Worldlex Wiki Un nombre décimal (aussi souvent simplement décimal ou, plus improprement, nombre décimal ) désigne généralement la notation d'un nombre dans un système de numération décimale. Les nombres décimaux non entiers peuvent être identifiés par un séparateur décimal (généralement « . » ou « », comme dans fractions décimales . Autrement dit, les fractions de la forme entier positif ou nul . Les fractions décimales résultent également de l'addition d'un entier et d'une partie fractionnaire ; la somme obtenue est parfois appelée nombre fractionnaire .
On utilise couramment les nombres décimaux pour approcher les nombres réels. En augmentant le nombre de chiffres après la virgule, on peut réduire les erreurs d'approximation à un degré minimal, à condition de disposer d'une méthode de calcul précise. En sciences, le nombre de décimales indique généralement la précision de la mesure ; par exemple, si une masse est donnée comme étant de 1,32 milligramme, on peut raisonnablement supposer que la masse réelle se situe entre 1,315 et 1,325 milligrammes, tandis que si elle est donnée comme étant de 1,320 milligrammes, elle se situe probablement entre 1,3195 et 1,3205 milligrammes. Il en va de même en mathématiques pures ; par exemple, la racine carrée de 22, arrondie à deux chiffres après la virgule, est 4,69, tandis qu'arrondie à trois chiffres après la virgule, elle est 4,690. Le 0 supplémentaire à la fin est significatif, même si 4,69 et 4,690 sont le même nombre réel.
nombre réel peut être poursuivi indéfiniment après la virgule. Si le développement atteint un point où tous les chiffres restants sont nuls, le reste peut être omis ; on parle alors d'un nombre décimal fini . Un nombre décimal périodique est un nombre décimal infini qui, après un certain nombre de chiffres, répète indéfiniment la même séquence (par exemple, nombre rationnel , le quotient de deux entiers, si et seulement s'il est périodique ou s'il possède un nombre fini de chiffres non nuls.
De nombreux systèmes de numération des civilisations anciennes utilisent la dizaine et ses puissances pour représenter les nombres, probablement parce que chaque main possède dix doigts et que l'on a commencé à compter sur ses doigts. On peut citer comme exemples les chiffres égyptiens , puis les chiffres brahmi , grecs , hébreux , romains et chinois . La représentation des très grands nombres était difficile dans ces anciens systèmes, et seuls les mathématiciens les plus érudits étaient capables de multiplier ou de diviser de grands nombres. Ces difficultés ont été complètement résolues avec l'introduction du système de numération indo-arabe pour représenter les entiers . Ce système a été étendu pour représenter certains nombres non entiers, appelés fractions décimales ou nombres décimaux , afin de former le système décimal .
Notation décimale
Pour écrire les nombres, un système décimal utilise généralement dix chiffres décimaux , une virgule et, pour les nombres négatifs , un signe moins « − ». Les chiffres décimaux en chiffres arabes sont 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; le séparateur décimal est le point «nombre non négatif , un chiffre décimal est composé de
- soit une séquence (finie) de chiffres (telle que « 2017 »), où la séquence entière représente un entier :
- ou une virgule décimale séparant deux séquences de chiffres (comme « 20,70828 »)
Si 0"}},"i":0}}] m > 0 , c'est-à-dire si la première séquence contient au moins deux chiffres, on suppose généralement que le premier chiffre nombre négatif , un signe moins est placé devant
La partie entière d' un nombre décimal est l'entier situé à gauche de la virgule (voir aussi troncature ). Pour un nombre décimal positif ou nul, il s'agit du plus grand entier inférieur ou égal à la virgule. La partie située à droite de la virgule est la partie fractionnaire , qui correspond à la différence entre le nombre et sa partie entière.
Lorsque la partie entière d'un nombre est nulle, il arrive, notamment en calcul , que cette partie ne soit pas écrite (par exemple, nombres rationnels qui peuvent être exprimés sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de dix. Par exemple, les expressions décimales représentent les fractions
Exprimés sous forme de fractions irréductibles , les nombres décimaux sont ceux dont le dénominateur est le produit d'une puissance de 2 et d'une puissance de 5. Ainsi, les plus petits dénominateurs des nombres décimaux sont
Approximation à l'aide de nombres décimaux
Les nombres décimaux ne permettent pas une représentation exacte de tous les nombres réels . Néanmoins, ils permettent d'approximer n'importe quel nombre réel avec la précision souhaitée ; par exemple, le nombre décimal 3,14159 est une approximation sciences , en ingénierie et dans la vie quotidienne.
Plus précisément, pour tout nombre réel mesure . Les mesures étant sujettes à une incertitude de mesure , dont la limite supérieure est connue , le résultat d'une mesure est bien représenté par un nombre décimal à notion de chiffres significatifs ).
Expansion décimale infinie
Histoire
De nombreuses cultures anciennes calculaient avec des chiffres basés sur dix, peut-être parce que deux mains humaines ont dix doigts. Les poids standardisés utilisés dans la civilisation de la vallée de l'Indus ( Les hiéroglyphes égyptiens , attestés depuis environ 3000 av. J.-C., utilisaient un système décimal pur, tout comme l' écriture linéaire A ( Minoens et l' écriture linéaire B (vers 1400-1200 av. J.-C.) des Mycéniens . La culture d'Únětice en Europe centrale (2300-1600 av. J.-C.) utilisait des poids standardisés et un système décimal dans le commerce. Le système numérique de la Grèce classique utilisait également des puissances de dix, y compris une base intermédiaire de 5, tout comme les chiffres romains . Notamment, le polymathe Archimède (vers 287-212 av. J.-C.) a inventé un système positionnel décimal dans son Calculateur de sable , basé sur 10⁸ . [ hiéroglyphes hittites (depuis le XVe siècle av. J.-C.) étaient également strictement décimaux.
Les chiffres hiératiques égyptiens, les chiffres de l'alphabet grec, les chiffres de l'alphabet hébreu, les chiffres romains, les chiffres chinois et les premiers chiffres brahmi indiens sont tous des systèmes décimaux non positionnels et nécessitaient un grand nombre de symboles. Par exemple, les chiffres égyptiens utilisaient des symboles différents pour 10, 20 à 90, 100, 200 à 900, 1 000, 2 000, 3 000, 4 000 et 10 000. Le plus ancien système décimal positionnel au monde était le calcul à bâtonnets chinois .
Histoire des fractions décimales
À partir du IIe siècle avant notre ère, certaines unités de longueur chinoises étaient basées sur des divisions en dix ; au IIIe siècle de notre ère, ces unités métrologiques étaient utilisées pour exprimer des fractions décimales de longueurs, de manière non positionnelle. Les calculs avec des fractions décimales de longueurs étaient effectués à l'aide de bâtonnets de comptage positionnels , comme décrit dans le Sunzi Suanjing (IIIe-Ve siècles de notre ère). Le mathématicien Zu Chongzhi (Ve siècle de notre ère) a calculé une approximation de Qin Jiushao , Traité mathématique en neuf sections (1247), décrit explicitement une fraction décimale représentant un nombre plutôt qu'une mesure, à l'aide de bâtonnets de comptage. Le nombre 0,96644 est noté
.
Les historiens des sciences chinoises ont émis l'hypothèse que l'idée des fractions décimales aurait pu être transmise de Chine au Moyen-Orient.
Al-Khwarizmi a introduit les fractions dans les pays islamiques au début du IXe siècle de notre ère, écrites avec un numérateur au-dessus et un dénominateur en dessous, sans barre horizontale. Cette forme de fraction est restée en usage pendant des siècles.
Les fractions décimales positionnelles apparaissent pour la première fois dans un ouvrage du mathématicien arabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, écrit au Xᵉ siècle. Le mathématicien juif Immanuel Bonfils utilisa les fractions décimales vers 1350, mais sans développer de notation pour les représenter. Le mathématicien persan Jamshid al-Kashi fit progresser significativement la théorie au XVᵉ siècle. Dans son ouvrage, La Clé de l'arithmétique (Miftah al-Hisab), al-Kashi proposa le premier traitement systématique et complet des fractions décimales en tant que système à part entière, devançant de près de 175 ans les travaux européens similaires.
Un précurseur de la notation décimale européenne moderne a été introduit par Simon Stevin au XVIe siècle. Le livret influent de Stevin, De Thiende (« l'art des dixièmes »), a d'abord été publié en néerlandais en 1585 et traduit en français sous le titre La Disme .
John Napier a introduit l'utilisation du point (.) pour séparer la partie entière d'un nombre décimal de sa partie fractionnaire dans son ouvrage sur la construction de tables de logarithmes, publié à titre posthume en 1620.
Langues naturelles
En Inde , une méthode permettant d'exprimer tous les nombres naturels possibles à l'aide d'un ensemble de dix symboles a vu le jour. Plusieurs langues indiennes présentent un système décimal simple. Les langues dravidiennes expriment les nombres compris entre 10 et 20 selon un modèle régulier d'addition à 10.
La langue hongroise utilise également un système décimal simple. Tous les nombres compris entre 10 et 20 sont formés régulièrement (par exemple, 11 s'écrit « tizenegy », littéralement « un sur dix »), de même que ceux compris entre 20 et 100 (23 s'écrit « huszonhárom », littéralement « trois sur vingt »).
Le chinois possède un système décimal simple, avec un mot pour chaque ordre (10 vietnamien , avec quelques irrégularités. Le japonais , le coréen et le thaï ont adopté le système décimal chinois. De nombreuses autres langues décimales utilisent des mots spécifiques pour les nombres de 10 à 20 et les dizaines. Par exemple, en anglais, 11 se dit « eleven », et non « ten-one » ou « one-teen ».
Les langues incas comme le quechua et l'aymara ont un système décimal presque simple, dans lequel 11 est exprimé comme dix avec un et 23 comme deux-dix avec trois .
Certains psychologues suggèrent que les irrégularités des noms anglais des chiffres peuvent entraver la capacité des enfants à compter.