la plage . Cependant, pour une source qui n'a pas de distribution uniforme, le quantificateur à distorsion minimale peut ne pas être un quantificateur uniforme. L'analyse d'un quantificateur uniforme appliqué à une source uniformément distribuée peut être résumée comme suit :

Une source symétrique X peut être modélisée avec , pour et 0 ailleurs. La taille du pas et le rapport signal sur bruit de quantification (SQNR) du quantificateur sont

Pour un code de longueur fixe utilisant des bits, , résultant en ,

ou environ 6 dB par bit. Par exemple, pour = 8 bits, = 256 niveaux et SQNR = 8×6 = 48 dB ; et pour = 16 bits, = 65536 et SQNR = 16×6 = 96 dB. La propriété d'amélioration de 6 dB du SQNR pour chaque bit supplémentaire utilisé dans la quantification est un facteur de mérite bien connu. Cependant, il doit être utilisé avec précaution : cette dérivation ne concerne qu'un quantificateur uniforme appliqué à une source uniforme. Pour d'autres PDF de source et d'autres conceptions de quantificateur, le SQNR peut être quelque peu différent de celui prédit par 6 dB/bit, selon le type de PDF, le type de source, le type de quantificateur et la plage de débit binaire de fonctionnement.

Cependant, il est courant de supposer que pour de nombreuses sources, la pente d'une fonction SQNR de quantificateur peut être estimée à 6 dB/bit lorsqu'elle fonctionne à un débit binaire suffisamment élevé. À des débits binaires asymptotiquement élevés, la réduction de moitié de la taille du pas augmente le débit binaire d'environ 1 bit par échantillon (car 1 bit est nécessaire pour indiquer si la valeur se situe dans la moitié gauche ou droite de l'intervalle double précédent) et réduit l'erreur quadratique moyenne d'un facteur 4 (soit 6 dB) en fonction de l' approximation.

À des débits binaires asymptotiquement élevés, l'approximation de 6 dB/bit est soutenue pour de nombreuses PDF sources par une analyse théorique rigoureuse. De plus, la structure du quantificateur scalaire optimal (au sens taux–distorsion) se rapproche de celle d'un quantificateur uniforme dans ces conditions.

De nombreuses quantités physiques sont en réalité quantifiées par des entités physiques. Parmi les domaines où cette limitation s'applique, on peut citer l'électronique (en raison des électrons ), l'optique (en raison des photons ), la biologie (en raison de l'ADN ), la physique (en raison des limites de Planck ) et la chimie (en raison des molécules ).