Forme automorphe

En analyse harmonique et en théorie des nombres , une forme automorphe est une fonction bien définie d'un groupe topologique G dans les nombres complexes (ou dans l'espace vectoriel complexe ) qui est invariante sous l' action d'un sous-groupe discret du groupe topologique. Les formes automorphes sont une généralisation de l'idée de fonctions périodiques dans l'espace euclidien aux groupes topologiques généraux.

Les formes modulaires sont des formes automorphes holomorphes définies sur les groupes SL(2, R ) ou PSL(2, R ) avec le sous-groupe discret étant le groupe modulaire , ou un de ses sous-groupes de congruence ; en ce sens la théorie des formes automorphes est une extension de la théorie des formes modulaires. Plus généralement, on peut utiliser l' approche adélique comme moyen de traiter toute la famille des sous-groupes de congruence à la fois. De ce point de vue, une forme automorphe sur le groupe G ( A _F ), pour un groupe algébrique G et un corps de nombres algébriques F , est une fonction à valeurs complexes sur G ( A _F ) qui est laissée invariante par G ( F ) et satisfait certaines conditions de régularité et de croissance.

Henri Poincaré a été le premier à découvrir les formes automorphes comme généralisations des fonctions trigonométriques et elliptiques . Grâce aux conjectures de Langlands , les formes automorphes jouent un rôle important dans la théorie moderne des nombres.

En mathématiques , la notion de facteur d'automorphie apparaît pour un groupe agissant sur une variété analytique complexe . Supposons qu'un groupe agisse sur une variété analytique complexe . Alors, agit également sur l'espace des fonctions holomorphes de à les nombres complexes. Une fonction est dite forme automorphe si les conditions suivantes sont remplies :

où est une fonction holomorphe non nulle partout. De manière équivalente, une forme automorphe est une fonction dont le diviseur est invariant sous l'action de .

Le facteur d'automorphie pour la forme automorphe est la fonction . Une fonction automorphe est une forme automorphe pour laquelle est l'identité.

Une forme automorphe est une fonction F sur G (avec des valeurs dans un espace vectoriel fixe de dimension finie V , dans le cas à valeurs vectorielles), soumise à trois types de conditions :

1. se transformer sous translation par éléments selon le facteur d'automorphie j donné ;
2. être une fonction propre de certains opérateurs de Casimir sur G ; et
3. pour satisfaire une condition asymptotique de « croissance modérée », une fonction de hauteur .

C'est la première de ces conditions qui rend F automorphe , c'est-à-dire qu'il satisfait une équation fonctionnelle intéressante reliant F ( g ) à F ( γg ) pour . Dans le cas à valeurs vectorielles, la spécification peut impliquer une représentation de groupe de dimension finie ρ agissant sur les composantes pour les « tordre ». La condition de l'opérateur de Casimir dit que certains Laplaciens ont F comme fonction propre ; cela garantit que F a d'excellentes propriétés analytiques, mais le fait qu'il s'agisse réellement d'une fonction analytique complexe dépend du cas particulier. La troisième condition est de traiter le cas où G /Γ n'est pas compact mais a des points de rebroussement .

La formulation requiert la notion générale de facteur d'automorphie j pour Γ, qui est un type de 1- cocycle dans le langage de la cohomologie des groupes . Les valeurs de j peuvent être des nombres complexes, ou en fait des matrices carrées complexes, correspondant à la possibilité de formes automorphes à valeurs vectorielles. La condition de cocycle imposée au facteur d'automorphie est quelque chose qui peut être vérifié de manière routinière, lorsque j est dérivé d'une matrice jacobienne , au moyen de la règle de la chaîne .

Une définition plus simple mais techniquement avancée utilisant la théorie des corps de classes , construit des formes automorphes et leurs fonctions correspondantes comme des plongements de groupes de Galois à leurs extensions de corps globales sous-jacentes . Dans cette formulation, les formes automorphes sont certains invariants finis, mappés à partir du groupe de classes idèles sous la loi de réciprocité d'Artin . Ici, la structure analytique de sa fonction L permet des généralisations avec diverses propriétés algébro-géométriques ; et le programme de Langlands résultant . Pour simplifier à l'extrême, les formes automorphes dans cette perspective générale sont des fonctionnelles analytiques quantifiant l'invariance des corps de nombres dans un sens très abstrait, indiquant ainsi la « primitivité » de leur structure fondamentale . Permettant un outil mathématique puissant pour analyser les constructions invariantes de pratiquement n'importe quelle structure numérique.

Les exemples de formes automorphes dans un état explicite non abstrait sont difficiles à obtenir, bien que certains aient des propriétés directement analytiques :

- La série d'Eisenstein (qui est une forme modulaire prototypique ) sur certaines extensions de corps comme groupes abéliens .

- Généralisations spécifiques des fonctions L de Dirichlet en tant qu'objets de la théorie des corps de classes .

- Généralement tout objet analytique harmonique comme foncteur sur les groupes de Galois qui est invariant sur son groupe de classe idéal (ou idèle ).

En principe général, les formes automorphes peuvent être considérées comme des fonctions analytiques sur des structures abstraites , qui sont invariantes par rapport à un analogue généralisé de leur idéal premier (ou une représentation fondamentale irréductible abstraite ). Comme mentionné précédemment, les fonctions automorphes peuvent être considérées comme des généralisations de formes modulaires (comme donc des courbes elliptiques ), construites par un analogue de fonction zêta sur une structure automorphe . Dans le sens le plus simple, les formes automorphes sont des formes modulaires définies sur des groupes de Lie généraux ; en raison de leurs propriétés de symétrie. Par conséquent, en termes plus simples, une fonction générale qui analyse l'invariance d'une structure par rapport à sa « morphologie » première .

Avant que ce cadre très général ne soit proposé (vers 1960), il y avait déjà eu des développements substantiels de formes automorphes autres que les formes modulaires. Le cas de Γ un groupe fuchsien avait déjà reçu de l'attention avant 1900 (voir ci-dessous). Les formes modulaires de Hilbert (également appelées formes de Hilbert-Blumenthal) ont été proposées peu de temps après, bien qu'une théorie complète ait mis du temps à venir. Les formes modulaires de Siegel , pour lesquelles G est un groupe symplectique , sont nées naturellement de la considération des espaces de modules et des fonctions thêta . L'intérêt d'après-guerre pour plusieurs variables complexes a rendu naturel de poursuivre l'idée de forme automorphe dans les cas où les formes sont effectivement analytiques complexes. Beaucoup de travail a été fait, en particulier par Ilya Piatetski-Shapiro , dans les années 1960, pour créer une telle théorie. La théorie de la formule de trace de Selberg , telle qu'appliquée par d'autres, a montré la profondeur considérable de la théorie. Robert Langlands a montré comment (de manière générale, de nombreux cas particuliers étant connus) le théorème de Riemann-Roch pouvait s'appliquer au calcul des dimensions des formes automorphes ; c'est une sorte de contrôle a posteriori de la validité de la notion. Il a également produit la théorie générale des séries d'Eisenstein , qui correspond à ce que serait, en termes de théorie spectrale, le « spectre continu » de ce problème, laissant à étudier la forme de rebroussement ou partie discrète. Du point de vue de la théorie des nombres, les formes de rebroussement étaient reconnues, depuis Srinivasa Ramanujan , comme le cœur du problème.

La notion suivante de « représentation automorphe » s'est révélée d'une grande valeur technique lorsqu'il s'agit de G, un groupe algébrique , traité comme un groupe algébrique adélique . Elle n'inclut pas complètement l'idée de forme automorphe introduite ci-dessus, dans la mesure où l' approche adélique est une façon de traiter toute la famille des sous-groupes de congruence à la fois. Dans un espace L ² pour un quotient de la forme adélique de G , une représentation automorphe est une représentation qui est un produit tensoriel infini de représentations de groupes p-adiques , avec des représentations d'algèbre enveloppante spécifiques pour les nombres premiers infinis . Une façon d'exprimer le changement d'accent est de dire que les opérateurs de Hecke sont ici en effet mis au même niveau que les opérateurs de Casimir ; ce qui est naturel du point de vue de l'analyse fonctionnelle , mais pas si évident pour la théorie des nombres. C'est ce concept qui est à la base de la formulation de la philosophie de Langlands .

L'une des premières découvertes de Poincaré en mathématiques, datant des années 1880, fut celle des formes automorphes. Il les nomma fonctions fuchsiennes, d'après le mathématicien Lazarus Fuchs , car Fuchs était connu pour être un bon professeur et avait fait des recherches sur les équations différentielles et la théorie des fonctions. Poincaré développa en fait le concept de ces fonctions dans le cadre de sa thèse de doctorat. Selon la définition de Poincaré, une fonction automorphe est une fonction analytique dans son domaine et invariante sous un groupe infini discret de transformations fractionnaires linéaires. Les fonctions automorphes généralisent alors les fonctions trigonométriques et elliptiques .

Poincaré explique comment il a découvert les fonctions fuchsiennes :

Pendant quinze jours, je m'efforçai de démontrer qu'il ne pouvait y avoir de fonctions comme celles que j'ai appelées depuis fonctions fuchsiennes. J'étais alors très ignorant ; chaque jour, je m'asseyais à ma table de travail, j'y restais une heure ou deux, j'essayais un grand nombre de combinaisons et je n'arrivais à aucun résultat. Un soir, contrairement à mon habitude, je bus du café noir et ne pus dormir. Les idées surgirent en foule ; je les sentis se heurter jusqu'à ce que les paires s'emboitent, pour ainsi dire, en formant une combinaison stable. Le lendemain matin, j'avais établi l'existence d'une classe de fonctions fuchsiennes, celles qui proviennent des séries hypergéométriques ; il ne me restait plus qu'à écrire les résultats, ce qui ne me prit que quelques heures.