Opérateur de pré-fermeture

En topologie , un opérateur de préfermeture ou opérateur de fermeture de Čech est une application entre des sous-ensembles d'un ensemble, similaire à un opérateur de fermeture topologique , sauf qu'il n'est pas obligé d'être idempotent . Autrement dit, un opérateur de préfermeture n'obéit qu'à trois des quatre axiomes de fermeture de Kuratowski .

Un opérateur de pré-fermeture sur un ensemble est une carte

où est l' ensemble des puissances de

L'opérateur de préfermeture doit satisfaire les propriétés suivantes :

Le dernier axiome implique ce qui suit :

4. implique .

Un ensemble est fermé (par rapport à la préclôture) si . Un ensemble est ouvert (par rapport à la préclôture) si son complément est fermé. La collection de tous les ensembles ouverts générés par l'opérateur de préclôture est une topologie ; cependant, la topologie ci-dessus ne capture pas la notion de convergence associée à l'opérateur, il faudrait plutôt considérer une prétopologie .

Étant donné une prémétrique sur , alors

est une pré-fermeture sur

L' opérateur de fermeture séquentielle est un opérateur de pré-fermeture. Étant donnée une topologie par rapport à laquelle l'opérateur de fermeture séquentielle est défini, l' espace topologique est un espace séquentiel si et seulement si la topologie générée par est égale à c'est-à-dire, si