fonctions du sol et du plafond

Ces formules peuvent être utilisées pour simplifier les expressions impliquant des planchers et des plafonds.

Dans le langage de la théorie de l'ordre , la fonction partie entière est une application résiduée , c'est-à-dire une partie d'une connexion de Galois : c'est l'adjoint supérieur de la fonction qui plonge les entiers dans les réels.

Ces formules montrent comment l'ajout d'un entier

Les affirmations ci-dessus ne sont jamais vraies si

Les fonctions plancher et plafond sont toutes deux des fonctions monotones non décroissantes :

Il ressort clairement des définitions que

avec égalité si et seulement si x est un entier, c'est-à-dire

En fait, pour les entiers n , les fonctions partie entière et partie supérieure sont toutes deux égales à l' identité :

Nier l'argument inverse le sol et le plafond et change le signe :

et:

Nier l'argument complète la partie fractionnaire :

Les fonctions plancher, plafond et partie fractionnaire sont idempotentes :

Le résultat de fonctions plancher ou plafond imbriquées est la fonction la plus interne :

en raison de la propriété d'identité des entiers.

Si m et n sont des entiers et n ≠ 0,

Si n est positif

Si m est positif

Pour m = 2, cela implique

Plus généralement, pour m positif (Voir l'identité d'Hermite )

Les éléments suivants peuvent être utilisés pour convertir les planchers en plafonds et vice versa (avec m positif)

Pour tous les entiers strictement positifs m et n :

qui, pour m et n positifs et premiers entre eux , se réduit à

et de même pour les fonctions plafond et partie fractionnaire (toujours pour m et n positifs et premiers entre eux ),

Puisque le membre de droite du cas général est symétrique en m et n , cela implique que

Plus généralement, si m et n sont positifs,

On parle parfois de loi de réciprocité .

La division par des entiers positifs donne lieu à une propriété intéressante et parfois utile. En supposant que ,0" $0m,n>0$0

De la même manière,

En effet,

sachant que la seconde équivalence impliquant la fonction plafond peut être prouvée de manière similaire.

Pour d étant un entier positif avec x supérieur à d . Alors

où est le reste de la division par d

Pour un entier positif n et des nombres réels arbitraires m et x :

Aucune des fonctions présentées dans cet article n'est continue , mais elles sont toutes linéaires par morceaux : les fonctions , , et présentent des discontinuités aux entiers.

est semi-continue supérieurement et et sont semi-continues inférieurement.

Comme aucune des fonctions étudiées dans cet article n'est continue, aucune ne possède de développement en série entière . Les fonctions partie entière et partie supérieure n'étant pas périodiques, leurs développements en série de Fourier ne convergent pas uniformément . La partie fractionnaire admet un développement en série de Fourier pour modulo operation, denoted by x mod y, gives the value of the remainder when x is divided by y. This definition can be extended to real x and y, y ≠ 0, by the formula

Then it follows from the definition of floor function that this extended operation satisfies many natural properties. Notably, x mod y is always between 0 and y, i.e.,

if y is positive,

and if y is negative,

y." $y.0\ge xmody>y.$y.

Gauss's third proof of quadratic reciprocity, as modified by Eisenstein, has two basic steps.

Let p and q be distinct positive odd prime numbers, and let

First, Gauss's lemma is used to show that the Legendre symbols are given by

The second step is to use a geometric argument to show that

Combining these formulas gives quadratic reciprocity in the form

There are formulas that use floor to express the quadratic character of small numbers mod odd primes p:

For an arbitrary real number , rounding to the nearest integer with tie breaking towards positive infinity is given by

rounding towards negative infinity is given as

If tie-breaking is away from 0, then the rounding function is

(where is the sign function), and rounding towards even can be expressed with the more cumbersome

which is the above expression for rounding towards positive infinity minus an integralityindicator for .

Rounding a real number to the nearest integer value forms a very basic type of quantizer – a uniform one. A typical (mid-tread) uniform quantizer with a quantization step size equal to some value can be expressed as

,

The number of digits in baseb of a positive integer k is

The number of possible strings of arbitrary length that doesn't use any character twice is given by

where:

• English)
• the falling factorial denotes the number of strings of length factorial of Euler's number

For prime number. The exponent of the highest power of p that divides n! is given by a version of Legendre's formula

where is the way of writing n in base p. This is a finite sum, since the floors are zero when pk > n.

The Beatty sequence shows how every positive irrational number gives rise to a partition of the natural numbers into two sequences via the floor function.

There are formulas for Euler's constant γ = 0.57721 56649 ... that involve the floor and ceiling, e.g.

and

The fractional part function also shows up in integral representations of the Riemann zeta function. It is straightforward to prove (using integration by parts) that if is any function with a continuous derivative in the closed interval [a, b],

Letting for real part of s greater than 1 and letting a and b be integers, and letting b approach infinity gives

This formula is valid for all s with real part greater than −1, (except s = 1, where there is a pole) and combined with the Fourier expansion for {x} can be used to extend the zeta function to the entire complex plane and to prove its functional equation.

For s = σ + it in the critical strip 0 < σ < 1,

In 1947 van der Pol used this representation to construct an analogue computer for finding roots of the zeta function.

La fonction partie entière apparaît dans plusieurs formules caractérisant les nombres premiers. Par exemple, il s'ensuit qu'un entier positif n est premier si et seulement si

On peut également donner des formules pour obtenir les nombres premiers. Par exemple, soit p <sub>n </sub> le n -ième nombre premier, et pour tout entier r > 1, on définit le nombre réel α par la somme

Puis

Un résultat similaire est qu'il existe un nombre θ = 1,3064... ( constante de Mills ) possédant la propriété suivante :

sont tous premiers.

Il existe également un nombre ω = 1,9287800... possédant la propriété suivante :

sont tous premiers.

Soit le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x . Il se déduit directement du théorème de Wilson que

De plus, si n ≥ 2,

Aucune des formules de cette section n'a d'utilité pratique.

Ramanujan a soumis ces problèmes au Journal de la Société mathématique indienne .

Si n est un entier positif, prouvez que

Certaines généralisations des identités de fonction de plancher ci-dessus ont été prouvées.

L'étude du problème de Waring a conduit à un problème non résolu :

Existe-t-il des entiers positifs k ≥ 6 tels que

2^k-\\Bigl\\lfloor \\bigl(\ frac 3 2\\bigr)^k \\Bigr\ floor -2 \\ ?" $2^\{k\}-\{\backslash Bigl\; \backslash lfloor\; \}\{\backslash bigl\; (\}\{\; frac\; \{3\}\{2\}\}\{\backslash bigr\; )\}^\{k\}\{\backslash Bigr\; floor\; \}-2\backslash \; ?3^k-2^k\lfloor (\frac{3}{2}{)}^k\rfloor >2^k-\lfloor (\frac{3}{2}{)}^k\rfloor -2?$?} 2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{ frac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr floor }-2\ ?

Mahler a prouvé qu'il ne peut y avoir qu'un nombre fini de tels k ; aucun n'est connu.

Dans la plupart des langages de programmation, la méthode la plus simple pour convertir un nombre à virgule flottante en entier n'utilise ni l'arrondi inférieur ni l'arrondi supérieur, mais la troncature. Ceci s'explique par des raisons historiques : les premières machines utilisaient le complément à un , et la troncature était plus simple à implémenter (l'arrondi inférieur est plus simple en complément à deux ). Le langage FORTRAN a été défini pour imposer ce comportement, et de ce fait, presque tous les processeurs implémentent la conversion de cette manière. Certains considèrent qu'il s'agit d'un choix de conception historique regrettable, à l'origine de bogues liés à la gestion des décalages négatifs et à l'affichage des données du côté négatif de l'origine.décalage arithmétique à droite d'un entier signé est équivalent à . La division par une puissance de 2 est souvent écrite comme un décalage à droite, non pas pour optimiser comme on pourrait le supposer, mais parce que l'arrondi des résultats négatifs est requis. Considérer de tels décalages comme une « optimisation prématurée » et les remplacer par une division peut entraîner des dysfonctionnements du logiciel.

De nombreux langages de programmation (dont C , C++ , C# , Java , Julia , PHP , R , et Python ) fournissent des fonctions standard pour le plancher et le plafond, généralement appelées `floor` flooret ` ceiling` ceil, ou plus rarement ` floor` ceiling. Le langage APL utilise ⌊x`floor`. Le langage de programmation J , successeur d'APL conçu pour utiliser les symboles standard du clavier, utilise <.`floor` et >.`ceiling`. ALGOL utilise entier`floor`.

Dans Microsoft Excel, la fonction INTarrondit à l'entier inférieur plutôt qu'à zéro , tandis que FLOORla fonction arrondit vers zéro, contrairement aux fonctions « int » et « floor » d'autres langages. Depuis 2010, FLOORelle génère une erreur si le nombre est négatif . Le format de fichier OpenDocument , utilisé par OpenOffice.org , LibreOffice et d'autres INT , FLOORutilise la fonction « floor » et FLOORdispose d'un troisième argument pour reproduire le comportement antérieur d'Excel