Worldlex Wiki En mathématiques et en physique , une onde est une perturbation dynamique se propageant (un changement par rapport à l'équilibre ) d'une ou plusieurs grandeurs . Les ondes périodiques oscillent de façon répétée autour d'une valeur d'équilibre (au repos) à une certaine fréquence . Lorsqu'une onde se propage dans une seule direction, on parle d' onde progressive ; à l'inverse, deux ondes périodiques identiques se superposant et se propageant en sens opposés forment une onde stationnaire . Dans une onde stationnaire, l'amplitude de vibration présente des zéros en certains points où elle est plus faible, voire nulle.
En physique classique , on étudie principalement deux types d'ondes : les ondes mécaniques et les ondes électromagnétiques . Dans une onde mécanique, les champs de contrainte et de déformation oscillent autour d'un équilibre mécanique . Une onde mécanique correspond à une déformation locale (contrainte) d'un milieu physique qui se propage de particule en particule en créant des contraintes locales qui induisent également une déformation dans les particules voisines. Par exemple, les ondes sonores sont des variations de la pression locale et du mouvement des particules qui se propagent dans le milieu. Parmi les autres exemples d'ondes mécaniques, on peut citer les ondes sismiques , les ondes de gravité , les ondes de surface et les vibrations des cordes . Dans une onde électromagnétique (comme la lumière), le couplage entre les champs électrique et magnétique permet la propagation des ondes impliquant ces champs, conformément aux équations de Maxwell . Les ondes électromagnétiques peuvent se propager dans le vide et dans certains milieux diélectriques (aux longueurs d'onde où elles sont considérées comme transparentes ). Les ondes électromagnétiques, déterminées par leurs fréquences (ou longueurs d'onde ), portent des appellations plus spécifiques, notamment les ondes radio , le rayonnement infrarouge , les ondes térahertz , la lumière visible , le rayonnement ultraviolet , les rayons X et les rayons gamma .
Parmi les autres types d'ondes, on trouve les ondes gravitationnelles , qui sont des perturbations de l'espace-temps se propageant selon la relativité générale ; les ondes de diffusion thermique ; les ondes de plasma , qui combinent déformations mécaniques et champs électromagnétiques ; les ondes de réaction-diffusion , comme dans la réaction de Belousov-Zhabotinsky ; et bien d'autres. Les ondes mécaniques et électromagnétiques transportent de l'énergie , de la quantité de mouvement et de l'information . Dans le cas des ondes se propageant dans un milieu liquide, la matière peut également être transportée (voir la dérive de Stokes ). En mathématiques et en électronique , les ondes sont étudiées comme des signaux . Par ailleurs, certaines ondes possèdent des enveloppes immobiles, comme les ondes stationnaires (fondamentales en musique) et les ressauts hydrauliques .
Un champ d'ondes physiques est presque toujours confiné à une région finie de l'espace, appelée son domaine . Par exemple, les ondes sismiques générées par les tremblements de terre ne sont significatives qu'à l'intérieur et à la surface de la planète ; elles peuvent donc être négligées à l'extérieur. En revanche, les ondes à domaine infini, qui s'étendent sur tout l'espace, sont couramment étudiées en mathématiques et constituent des outils précieux pour la compréhension des ondes physiques dans des domaines finis.
Une onde plane est une idéalisation mathématique importante où la perturbation est identique le long de tout plan (infini) normal à une direction de propagation spécifique. Mathématiquement, l'onde la plus simple est une onde plane sinusoïdale dans laquelle, en tout point, le champ subit un mouvement harmonique simple à une fréquence donnée. Dans les milieux linéaires, les ondes complexes peuvent généralement être décomposées en la somme de nombreuses ondes planes sinusoïdales ayant des directions de propagation et/ou des fréquences différentes . Une onde plane est classée comme onde transversale si la perturbation du champ en chaque point est décrite par un vecteur perpendiculaire à la direction de propagation (également la direction du transfert d'énergie) ; ou comme onde longitudinale si ces vecteurs sont alignés avec la direction de propagation. Les ondes mécaniques comprennent à la fois des ondes transversales et longitudinales ; en revanche, les ondes planes électromagnétiques sont strictement transversales, tandis que les ondes sonores dans les fluides (comme l'air) ne peuvent être que longitudinales. Cette direction physique d'un champ oscillant par rapport à la direction de propagation est également appelée polarisation de l'onde , qui peut être un attribut important.
la théorie des champs dépendant du temps, analogue à la balistique , ou la manifestation dynamique de la mécanique des particules . Cependant, ce point de vue occulte les nombreux exemples visuellement attrayants d'ondes, tels que les vibrations des instruments à cordes et les ondulations d'un fluide .Observées au microscope, les ondes sont des variations de la valeur d'une propriété physique en un point de l'espace, résultant d'une réponse différée à des changements dans les régions adjacentes. La pression, la température, l'altitude ou la force gravitationnelle en sont des exemples. Un milieu physique , comme le vide, l'air, l'eau ou la roche solide, peut présenter des ondes dans différentes propriétés, qui peuvent être liées ou non. Des propriétés telles que la hauteur des spectateurs lors d'un événement sportif ou le niveau d'anxiété des manifestants politiques peuvent également être considérées comme des ondes lorsque la propriété dépend de réponses différées à des événements physiquement adjacents.
En physique, une grandeur physique qui possède une valeur en des points de l'espace est appelée champ ; une onde est donc une perturbation d'un champ résultant d'une réponse retardée à des perturbations adjacentes. À l'échelle macroscopique, une onde est la réponse dynamique d'un champ causée par des effets qui ne peuvent se propager qu'à une vitesse finie. La rotation d'un dipôle électrique produit des ondes électromagnétiques et la rotation mutuelle d' étoiles binaires produit des ondes gravitationnelles , chacune se propageant à la vitesse de la lumière .
Les ondes périodiques ou sinusoïdales sont des exemples idéalisés utiles, mais l'interaction essentielle entre ondes voisines, avec un délai, implique que les ondes peuvent se propager dans des milieux non linéaires, granulaires ou bruités, ce qui ne donne pas ces résultats idéaux. Les ondes de température ou les ondes de réaction chimique démontrent que les ondes ne correspondent pas nécessairement à un déplacement de matière.
Description mathématique
vagues isolées
Superposition
Dans certaines de ces situations, on peut décrire une telle famille d'ondes par une fonction
Par exemple, la pression acoustique à l'intérieur d'une flûte à bec jouant une note « pure » est généralement une onde stationnaire , qui peut s'écrire comme suit :
Le paramètre
À titre d'exemple, il se peut que les vibrations d'une peau de tambour après un seul coup dépendent uniquement de la distance.
Parfois, la famille d'ondes étudiée possède une infinité de paramètres. Par exemple, on peut vouloir décrire l'évolution de la température d'une barre métallique initialement chauffée à différentes températures en divers points de sa longueur, puis laissée refroidir librement sous vide. Dans ce cas, au lieu d'un scalaire ou d'un vecteur, le paramètre doit être une fonction.
Équations d'ondes différentielles
Une autre façon de décrire et d'étudier une famille d'ondes consiste à donner une équation mathématique qui, au lieu de donner explicitement la valeur de
Cette approche est extrêmement importante en physique, car les contraintes résultent généralement des processus physiques qui provoquent l'évolution de l'onde. Par exemple, si
où
Cette équation découle des lois physiques qui régissent la diffusion de la chaleur dans les milieux solides. C'est pourquoi, en mathématiques, on l'appelle l' équation de la chaleur , même si elle s'applique à de nombreuses autres grandeurs physiques que la température.
À titre d'exemple, on peut décrire tous les sons possibles résonnant à l'intérieur d'un récipient de gaz par une fonction
Ici
Cette même équation différentielle décrit le comportement des vibrations mécaniques et des champs électromagnétiques dans un solide homogène, isotrope et non conducteur. Notez que cette équation diffère de celle du flux de chaleur uniquement par le fait que son membre de gauche est
Onde dans un milieu élastique
La forme de F dans la formule de d'Alembert dépend de l'argument x − vt . Des valeurs constantes de cet argument correspondent à des valeurs constantes de F , et ces valeurs constantes sont obtenues si x augmente au même rythme que vt . Autrement dit, l'onde ayant la forme de la fonction F se propage dans la direction positive de l'axe x à la vitesse v (et G se propage à la même vitesse dans la direction négative de l' axe x ).
Dans le cas d'une fonction périodique F de période λ , c'est-à-dire F ( x + λ − vt ) = F ( x − vt ), la périodicité spatiale de F signifie qu'une observation de l'onde à un instant t donné révèle une variation périodique de l'onde dans l'espace avec une période λ (la longueur d'onde de l'onde). De même, cette périodicité de F implique également une périodicité temporelle : F ( x − v ( t + T )) = F ( x − vt ) si vT = λ . Ainsi, une observation de l'onde en un point fixe x révèle une ondulation périodique de l'onde dans le temps avec une période T = λ / v .
Amplitude et modulation
L'amplitude d'une onde peut être constante (on parle alors d' onde continue ) ou modulée , c'est-à-dire qu'elle varie dans le temps et/ou en fonction de la position. La courbe de variation d'amplitude est appelée enveloppe de l'onde. Mathématiquement, l' onde modulée peut s'écrire sous la forme :
vitesse de phase et vitesse de groupe
Il existe deux vitesses associées aux ondes : la vitesse de phase et la vitesse de groupe .
La vitesse de phase est la vitesse à laquelle la phase de l'onde se propage dans l'espace : toute phase donnée de l'onde (par exemple, la crête ) semblera se propager à la vitesse de phase. La vitesse de phase est exprimée en fonction de la longueur d'onde la période
La vitesse de groupe est une propriété des ondes ayant une enveloppe définie, mesurant la propagation dans l'espace (c'est-à-dire la vitesse de phase) de la forme globale des amplitudes des ondes — la modulation ou l'enveloppe de l'onde.
Ondes spéciales
Ondes sinusoïdales
Une onde sinusoïdale (symbole : ∿) est une onde périodique dont la forme est celle de la fonction trigonométrique sinus . En mécanique , lorsqu'elle est représentée par un mouvement linéaire , elle correspond à un mouvement harmonique simple ; lorsqu'elle est représentée par une rotation , elle correspond à un mouvement circulaire uniforme . Les ondes sinusoïdales sont fréquentes en physique , notamment dans les ondes de vent , les ondes sonores et les ondes lumineuses , comme le rayonnement monochromatique . En ingénierie , en traitement du signal et en mathématiques , l'analyse de Fourier décompose les fonctions générales en une somme d'ondes sinusoïdales de fréquences, de phases relatives et d'amplitudes variées.
La combinaison linéaire de deux ondes sinusoïdales de même fréquence (mais de phase quelconque ) donne une autre onde sinusoïdale de même fréquence ; cette propriété est unique parmi les ondes périodiques. Réciproquement, si l’on choisit une phase de référence (zéro), une onde sinusoïdale de phase quelconque peut s’écrire comme la combinaison linéaire de deux ondes sinusoïdales de phases nulle et égale à un quart de cycle, correspondant respectivement aux composantes sinus et cosinus .
Ondes planes
ondes stationnaires
Une onde stationnaire, également appelée onde stationnaire , est une onde dont l'enveloppe reste en position constante. Ce phénomène résulte de l'interférence de deux ondes se propageant en sens opposés.
La somme de deux ondes se propageant en sens inverse (de même amplitude et fréquence) crée une onde stationnaire . Les ondes stationnaires apparaissent généralement lorsqu'une interface bloque la propagation de l'onde, provoquant ainsi une réflexion et, par conséquent, la création d'une onde se propageant en sens inverse. Par exemple, lorsqu'une corde de violon est déplacée, des ondes transversales se propagent jusqu'au chevalet et au sillet , points de fixation de la corde, où elles sont réfléchies. Au niveau du chevalet et du sillet, les deux ondes opposées sont en opposition de phase et s'annulent, formant un nœud . À mi-chemin entre deux nœuds se trouve un ventre , où les deux ondes se propageant en sens inverse s'amplifient mutuellement au maximum. Il n'y a alors aucune propagation nette d'énergie au cours du temps.
Vagues solitaires
Un soliton, ou onde solitaire, est un paquet d'ondes auto-renforçant qui conserve sa forme tout en se propageant à vitesse constante. Les solitons résultent de la compensation des effets non linéaires et dispersifs dans le milieu. (Les effets dispersifs sont une propriété de certains systèmes où la vitesse d'une onde dépend de sa fréquence.) Les solitons sont les solutions d'une vaste classe d' équations aux dérivées partielles dispersives faiblement non linéaires décrivant des systèmes physiques.
propriétés physiques
Propagation
La propagation des ondes désigne tous les modes de déplacement des ondes. Selon la direction de l' oscillation par rapport à la direction de propagation, on distingue les ondes longitudinales et les ondes transversales .
Les ondes électromagnétiques se propagent aussi bien dans le vide que dans les milieux matériels. La propagation d'autres types d'ondes, comme le son, ne peut avoir lieu que dans un milieu de transmission .
Réflexion des ondes planes dans un demi-espace
La vitesse de propagation d'une onde est un concept général qui englobe différents types de vitesses, et qui concerne la phase et la vitesse de propagation de l'énergie (et de l'information). La vitesse de phase est donnée par :
- v p est la vitesse de phase (avec l'unité SI m/s),
- ω est la fréquence angulaire (en unités SI rad/s),
- k est le nombre d'ondes (avec l'unité SI rad/m).
La vitesse de phase indique la vitesse à laquelle se propage un point de phase constante de l'onde pour une fréquence discrète. La fréquence angulaire ω ne peut être choisie indépendamment du nombre d'onde k , mais les deux sont liés par la relation de dispersion :
Dans le cas particulier où les ondes électromagnétiques dans le vide sont non dispersives. Dans le cas d'autres formes de la relation de dispersion, on parle d'ondes dispersives. La relation de dispersion dépend du milieu de propagation et du type d'ondes (par exemple, électromagnétiques, sonores ou à la surface de l'eau ).
La vitesse à laquelle se propage un paquet d'ondes résultant d'une gamme étroite de fréquences est appelée vitesse de groupe et est déterminée à partir du gradient de la relation de dispersion :
Dans la quasi-totalité des cas, une onde est principalement un mouvement d'énergie à travers un milieu. Le plus souvent, la vitesse de groupe correspond à la vitesse à laquelle l'énergie se propage dans ce milieu.
Les vagues présentent des comportements communs dans un certain nombre de situations standard, par exemple :
Transmission et médias
- Un milieu est dit borné s'il est d'étendue finie, sinon un milieu est dit non borné.
- Un milieu est linéaire si les amplitudes des différentes ondes en un point donné du milieu peuvent être additionnées.
- Un milieu uniforme ou homogène est un milieu dont les propriétés physiques restent inchangées en différents points de l'espace.
- Un milieu est anisotrope si une ou plusieurs de ses propriétés physiques diffèrent dans une ou plusieurs directions.
- Un milieu est isotrope si ses propriétés physiques sont identiques dans toutes les directions.
Absorption
Réflexion
Réfraction
La réfraction est le phénomène de changement de vitesse d'une onde. Mathématiquement, cela signifie que la norme de la vitesse de phase change. La réfraction se produit généralement lorsqu'une onde passe d'un milieu à un autre. L'importance de la réfraction d'une onde par un matériau est donnée par l' indice de réfraction de ce matériau. Les directions d'incidence et de réfraction sont liées aux indices de réfraction des deux milieux par la loi de Snell-Descartes .
Diffraction
Lorsque des ondes se croisent dans un milieu linéaire (cas le plus fréquent), elles n'interagissent pas directement et continuent leur propagation comme si l'autre n'existait pas. Cependant, en tout point de cette région, les champs qui les décrivent s'additionnent selon le principe de superposition . Si les ondes ont la même fréquence et sont en phase , il existe généralement des points où elles sont en phase et leurs amplitudes s'additionnent , et d'autres points où elles sont en opposition de phase et leurs amplitudes s'annulent (partiellement ou totalement) . On parle alors de figure d'interférence .
Polarisation
Le phénomène de polarisation se produit lorsqu'une onde se propage simultanément dans deux directions orthogonales . Les ondes transversales , par exemple, peuvent être polarisées. Lorsque le terme « polarisation » est employé sans autre précision, il désigne généralement le cas particulier et simple de la polarisation linéaire . Une onde transversale est polarisée linéairement si elle oscille dans une seule direction ou un seul plan. Dans le cas de la polarisation linéaire, il est souvent utile de préciser l'orientation relative de ce plan, perpendiculaire à la direction de propagation, dans lequel l'oscillation a lieu ; par exemple, « horizontal » si le plan de polarisation est parallèle au sol. Les ondes électromagnétiques se propageant dans le vide, par exemple, sont transversales ; elles peuvent être polarisées à l'aide d'un filtre polarisant .
Les ondes longitudinales, comme les ondes sonores, ne présentent pas de polarisation. Ces ondes n'oscillent que dans une seule direction, celle de leur propagation.
Dispersion
effet Doppler
ondes mécaniques
Ondes sur des cordes
où la densité linéaire μ est la masse par unité de longueur de la corde.
ondes acoustiques
ou la racine carrée du module de compressibilité adiabatique divisée par la densité ambiante du milieu (voir vitesse du son ).
ondes de gravité
Les ondes de gravité sont des ondes générées dans un milieu fluide ou à l'interface entre deux milieux lorsque la force de gravité ou la poussée d'Archimède tend à rétablir l'équilibre. Les vagues de surface à la surface de l'eau en sont l'exemple le plus connu.
- Les ondulations à la surface d'un étang sont en réalité une combinaison d'ondes transversales et longitudinales ; par conséquent, les points à la surface suivent des trajectoires orbitales.
- Les ondes inertielles , qui se produisent dans les fluides en rotation et sont restaurées par l' effet Coriolis .
- Les vagues de surface océaniques sont des perturbations qui se propagent dans l'eau.
Ondes corporelles
ondes de choc
Les ondes gravitationnelles se propagent également dans l'espace. La première observation d'ondes gravitationnelles a été annoncée le 11 février 2016. Les ondes gravitationnelles sont des perturbations de la courbure de l'espace-temps , prédites par la théorie de la relativité générale d'Einstein .
Autre
- Les ondes de trafic , c'est-à-dire la propagation de différentes densités de véhicules à moteur, etc., qui peuvent être modélisées comme des ondes cinématiques
- L'onde métachrone désigne l'apparition d'une onde progressive produite par des actions séquentielles coordonnées.
ondes électromagnétiques
Ondes quantiques
Équation de Dirac
L' équation de Dirac est une équation d'onde relativiste décrivant les interactions électromagnétiques. Les ondes de Dirac ont permis d'expliquer de manière rigoureuse les subtilités du spectre de l'hydrogène. Cette équation d'onde a également révélé l'existence d'une nouvelle forme de matière, l'antimatière, jusque-là insoupçonnée et non observée, et qui a été confirmée expérimentalement. Dans le cadre de la théorie quantique des champs, l'équation de Dirac est réinterprétée pour décrire les champs quantiques associés aux particules de spin 1/2 .
vagues de de Broglie
où h est la constante de Planck et p la norme de la quantité de mouvement de la particule. Cette hypothèse était à la base de la mécanique quantique . De nos jours, cette longueur d'onde est appelée longueur d'onde de de Broglie . Par exemple, les électrons d'un écran cathodique ont une longueur d'onde de de Broglie d'environ 10⁻¹³ m .
Une onde représentant une telle particule se déplaçant dans la direction k est exprimée par la fonction d'onde comme suit :
où la longueur d'onde est déterminée par le vecteur d'onde k comme suit :
et l'élan par :
Cependant, une onde de longueur d'onde définie n'est pas localisée spatialement et ne peut donc pas représenter une particule localisée. Pour localiser une particule, de Broglie a proposé une superposition de différentes longueurs d'onde autour d'une valeur centrale dans un paquet d'ondes , une forme d'onde souvent utilisée en mécanique quantique pour décrire la fonction d'onde d'une particule. Dans un paquet d'ondes, la longueur d'onde de la particule n'est pas précise et la longueur d'onde locale varie de part et d'autre de la valeur de la longueur d'onde principale.
Pour représenter la fonction d'onde d'une particule localisée, le paquet d'ondes est souvent considéré comme ayant une forme gaussienne et est appelé paquet d'ondes gaussien . Les paquets d'ondes gaussiens sont également utilisés pour analyser les vagues à la surface de l'eau.
Par exemple, une fonction d'onde gaussienne ψ pourrait prendre la forme :
À un instant initial t = 0, la longueur d'onde centrale est liée au vecteur d'onde central k₀ par la relation λ₀ = 2π / k₀ . Il est bien connu, d'après la théorie de analyse de Fourier [ ou le principe d'incertitude de Heisenberg (dans le cas de la mécanique quantique) , qu'une gamme étroite de longueurs d'onde est nécessaire pour produire un paquet d'ondes localisé, et que plus l'enveloppe est localisée, plus l'étendue des longueurs d'onde requises est grande. La transformée de Fourier d'une gaussienne est elle-même une gaussienne . Soit la gaussienne :
la transformée de Fourier est :
La gaussienne dans l'espace est donc composée d'ondes :
c'est-à-dire un certain nombre d'ondes de longueurs d'onde λ telles que kλ = 2 π.
Le paramètre σ détermine l'étendue spatiale de la gaussienne le long de l' axe x , tandis que la transformée de Fourier montre une étendue en vecteur d'onde k déterminée par 1/ σ . Autrement dit, plus l'étendue spatiale est petite, plus l'étendue en k est grande , et donc en λ = 2π/ k .