Espace généré de manière dénombrable

En mathématiques , un espace topologique est dit dénombrablement engendré si la topologie de est déterminée par les ensembles dénombrables de la même manière que la topologie d'un espace séquentiel (ou d'un espace de Fréchet ) est déterminée par les suites convergentes.

Les espaces générés dénombrablement sont précisément les espaces ayant une étanchéité dénombrable — d'où le nomdénombrablement serré est également utilisé.

Un espace topologique est appeléest généré dénombrablement si pour chaque sous-ensembleest fermé danschaque fois que pour chaquesous-espacedel'ensembleest fermé dans. De manière équivalente,est généré dénombrablement si et seulement si la fermeture de toutest égale à l'union des fermetures de tous les sous-ensembles dénombrables de

Un espace topologique aétanchéité dénombrable du ventilateur si pour tout pointet toute séquencede sous-ensembles de l'espacetels qu'ilexiste un ensemble finitel que

Un espace topologique aétanchéité en éventail fort dénombrable si pour tout pointet toute suitede sous-ensembles de l'espacetels qu'ilexiste des pointstels queTout espace de Fréchet–Urysohn fort possède une étanchéité en éventail fort dénombrable.

Un quotient d'un espace dénombrable est à son tour dénombrable. De même, une somme topologique d'espaces dénombrables est dénombrable. Par conséquent, les espaces dénombrables forment une sous-catégorie coréflective de la catégorie des espaces topologiques . Ils sont l'enveloppe coréflective de tous les espaces dénombrables.

Tout sous-espace d’un espace dénombrablement généré est à nouveau dénombrablement généré.

Tout espace séquentiel (en particulier, tout espace métrisable ) est généré de manière dénombrable.

Un exemple d’espace généré de manière dénombrable mais non séquentiel peut être obtenu, par exemple, comme sous-espace de l’espace d’Arens–Fort .