Opérateur de position

En mécanique quantique , l' opérateur de position est l' opérateur qui correspond à la position observable d'une particule .

Lorsque l'opérateur de position est considéré avec un domaine suffisamment large (par exemple l'espace des distributions tempérées ), ses valeurs propres sont les vecteurs de position possibles de la particule.

En une dimension, si par le symbole on désigne le vecteur propre unitaire de l'opérateur de position correspondant à la valeur propre , alors, représente l'état de la particule dans lequel on sait avec certitude trouver la particule elle-même à la position .

Par conséquent, en désignant l'opérateur de position par le symbole, nous pouvons écrire pour chaque position réelle .

Une réalisation possible de l'état unitaire avec position est la distribution delta de Dirac centrée sur la position , souvent désignée par .

En mécanique quantique, la famille ordonnée (continue) de toutes les distributions de Dirac, c'est-à-dire la famille, est appelée base de position (unitaire), simplement parce qu'elle est une base propre (unitaire) de l'opérateur de position dans l'espace des distributions tempérées .

Il est fondamental de constater qu'il n'existe qu'un seul endomorphisme linéaire continu sur l'espace des distributions tempérées tel que pour tout point réel . Il est possible de prouver que l'unique endomorphisme ci-dessus est nécessairement défini par pour toute distribution tempérée , où désigne la fonction de coordonnées de la droite de position – définie de la droite réelle dans le plan complexe par

Considérons la représentation de l' état quantique d'une particule à un certain instant par une fonction d'onde intégrable au carré . Pour l'instant, supposons une dimension spatiale (c'est-à-dire la particule « confinée » à une ligne droite). Si la fonction d'onde est normalisée , alors le module au carré représente la densité de probabilité de trouver la particule à une certaine position de la ligne réelle, à un certain moment. C'est-à-dire, si alors la probabilité de trouver la particule dans la plage de positions est

Par conséquent, la valeur attendue d'une mesure de la position de la particule est où est la fonction de coordonnées qui est simplement l' intégration canonique de la ligne de position dans le plan complexe.

Strictement parlant, la position observable peut être définie ponctuellement comme pour chaque fonction d'onde et pour chaque point de la droite réelle. Dans le cas des classes d'équivalence, la définition se lit directement comme suit : c'est-à-dire que l'opérateur de position multiplie toute fonction d'onde par la fonction de coordonnées .

La généralisation aux trois dimensions est simple.

La fonction d'onde de l'espace-temps est maintenant et la valeur attendue de l'opérateur de position à l'état est où l'intégrale est prise sur tout l'espace. L'opérateur de position est

Dans la définition ci-dessus, qui concerne le cas d'une particule confinée sur une ligne, le lecteur attentif remarquera qu'il n'existe pas de spécification claire du domaine et du co-domaine pour l'opérateur de position. Dans la littérature, plus ou moins explicitement, on trouve essentiellement trois directions principales pour aborder cette question.

1. L'opérateur de position est défini sur le sous-espace de formé par les classes d'équivalence dont le produit par le plongement se situe dans l'espace . Dans ce cas l'opérateur de position se révèle non continu (non borné par rapport à la topologie induite par le produit scalaire canonique de ), sans vecteurs propres, sans valeurs propres et par conséquent avec un spectre de points vide .
2. L'opérateur de position est défini sur l' espace de Schwartz (c'est-à-dire l' espace nucléaire de toutes les fonctions complexes lisses définies sur la droite réelle dont les dérivées décroissent rapidement). Dans ce cas, l'opérateur de position se révèle continu (par rapport à la topologie canonique de ), injectif, sans vecteurs propres, sans valeurs propres et par conséquent avec un spectre de points vide. Il est (totalement) auto-adjoint par rapport au produit scalaire de au sens où
3. L'opérateur de position est défini sur l' espace dual de (c'est-à-dire l'espace nucléaire des distributions tempérées ). Comme est un sous-espace de , le produit d'une distribution tempérée par le plongement vit toujours . Dans ce cas l'opérateur de position se révèle continu (par rapport à la topologie canonique de ), surjectif, muni de familles complètes de vecteurs propres généralisés et de valeurs propres généralisées réelles. Il est auto-adjoint par rapport au produit scalaire de au sens où son opérateur de transposition est auto-adjoint, c'est-à-dire

Le dernier cas est, en pratique, le choix le plus largement adopté dans la littérature de mécanique quantique, bien que jamais explicitement souligné. Il aborde l' absence possible de vecteurs propres en étendant l'espace de Hilbert à un espace de Hilbert truqué : fournissant ainsi une notion mathématiquement rigoureuse de vecteurs propres et de valeurs propres.

Les fonctions propres de l'opérateur de position (sur l'espace des distributions tempérées), représentées dans l'espace de position , sont des fonctions delta de Dirac .

Preuve informelle. Pour montrer que les vecteurs propres possibles de l'opérateur de position doivent nécessairement être des distributions delta de Dirac, supposons quesoit un état propre de l'opérateur de position de valeur propre. Nous écrivons l'équation de valeur propre en coordonnées de position, en rappelant quemultiplie simplement les fonctions d'onde par la fonction, dans la représentation de position. Puisque la fonctionest variable tandis queest une constante,doit être nulle partout sauf au point. De toute évidence, aucune fonction continue ne satisfait de telles propriétés, et nous ne pouvons pas simplement définir la fonction d'onde comme étant un nombre complexe en ce point car sanorme serait 0 et non 1. Cela suggère la nécessité d'un "objet fonctionnel" concentré au pointet d'intégrale différente de 0 : tout multiple du delta de Dirac centré en. La solution normalisée de l'équation est ou mieux telle que En effet, en rappelant que le produit d'une fonction quelconque par la distribution de Dirac centrée en un point est la valeur de la fonction en ce point multipliée par la distribution de Dirac elle-même, on obtient immédiatement Bien que de tels états de Dirac soient physiquement irréalisables et, à proprement parler, ne soient pas des fonctions, la distribution de Dirac centrée enpeut être considérée comme un « état idéal » dont la position est connue exactement (toute mesure de la position renvoie toujours la valeur propre). Ainsi, par le principe d'incertitude , on ne sait rien de l'impulsion d'un tel état.

Habituellement, en mécanique quantique, par représentation dans l'espace d'impulsion, nous entendons la représentation des états et des observables par rapport à la base d'impulsion unitaire canonique.

Dans l'espace des impulsions , l'opérateur de position dans une dimension est représenté par l'opérateur différentiel suivant

où:

• la représentation de l'opérateur de position dans la base d'impulsion est naturellement définie par , pour toute fonction d'onde (distribution tempérée) ;

Considérons le cas d'une particule sans spin se déplaçant dans une dimension spatiale. L' espace d'état d'une telle particule contient , l'espace de Hilbert des fonctions à valeurs complexes et intégrables de carré (par rapport à la mesure de Lebesgue ) sur la droite réelle .

L'opérateur de position est défini comme l' opérateur auto-adjoint avec domaine de définition et fonction de coordonnées envoyant chaque point à lui-même, tel que pour chaque point défini et .

Immédiatement à partir de la définition, nous pouvons déduire que le spectre est constitué de la totalité de la ligne réelle et qu'il possède un spectre strictement continu , c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'ensemble discret de valeurs propres.

Le cas tridimensionnel est défini de manière analogue. Nous conserverons l'hypothèse unidimensionnelle dans la suite de la discussion.

Comme pour tout observable de la mécanique quantique , afin de discuter de la mesure de position , nous devons calculer la résolution spectrale de l'opérateur de position qui est où est la mesure spectrale dite de l'opérateur de position.

Soit la fonction indicatrice d'un sous-ensemble borélien de . La mesure spectrale est alors donnée par ie, comme multiplication par la fonction indicatrice de .

Par conséquent, si le système est préparé dans un état , alors la probabilité que la position mesurée de la particule appartienne à un ensemble borélien est où est la mesure de Lebesgue sur la droite réelle.

Après toute mesure visant à détecter la particule dans le sous-ensemble B, la fonction d'onde s'effondre en ou où est la norme de l'espace de Hilbert sur .