Observable

En physique , un observable est une propriété physique ou une quantité physique qui peut être mesurée . En mécanique classique , un observable est une « fonction » à valeur réelle sur l'ensemble de tous les états possibles du système, par exemple la position et l'impulsion . En mécanique quantique , un observable est un opérateur , ou une jauge , où la propriété de l' état quantique peut être déterminée par une séquence d' opérations . Par exemple, ces opérations peuvent impliquer de soumettre le système à divers champs électromagnétiques et éventuellement de lire une valeur.

Les observables physiquement significatifs doivent également satisfaire à des lois de transformation qui relient les observations effectuées par différents observateurs dans différents référentiels . Ces lois de transformation sont des automorphismes de l' espace d'état , c'est-à-dire des transformations bijectives qui préservent certaines propriétés mathématiques de l'espace en question.

En mécanique quantique , les observables se manifestent comme des opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert complexe séparable représentant l' espace d'état quantique . Les observables attribuent des valeurs aux résultats de mesures particulières , correspondant à la valeur propre de l'opérateur. Si ces résultats représentent des états physiquement admissibles (c'est-à-dire ceux qui appartiennent à l'espace de Hilbert), les valeurs propres sont réelles ; cependant, l'inverse n'est pas nécessairement vrai. En conséquence, seules certaines mesures peuvent déterminer la valeur d'un observable pour un certain état d'un système quantique. En mécanique classique, n'importe quelle mesure peut être effectuée pour déterminer la valeur d'un observable.

La relation entre l'état d'un système quantique et la valeur d'un observable nécessite une certaine algèbre linéaire pour sa description. Dans la formulation mathématique de la mécanique quantique , à une constante de phase près , les états purs sont donnés par des vecteurs non nuls dans un espace de Hilbert V. Deux vecteurs v et w sont considérés comme spécifiant le même état si et seulement si pour un non nul . Les observables sont donnés par des opérateurs auto-adjoints sur V. Tous les opérateurs auto-adjoints ne correspondent pas à un observable physiquement significatif. De plus, tous les observables physiques ne sont pas associés à des opérateurs auto-adjoints non triviaux. Par exemple, en théorie quantique, la masse apparaît comme un paramètre dans l'hamiltonien, et non comme un opérateur non trivial.

Dans le cas des lois de transformation en mécanique quantique, les automorphismes requis sont des transformations linéaires unitaires (ou antiunitaires ) de l'espace de Hilbert V. Sous la relativité galiléenne ou la relativité restreinte , les mathématiques des référentiels sont particulièrement simples, ce qui restreint considérablement l'ensemble des observables physiquement significatifs.

En mécanique quantique, la mesure des observables présente des propriétés apparemment peu intuitives. Plus précisément, si un système est dans un état décrit par un vecteur dans un espace de Hilbert , le processus de mesure affecte l'état d'une manière non déterministe mais statistiquement prévisible. En particulier, après l'application d'une mesure, la description de l'état par un vecteur unique peut être détruite et remplacée par un ensemble statistique . La nature irréversible des opérations de mesure en physique quantique est parfois appelée problème de mesure et est décrite mathématiquement par des opérations quantiques . De par la structure des opérations quantiques, cette description est mathématiquement équivalente à celle offerte par l' interprétation de l'état relatif où le système d'origine est considéré comme un sous-système d'un système plus grand et l'état du système d'origine est donné par la trace partielle de l'état du système plus grand.

En mécanique quantique, les variables dynamiques telles que la position, le moment de translation (linéaire) , le moment angulaire orbital , le spin et le moment angulaire total sont chacune associées à un opérateur auto-adjoint qui agit sur l' état du système quantique. Les valeurs propres de l'opérateur correspondent aux valeurs possibles que la variable dynamique peut être observée comme ayant. Par exemple, supposons que soit un indice propre ( vecteur propre ) de l'observable , avec valeur propre et existe dans un espace de Hilbert . Alors

Cette équation propre dit que si une mesure de l'observable est effectuée alors que le système d'intérêt est dans l'état , alors la valeur observée de cette mesure particulière doit renvoyer la valeur propre avec certitude. Cependant, si le système d'intérêt est dans l'état général (et et sont des vecteurs unitaires , et l' espace propre de est unidimensionnel), alors la valeur propre est renvoyée avec une probabilité , par la règle de Born .

Une différence cruciale entre les quantités classiques et les observables de la mécanique quantique est que certaines paires d'observables quantiques peuvent ne pas être mesurables simultanément, une propriété appelée complémentarité . Ceci s'exprime mathématiquement par la non- commutativité de leurs opérateurs correspondants, à savoir que le commutateur

Cette inégalité exprime une dépendance des résultats de mesure par rapport à l'ordre dans lequel les mesures des observables et sont effectuées. Une mesure de modifie l'état quantique d'une manière incompatible avec la mesure ultérieure de et vice versa.

Les observables correspondant à des opérateurs commutants sont appelés observables compatibles . Par exemple, l'impulsion le long des axes et sont compatibles. Les observables correspondant à des opérateurs non commutants sont appelés observables incompatibles ou variables complémentaires . Par exemple, la position et l'impulsion le long du même axe sont incompatibles.

Les observables incompatibles ne peuvent pas avoir un ensemble complet de fonctions propres communes . Notez qu'il peut y avoir des vecteurs propres simultanés de et , mais pas en nombre suffisant pour constituer une base complète .