Constante de Planck

La constante de Planck , ou constante de Planck , notée , est une constante physique fondamentale d'une importance fondamentale en mécanique quantique : l'énergie d' un photon est égale à sa fréquence multipliée par la constante de Planck, et la longueur d'onde d'une onde de matière est égale à la constante de Planck divisée par l'impulsion de la particule associée. La constante de Planck réduite , qui lui est étroitement liée , égale à et notée est couramment utilisée dans les équations de physique quantique.

La constante a été postulée par Max Planck en 1900 comme une constante de proportionnalité nécessaire pour expliquer le rayonnement expérimental du corps noir . Planck a plus tard fait référence à la constante comme le « quantum d' action ». En 1905, Albert Einstein a associé le « quantum » ou élément minimal de l'énergie à l'onde électromagnétique elle-même. Max Planck a reçu le prix Nobel de physique en 1918 « en reconnaissance des services qu'il a rendus à l'avancement de la physique par sa découverte des quanta d'énergie ».

En métrologie , la constante de Planck est utilisée, avec d'autres constantes, pour définir le kilogramme , l' unité de masse du SI. Les unités SI sont définies de telle manière que, lorsque la constante de Planck est exprimée en unités SI, elle a la valeur exacte =6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴ J⋅Hz ⁻¹ .

La constante de Planck a été formulée dans le cadre des efforts fructueux de Max Planck pour produire une expression mathématique qui prédisait avec précision la distribution spectrale observée du rayonnement thermique provenant d'un four fermé ( rayonnement du corps noir ). Cette expression mathématique est désormais connue sous le nom de loi de Planck.

Au cours des dernières années du XIXe siècle, Max Planck étudiait le problème du rayonnement du corps noir posé pour la première fois par Kirchhoff quelque 40 ans plus tôt. Tout corps physique émet spontanément et continuellement un rayonnement électromagnétique . Il n'existait aucune expression ou explication de la forme globale du spectre d'émission observé. À l'époque, la loi de Wien convenait aux données pour les longueurs d'onde courtes et les températures élevées, mais échouait pour les longueurs d'onde longues. À la même époque, mais à l'insu de Planck, Lord Rayleigh avait dérivé théoriquement une formule, aujourd'hui connue sous le nom de loi de Rayleigh-Jeans , qui pouvait raisonnablement prédire les longueurs d'onde longues mais échouait considérablement pour les longueurs d'onde courtes.

Pour résoudre ce problème, Planck a émis l'hypothèse que les équations du mouvement de la lumière décrivent un ensemble d' oscillateurs harmoniques , un pour chaque fréquence possible. Il a examiné comment l' entropie des oscillateurs variait avec la température du corps, en essayant de correspondre à la loi de Wien, et a pu dériver une fonction mathématique approximative pour le spectre du corps noir, qui a donné une formule empirique simple pour les grandes longueurs d'onde.

Planck a essayé de trouver une expression mathématique qui pourrait reproduire la loi de Wien (pour les longueurs d'onde courtes) et la formule empirique (pour les longueurs d'onde longues). Cette expression comprenait une constante, , qui est censée être pour Hilfsgröße (quantité auxiliaire), et est devenue par la suite connue sous le nom de constante de Planck. L'expression formulée par Planck a montré que la luminance spectrale par unité de fréquence d'un corps pour la fréquence ν à la température absolue T est donnée par

où est la constante de Boltzmann , est la constante de Planck et est la vitesse de la lumière dans le milieu, qu'il soit matériel ou sous vide.

La luminance spectrale d'un corps, , décrit la quantité d'énergie qu'il émet à différentes fréquences de rayonnement. Il s'agit de la puissance émise par unité de surface du corps, par unité d'angle solide d'émission, par unité de fréquence. La luminance spectrale peut également être exprimée par unité de longueur d'onde au lieu de par unité de fréquence. En remplaçant dans la relation ci-dessus, nous obtenons

montrant comment l’énergie rayonnée émise à des longueurs d’onde plus courtes augmente plus rapidement avec la température que l’énergie émise à des longueurs d’onde plus longues.

La loi de Planck peut également être exprimée en d'autres termes, comme le nombre de photons émis à une certaine longueur d'onde ou la densité d'énergie dans un volume de rayonnement. L' unité SI de est W · sr ⁻¹ · m ⁻² · Hz ⁻¹ , tandis que celle de est W·sr ⁻¹ · m ⁻³ .

Planck s'est vite rendu compte que sa solution n'était pas unique. Il existait plusieurs solutions différentes, chacune donnant une valeur différente pour l'entropie des oscillateurs. Pour sauver sa théorie, Planck a eu recours à la théorie alors controversée de la mécanique statistique , qu'il a décrite comme « un acte de désespoir ». L'une de ses nouvelles conditions limites était

d'interpréter U _N ['énergie vibratoire de N oscillateurs'] non pas comme une quantité continue, infiniment divisible, mais comme une quantité discrète composée d'un nombre entier de parties finies égales. Appelons chacune de ces parties l'élément énergétique ε ;

—  Planck, « ​​Sur la loi de distribution de l'énergie dans le spectre normal »

Avec cette nouvelle condition, Planck avait imposé la quantification de l'énergie des oscillateurs, selon ses propres termes, « une hypothèse purement formelle... en fait je n'y ai pas beaucoup réfléchi » mais qui allait révolutionner la physique. L'application de cette nouvelle approche à la loi de déplacement de Wien a montré que « l'élément d'énergie » doit être proportionnel à la fréquence de l'oscillateur, première version de ce que l'on appelle parfois aujourd'hui la « relation Planck-Einstein » :

Planck a pu calculer la valeur de à partir de données expérimentales sur le rayonnement du corps noir : son résultat,6,55 × 10 ⁻³⁴ J⋅s , se situe à 1,2 % de la valeur actuellement définie. Il a également déterminé pour la première fois la constante de Boltzmann à partir des mêmes données et de la même théorie.

Le problème du corps noir fut réexaminé en 1905, lorsque Lord Rayleigh et James Jeans (ensemble) ainsi qu'Albert Einstein prouvèrent indépendamment que l'électromagnétisme classique ne pourrait jamais rendre compte du spectre observé. Ces preuves sont communément connues sous le nom de « catastrophe ultraviolette », un nom inventé par Paul Ehrenfest en 1911. Elles contribuèrent grandement (avec les travaux d'Einstein sur l' effet photoélectrique ) à convaincre les physiciens que le postulat de Planck sur les niveaux d'énergie quantifiés était plus qu'un simple formalisme mathématique. La première conférence Solvay en 1911 fut consacrée à « la théorie du rayonnement et des quanta ».

L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons (appelés « photoélectrons ») par une surface lorsqu'elle est éclairée. Il a été observé pour la première fois par Alexandre Edmond Becquerel en 1839, bien que le mérite en soit généralement réservé à Heinrich Hertz , qui a publié la première étude approfondie en 1887. Une autre étude particulièrement approfondie a été publiée par Philipp Lenard (Lénárd Fülöp) en 1902. L'article de 1905 d'Einstein discutant de l'effet en termes de quanta de lumière lui vaudra le prix Nobel en 1921, après que ses prédictions aient été confirmées par les travaux expérimentaux de Robert Andrews Millikan . Le comité Nobel a décerné le prix pour ses travaux sur l'effet photoélectrique, plutôt que sur la relativité, à la fois en raison d'un parti pris contre la physique purement théorique non fondée sur la découverte ou l'expérience, et d'une dissidence parmi ses membres quant à la preuve réelle de la relativité.

Avant l'article d'Einstein, on considérait que le rayonnement électromagnétique tel que la lumière visible se comportait comme une onde : d'où l'utilisation des termes « fréquence » et « longueur d'onde » pour caractériser les différents types de rayonnement. L'énergie transférée par une onde dans un temps donné est appelée son intensité . La lumière d'un projecteur de théâtre est plus intense que celle d'une ampoule électrique domestique ; c'est-à-dire que le projecteur dégage plus d'énergie par unité de temps et par unité d'espace (et consomme donc plus d'électricité) que l'ampoule ordinaire, même si la couleur de la lumière peut être très similaire. D'autres ondes, comme le son ou les vagues qui s'écrasent sur un front de mer, ont également leur intensité. Cependant, la description énergétique de l'effet photoélectrique ne semble pas concorder avec la description ondulatoire de la lumière.

Les « photoélectrons » émis par l'effet photoélectrique possèdent une certaine énergie cinétique , qui peut être mesurée. Cette énergie cinétique (pour chaque photoélectron) est indépendante de l'intensité de la lumière, mais dépend linéairement de la fréquence ; et si la fréquence est trop basse (correspondant à une énergie photonique inférieure à la fonction de travail du matériau), aucun photoélectron n'est émis du tout, à moins qu'une pluralité de photons, dont la somme énergétique est supérieure à l'énergie des photoélectrons, n'agissent pratiquement simultanément (effet multiphoton). En supposant que la fréquence soit suffisamment élevée pour provoquer l'effet photoélectrique, une augmentation de l'intensité de la source lumineuse provoque l'émission de plus de photoélectrons avec la même énergie cinétique, plutôt que l'émission du même nombre de photoélectrons avec une énergie cinétique plus élevée.

Einstein expliqua ces observations en affirmant que la lumière elle-même était quantifiée, que l'énergie lumineuse n'était pas transférée en continu comme dans une onde classique, mais seulement en petits « paquets » ou quanta. La taille de ces « paquets » d'énergie, qui seraient plus tard appelés photons , devait être la même que celle de l'« élément énergétique » de Planck, donnant ainsi la version moderne de la relation Planck-Einstein :

Le postulat d'Einstein a été prouvé plus tard expérimentalement : la constante de proportionnalité entre la fréquence de la lumière incidente et l'énergie cinétique des photoélectrons s'est avérée égale à la constante de Planck .

En 1912, John William Nicholson a développé un modèle atomique et a découvert que le moment angulaire des électrons dans le modèle était lié par h /2 π . Le modèle atomique quantique nucléaire de Nicholson a influencé le développement du modèle atomique de Niels Bohr et Bohr l'a cité dans son article de 1913 sur le modèle de Bohr de l'atome. Le modèle de Bohr est allé au-delà du concept abstrait d'oscillateur harmonique de Planck : un électron dans un atome de Bohr ne pouvait avoir que certaines énergies définies , définies par

où est la vitesse de la lumière dans le vide, est une constante déterminée expérimentalement (la constante de Rydberg ) et . Cette approche a également permis à Bohr de rendre compte de la formule de Rydberg , une description empirique du spectre atomique de l'hydrogène, et de rendre compte de la valeur de la constante de Rydberg en termes d'autres constantes fondamentales. En discutant du moment angulaire des électrons dans son modèle, Bohr a introduit la quantité , maintenant connue sous le nom de constante de Planck réduite, comme quantum du moment angulaire .

La constante de Planck apparaît également dans les énoncés du principe d'incertitude de Werner Heisenberg . Étant donné de nombreuses particules préparées dans le même état, l' incertitude de leur position, , et l'incertitude de leur impulsion, , obéissent

où l'incertitude est donnée comme l' écart type de la valeur mesurée par rapport à sa valeur attendue . Il existe plusieurs autres paires de variables conjuguées mesurables physiquement qui obéissent à une règle similaire. Un exemple est le temps par rapport à l'énergie. La relation inverse entre l'incertitude des deux variables conjuguées impose un compromis dans les expériences quantiques, car la mesure plus précise d'une quantité entraîne l'imprécision de l'autre quantité.

Outre certaines hypothèses sous-jacentes à l'interprétation de certaines valeurs dans la formulation de la mécanique quantique, l'une des pierres angulaires fondamentales de toute la théorie réside dans la relation de commutation entre l' opérateur de position et l' opérateur d'impulsion :

où se trouve le delta du Kronecker .

La relation de Planck relie l' énergie particulière du photon E à sa fréquence d'onde associée f :

Cette énergie est extrêmement petite par rapport aux objets du quotidien habituellement perçus.

Étant donné que la fréquence f , la longueur d'onde λ et la vitesse de la lumière c sont liées par , la relation peut également être exprimée comme suit

En 1923, Louis de Broglie généralisa la relation Planck-Einstein en postulant que la constante de Planck représente la proportionnalité entre l'impulsion et la longueur d'onde quantique non seulement du photon, mais aussi de la longueur d'onde quantique de toute particule. Cela fut confirmé par des expériences peu de temps après. Cela est valable dans toute la théorie quantique, y compris l'électrodynamique . La longueur d'onde de Broglie λ de la particule est donnée par

où p désigne l' impulsion linéaire d'une particule, telle qu'un photon, ou de toute autre particule élémentaire .

L' énergie d'un photon avec une fréquence angulaire ω = 2 πf est donnée par

tandis que son élan linéaire est lié à

où k est un nombre d'onde angulaire .

Ces deux relations sont les parties temporelles et spatiales de l'expression relativiste spéciale utilisant 4 vecteurs .

La mécanique statistique classique requiert l'existence de h (mais ne définit pas sa valeur). Finalement, suite à la découverte de Planck, on a émis l'hypothèse que l'action physique ne pouvait pas prendre une valeur arbitraire, mais était plutôt limitée à des multiples entiers d'une très petite quantité, le « quantum [élémentaire] d'action », maintenant appelé la constante de Planck . Il s'agissait d'une partie conceptuelle importante de la soi-disant « vieille théorie quantique » développée par des physiciens comme Bohr , Sommerfeld et Ishiwara , dans laquelle les trajectoires des particules existent mais sont cachées , mais les lois quantiques les contraignent en fonction de leur action. Cette vision a été remplacée par une théorie quantique entièrement moderne, dans laquelle les trajectoires définies du mouvement n'existent même pas ; la particule est plutôt représentée par une fonction d'onde étalée dans l'espace et dans le temps. Lié à cela est le concept de quantification de l'énergie qui existait dans l'ancienne théorie quantique et existe également sous une forme modifiée dans la physique quantique moderne. La physique classique ne peut pas expliquer la quantification de l’énergie.

La constante de Planck a les mêmes dimensions que l'action et le moment angulaire . Dans le système d'unités SI , la constante de Planck est exprimée en joule par hertz (J⋅Hz ⁻¹ ) ou joule-seconde (J⋅s).

Les valeurs ci-dessus ont été adoptées telles que fixées dans la révision 2019 du SI .

Depuis 2019, la valeur numérique de la constante de Planck est fixée, avec une représentation décimale finie . Cette valeur fixe est utilisée pour définir l'unité de masse du SI, le kilogramme : « le kilogramme [...] est défini en prenant la valeur numérique fixe de h comme6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴ lorsqu'elle est exprimée dans l'unité J⋅s, qui est égale à kg⋅m ² ⋅s ⁻¹ , où le mètre et la seconde sont définis en termes de vitesse de la lumière c et de durée de transition hyperfine de l' état fondamental d'un atome de césium 133 non perturbé Δ ν _Cs ." Les technologies de métrologie de masse telles que la balance de Kibble permettent d'affiner la valeur du kilogramme en appliquant une valeur fixe de la constante de Planck.

La constante de Planck est l'une des plus petites constantes utilisées en physique. Cela reflète le fait qu'à une échelle adaptée aux humains, où les énergies sont typiquement de l'ordre du kilojoule et les temps typiques de l'ordre de la seconde ou de la minute, la constante de Planck est très petite. Lorsque le produit de l'énergie et du temps pour un événement physique approche la constante de Planck, les effets quantiques dominent.

De manière équivalente, l'ordre de la constante de Planck reflète le fait que les objets et les systèmes du quotidien sont constitués d'un grand nombre de particules microscopiques. Par exemple, dans la lumière verte (d'une longueur d'onde de 555 nanomètres ou d'une fréquence de540 THz ) chaque photon a une énergie E = hf =3,58 × 10 ⁻¹⁹ J . C'est une très petite quantité d'énergie en termes d'expérience quotidienne, mais l'expérience quotidienne ne concerne pas les photons individuels plus que les atomes ou les molécules individuels. Une quantité de lumière plus typique de l'expérience quotidienne (bien que beaucoup plus grande que la plus petite quantité perceptible par l'œil humain) est l'énergie d'une mole de photons ; son énergie peut être calculée en multipliant l'énergie du photon par la constante d'Avogadro , N _A = 6,022 140 76 × 10 ²³ mol ⁻¹ , avec le résultat de216 kJ , soit l'énergie alimentaire contenue dans trois pommes.

De nombreuses équations en physique quantique sont habituellement écrites en utilisant la constante de Planck réduite , égale à et notée (prononcé h-bar ).

Les équations fondamentales semblent plus simples lorsqu'elles sont écrites en utilisant par opposition à , et c'est généralement plutôt que qui donne les résultats les plus fiables lorsqu'elles sont utilisées dans des estimations d'ordre de grandeur . Par exemple, en utilisant l'analyse dimensionnelle pour estimer l'énergie d'ionisation d'un atome d'hydrogène, les paramètres pertinents qui déterminent l'énergie d'ionisation sont la masse de l'électron , la charge de l'électron et soit la constante de Planck , soit la constante de Planck réduite :

Étant donné que les deux constantes ont les mêmes dimensions, elles entreront dans l'analyse dimensionnelle de la même manière, mais avec une estimation dans un facteur de deux, tandis qu'avec une erreur plus proche de .

La constante de Planck réduite est connue sous de nombreux autres noms : constante de Planck réduite ), constante de Planck rationalisée (ou constante de Planck rationalisée , constante de Dirac [ (ou constante de Dirac ), constante de Dirac (ou constante de Dirac ), constante de Dirac (ou constante de Dirac ), et h-bar . Il est également courant de faire référence à cela comme « constante de Planck » tout en conservant la relation .

Le symbole le plus courant pour la constante de Planck réduite est de loin . Cependant, certaines sources le désignent par plutôt, auquel cas elles le désignent généralement sous le nom de « constante de Dirac » (ou « constante de Dirac » ).

La combinaison est apparue dans l'article de Niels Bohr de 1913, où elle était désignée par . Pendant les 15 années suivantes, la combinaison a continué à apparaître dans la littérature, mais normalement sans symbole séparé. Puis, en 1926, dans leurs articles fondateurs, Schrödinger et Dirac ont de nouveau introduit des symboles spéciaux pour elle : dans le cas de Schrödinger, et dans le cas de Dirac. Dirac a continué à l'utiliser de cette manière jusqu'en 1930, lorsqu'il a introduit le symbole dans son livre The Principles of Quantum Mechanics .