Espace séquentiel

En topologie et dans les domaines connexes des mathématiques , un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie peut être complètement caractérisée par ses suites convergentes/divergentes. On peut les considérer comme des espaces qui satisfont un axiome de dénombrement très faible , et tous les espaces dénombrables en premier (notamment les espaces métriques ) sont séquentiels.

Dans tout espace topologique, si une suite convergente est contenue dans un ensemble fermé , alors la limite de cette suite doit également être contenue dans cet espace. Les ensembles possédant cette propriété sont dits séquentiellement fermés . Les espaces séquentiels sont précisément les espaces topologiques pour lesquels les ensembles séquentiellement fermés sont en fait fermés. (Ces définitions peuvent également être reformulées en termes d'ensembles séquentiellement ouverts ; voir ci-dessous.) Autrement dit, toute topologie peut être décrite en termes de réseaux (également appelés suites de Moore-Smith), mais ces séquences peuvent être « trop longues » (indexées par un ordinal trop grand) pour être compressées en une séquence. Les espaces séquentiels sont les espaces topologiques pour lesquels des réseaux de longueur dénombrable (c'est-à-dire des séquences) suffisent à décrire la topologie.

Toute topologie peut être raffinée (c'est-à-dire rendue plus fine) en une topologie séquentielle, appelée coréflexion séquentielle de

Les concepts apparentés d' espaces de Fréchet–Urysohn , d'espaces T -séquentiels et d'espaces -séquentiels sont également définis en termes de la manière dont la topologie d'un espace interagit avec les séquences, mais ont des propriétés subtilement différentes.

Les espaces séquentiels et les espaces -séquentiels ont été introduits par SP Franklin .

Bien que les espaces satisfaisant de telles propriétés aient été étudiés implicitement depuis plusieurs années, la première définition formelle est due à SP Franklin en 1965. Franklin voulait déterminer « les classes d'espaces topologiques qui peuvent être spécifiées complètement par la connaissance de leurs suites convergentes », et a commencé par étudier les espaces dénombrables en premier , pour lesquels on savait déjà que les suites suffisaient. Franklin est ensuite arrivé à la définition moderne en faisant abstraction des propriétés nécessaires des espaces dénombrables en premier.

Soit un ensemble et soit une séquence dans ; c'est-à-dire une famille d'éléments de , indexés par les nombres naturels . Dans cet article, signifie que chaque élément de la séquence est un élément de et, si est une application, alors Pour tout indice, la queue de commençant à est la séquence Une séquence est finalement dans si une queue de satisfait

Soit une topologie sur et une suite qui y est contenue. La suite converge vers un point écrit (lorsque le contexte le permet, ), si, pour tout voisinage de est éventuellement dans est alors appelé un point limite de

Une fonction entre espaces topologiques est séquentiellement continue si implique

Soit un espace topologique et soit un sous-ensemble. La clôture topologique (resp. intérieur topologique ) de dans est notée (resp. ).

La fermeture séquentielle de dans est l'ensemble qui définit une application, l' opérateur de fermeture séquentielle , sur l'ensemble des puissances de Si nécessaire, pour plus de clarté, cet ensemble peut également s'écrire ou Il est toujours le cas que mais l'inverse peut échouer.

L' intérieur séquentiel de in est l'ensemble (l'espace topologique à nouveau indiqué par un indice si nécessaire).

La fermeture séquentielle et l'intérieur satisfont de nombreuses propriétés intéressantes de la fermeture topologique et de l'intérieur : pour tous les sous-ensembles

Autrement dit, la fermeture séquentielle est un opérateur de pré-fermeture . Contrairement à la fermeture topologique, la fermeture séquentielle n'est pas idempotente : le dernier confinement peut être strict. Ainsi, la fermeture séquentielle n'est pas un opérateur de fermeture ( de Kuratowski ) .

Un ensemble est séquentiellement clos si ; de manière équivalente, pour tout et tel que l'on doit avoir

Un ensemble est défini comme étant séquentiellement ouvert si son complément est séquentiellement fermé. Les conditions équivalentes sont les suivantes :

• Pour tout et tel que finalement est dans (c'est-à-dire qu'il existe un entier tel que la queue ).

Un ensemble est un voisinage séquentiel d'un point s'il contient dans son intérieur séquentiel ; les voisinages séquentiels n'ont pas besoin d'être séquentiellement ouverts (voir § Espaces T- et N-séquentiels ci-dessous).

Il est possible qu'un sous-ensemble de soit séquentiellement ouvert mais non ouvert. De même, il est possible qu'il existe un sous-ensemble séquentiellement fermé qui ne soit pas fermé.

Comme discuté ci-dessus, la fermeture séquentielle n'est pas en général idempotente, et donc pas l'opérateur de fermeture d'une topologie. On peut obtenir une fermeture séquentielle idempotente via une itération transfinie : pour un ordinal successeur définir (comme d'habitude) et, pour un ordinal limite définir Ce processus donne une séquence croissante d'ensembles indexés par ordinal ; il s'avère que cette séquence se stabilise toujours par index (le premier ordinal indénombrable ). Inversement, l' ordre séquentiel de est l'ordinal minimal auquel, pour tout choix de la séquence ci-dessus, se stabilisera.

La clôture séquentielle transfinie de est l'ensemble terminal dans la séquence ci-dessus : L'opérateur est idempotent et donc un opérateur de clôture . En particulier, il définit une topologie, la coréflexion séquentielle. Dans la coréflexion séquentielle, tout ensemble séquentiellement fermé est fermé (et tout ensemble séquentiellement ouvert est ouvert).

Un espace topologique est séquentiel s'il satisfait l'une des conditions équivalentes suivantes :

• Tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de est ouvert.
• Tout sous-ensemble séquentiellement fermé de est fermé.
• Pour tout sous-ensemble qui n'est pas fermé en il existe un et une suite dans qui converge vers
• (Propriété universelle) Pour tout espace topologique, une application est continue si et seulement si elle est séquentiellement continue (si alors ).

En prenant et comme application identique sur dans la propriété universelle, il s'ensuit que la classe des espaces séquentiels est constituée précisément des espaces dont la structure topologique est déterminée par des suites convergentes. Si deux topologies concordent sur des suites convergentes, alors elles ont nécessairement la même coréflexion séquentielle. De plus, une fonction de est séquentiellement continue si et seulement si elle est continue sur la coréflexion séquentielle (c'est-à-dire lorsqu'elle est pré-composée avec ).

Un espace T -séquentiel est un espace topologique d'ordre séquentiel 1, qui est équivalent à l'une des conditions suivantes :

• La fermeture séquentielle (ou intérieure) de chaque sous-ensemble de est séquentiellement fermée (resp. ouverte).
• Tout voisinage séquentiel de peut être réduit à un ensemble séquentiellement ouvert qui contient ; formellement, les voisinages séquentiellement ouverts sont une base de voisinage pour les voisinages séquentiels.
• Pour tout et tout voisinage séquentiel de il existe un voisinage séquentiel de tel que, pour tout l'ensemble est un voisinage séquentiel de

Être un espace T -séquentiel est incomparable avec être un espace séquentiel ; il existe des espaces séquentiels qui ne sont pas T -séquentiels et vice-versa. Cependant, un espace topologique est dit T -séquentiel (ou voisinage-séquentiel ) s'il est à la fois séquentiel et T -séquentiel. Une condition équivalente est que chaque voisinage séquentiel contienne un voisinage ouvert (classique).

Tout espace dénombrable en premier (et donc tout espace métrisable ) est -séquentiel. Il existe des espaces vectoriels topologiques qui sont séquentiels mais pas -séquentiels (et donc pas T -séquentiels).

Un espace topologique est dit de Fréchet–Urysohn s'il satisfait l'une des conditions équivalentes suivantes :

• Pour chaque sous-ensemble
• Pour tout sous-ensemble qui n'est pas fermé en et chaque il existe une suite dans qui converge vers

Les espaces de Fréchet–Urysohn sont également parfois appelés « Fréchet », mais ne doivent être confondus ni avec les espaces de Fréchet en analyse fonctionnelle ni avec la condition T ₁ .

Chaque complexe CW est séquentiel, car il peut être considéré comme un quotient d'un espace métrique.

Le spectre premier d'un anneau noethérien commutatif avec la topologie de Zariski est séquentiel.

Prendre la droite réelle et identifier l'ensemble des entiers jusqu'à un point. En tant que quotient d'un espace métrique, le résultat est séquentiel, mais il n'est pas dénombrable au départ.

Tout espace dénombrable en premier est un espace de Fréchet-Urysohn et tout espace de Fréchet-Urysohn est séquentiel. Ainsi, tout espace métrisable ou pseudo-métrisable — en particulier, tout espace dénombrable en second , espace métrique ou espace discret — est séquentiel.

Soit un ensemble d'applications d'espaces de Fréchet–Urysohn vers Alors la topologie finale qui induit sur est séquentielle.

Un espace vectoriel topologique de Hausdorff est séquentiel si et seulement s'il n'existe pas de topologie strictement plus fine avec les mêmes séquences convergentes.

L'espace de Schwartz et l'espace des fonctions lisses , tels que discutés dans l'article sur les distributions , sont tous deux des espaces séquentiels largement utilisés.

Plus généralement, tout espace Montel DF de dimension infinie est séquentiel mais pas Fréchet–Urysohn .

L'espace d'Arens est séquentiel, mais pas celui de Fréchet–Urysohn.

L'espace le plus simple qui ne soit pas séquentiel est la topologie co-comptable sur un ensemble indénombrable. Toute suite convergente dans un tel espace est finalement constante ; par conséquent, tout ensemble est séquentiellement ouvert. Mais la topologie co-comptable n'est pas discrète . (On pourrait appeler la topologie « séquentiellement discrète ».)

Soit l' espace des fonctions de test lisses avec sa topologie canonique et soit l'espace des distributions, l' espace dual fort de ; ni l'un ni l'autre ne sont séquentiels (ni même un espace d'Ascoli). D'autre part, et sont tous deux des espaces de Montel et, dans l' espace dual de tout espace de Montel, une séquence de fonctionnelles linéaires continues converge vers la topologie duale forte si et seulement si elle converge vers la topologie faible* (c'est-à-dire converge ponctuellement).

Chaque espace séquentiel possède une étanchéité dénombrable et est généré de manière compacte .

Si est une surjection ouverte continue entre deux espaces séquentiels de Hausdorff alors l'ensemble des points d'unique préimage est fermé. (Par continuité, il en est de même de son préimage dans l'ensemble de tous les points sur lesquels est injective.)

Si est une application surjective (pas nécessairement continue) sur un espace séquentiel de Hausdorff et des bases pour la topologie sur alors est une application ouverte si et seulement si, pour chaque voisinage de base de et séquence dans il existe une sous-séquence de qui est finalement dans

La sous-catégorie complète Seq de tous les espaces séquentiels est fermée sous les opérations suivantes dans la catégorie Top des espaces topologiques :

La catégorie Seq n'est pas fermée sous les opérations suivantes dans Top :

Puisqu'ils sont clos sous les sommes et les quotients topologiques, les espaces séquentiels forment une sous-catégorie coréflective de la catégorie des espaces topologiques . En fait, ils sont l'enveloppe coréflective des espaces métrisables (c'est-à-dire la plus petite classe d'espaces topologiques clos sous les sommes et les quotients et contenant les espaces métrisables).

La sous-catégorie Seq est une catégorie cartésienne fermée par rapport à son propre produit (pas celui de Top ). Les objets exponentiels sont dotés de la topologie ouverte (séquence convergente).

PI Booth et A. Tillotson ont montré que Seq est la plus petite sous-catégorie fermée cartésienne de Top contenant les espaces topologiques sous-jacents de tous les espaces métriques , les complexes CW et les variétés différentiables et qui est fermée sous les colimites, les quotients et d'autres « certaines identités raisonnables » que Norman Steenrod a décrites comme « pratiques ».

Tout espace séquentiel est généré de manière compacte , et les produits finis dans Seq coïncident avec ceux des espaces générés de manière compacte, puisque les produits de la catégorie des espaces générés de manière compacte préservent les quotients des espaces métriques.