sont des potentiels de vitesse . Trois contributions à l'énergie sont impliquées : l' énergie potentielleen raison de la gravité , l'énergie potentielleen raison de la tension superficielle et de l' énergie cinétiquedu flux. La partieLa solution la plus simple consiste à intégrer la densité d'énergie potentielle due à la gravité.(ou) d'une hauteur de référence à la position de la surface,:
en supposant que la position moyenne de l'interface soit à.
Une augmentation de la surface entraîne une augmentation proportionnelle de l'énergie due à la tension superficielle :
où la première égalité correspond à l'aire dans cette représentation ( de Monge ), et la seconde s'applique aux petites valeurs des dérivées (surfaces pas trop rugueuses).
La dernière contribution concerne l' énergie cinétique du fluide :
On utilise l'hypothèse que le fluide est incompressible et que son écoulement est irrotationnel (souvent des approximations raisonnables). Par conséquent, les deuxetdoit satisfaire l' équation de Laplace :
- et
Ces équations peuvent être résolues avec les conditions aux limites appropriées :etdoit disparaître bien au-delà de la surface (dans le cas des « eaux profondes », qui est celui que nous considérons).
En utilisant l'identité de Green et en supposant que les écarts d'altitude de la surface sont faibles (donc les intégrations en z peuvent être approximées en intégrant jusqu'àau lieu de), l'énergie cinétique peut être écrite comme :
Pour trouver la relation de dispersion, il suffit de considérer une onde sinusoïdale sur l'interface, se propageant dans la direction x :
avec amplitudeet la phase de l'onde. La condition limite cinématique à l'interface, reliant les potentiels au mouvement de l'interface, est que les composantes verticales de la vitesse doivent correspondre au mouvement de la surface :
- età.
Pour résoudre le problème de la recherche des potentiels, on peut essayer la séparation des variables , lorsque les deux champs peuvent être exprimés comme :
Ensuite, les contributions à l'énergie de l'onde, intégrées horizontalement sur une longueur d'onde.dans la direction x , et sur une largeur unitaire dans la direction y , deviennent :
La relation de dispersion peut maintenant être obtenue à partir du lagrangien., avecla somme des énergies potentielles dues à la gravitéet la tension superficielle:
Pour les ondes sinusoïdales et la théorie des ondes linéaires, le lagrangien moyenné en phase est toujours de la forme, de sorte que la variation par rapport au seul paramètre libre,, donne la relation de dispersion [ casest simplement l'expression entre crochets, de sorte que la relation de dispersion est :
Identique à ce qui précède.
En conséquence, l'énergie moyenne des vagues par unité de surface horizontale,, est:
Comme d'habitude pour les mouvements ondulatoires linéaires, l'énergie potentielle et l'énergie cinétique sont égales ( l'équipartition est vérifiée) :.
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