Mouvement harmonique simple

En mécanique et en physique , le mouvement harmonique simple (parfois abrégé en SHM ) est un type particulier de mouvement périodique qu'un objet subit au moyen d'une force de rappel dont l'amplitude est directement proportionnelle à la distance de l'objet par rapport à une position d'équilibre et agit vers la position d'équilibre. Il en résulte une oscillation décrite par une sinusoïde qui se poursuit indéfiniment (si elle n'est pas inhibée par le frottement ou toute autre dissipation d' énergie ).

Le mouvement harmonique simple peut servir de modèle mathématique pour une variété de mouvements, mais il est typifié par l'oscillation d'une masse sur un ressort lorsqu'elle est soumise à la force de rappel élastique linéaire donnée par la loi de Hooke . Le mouvement est sinusoïdal dans le temps et démontre une fréquence de résonance unique . D'autres phénomènes peuvent être modélisés par le mouvement harmonique simple, y compris le mouvement d'un pendule simple , bien que pour qu'il s'agisse d'un modèle précis, la force nette exercée sur l'objet à l'extrémité du pendule doit être proportionnelle au déplacement (et même ainsi, ce n'est qu'une bonne approximation lorsque l'angle d'oscillation est petit ; voir approximation aux petits angles ). Le mouvement harmonique simple peut également être utilisé pour modéliser la vibration moléculaire .

Le mouvement harmonique simple fournit une base pour la caractérisation de mouvements périodiques plus complexes grâce aux techniques d' analyse de Fourier .

Introduction

Le mouvement d'une particule se déplaçant le long d'une ligne droite avec une accélération dont la direction est toujours vers un point fixe sur la ligne et dont la grandeur est proportionnelle au déplacement par rapport au point fixe est appelé mouvement harmonique simple.

Le schéma montre un oscillateur harmonique simple , constitué d'un poids fixé à une extrémité d'un ressort. L'autre extrémité du ressort est reliée à un support rigide tel qu'un mur. Si le système est laissé au repos à la position d'équilibre , aucune force nette n'agit sur la masse. Cependant, si la masse est déplacée de la position d'équilibre, le ressort exerce une force élastique de rappel qui obéit à la loi de Hooke .

Mathématiquement, où F est la force élastique de rappel exercée par le ressort (en unités SI : N ), k est la constante du ressort ( N ·m ⁻¹ ) et x est le déplacement par rapport à la position d'équilibre (en mètres ). ${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} , <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour tout oscillateur harmonique mécanique simple :

Lorsque le système est déplacé de sa position d'équilibre, une force de rappel obéissant à la loi de Hooke tend à rétablir l'équilibre du système.

Une fois que la masse est déplacée de sa position d'équilibre, elle subit une force de rappel nette. En conséquence, elle accélère et commence à revenir à la position d'équilibre. Lorsque la masse se rapproche de la position d'équilibre, la force de rappel diminue. À la position d'équilibre, la force de rappel nette disparaît. Cependant, à x = 0 , la masse a un élan en raison de l'accélération que la force de rappel lui a transmise. Par conséquent, la masse continue au-delà de la position d'équilibre, comprimant le ressort. Une force de rappel nette la ralentit alors jusqu'à ce que sa vitesse atteigne zéro, après quoi elle est à nouveau accélérée jusqu'à la position d'équilibre.

Tant que le système ne subit aucune perte d'énergie , la masse continue d'osciller. Ainsi, le mouvement harmonique simple est un type de mouvement périodique . Si de l'énergie est perdue dans le système, la masse présente alors une oscillation amortie .

Notez que si les tracés de l'espace réel et de l'espace des phases ne sont pas colinéaires, le mouvement de l'espace des phases devient elliptique. La surface délimitée dépend de l'amplitude et de l'impulsion maximale.

Dynamique

En mécanique newtonienne , pour un mouvement harmonique simple unidimensionnel, l'équation du mouvement, qui est une équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre à coefficients constants , peut être obtenue au moyen de la deuxième loi de Newton et de la loi de Hooke pour une masse sur un ressort .

${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ m est la masse inertielle du corps oscillant, x est son déplacement par rapport à la position d'équilibre (ou moyenne) et k est une constante (la constante de ressort pour une masse sur un ressort).

Donc, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La résolution de l' équation différentielle ci-dessus produit une solution qui est une fonction sinusoïdale : où La signification des constantes et peut être facilement trouvée : en posant sur l'équation ci-dessus, nous voyons que , donc c'est la position initiale de la particule, ; en prenant la dérivée de cette équation et en évaluant à zéro, nous obtenons que , donc c'est la vitesse initiale de la particule divisée par la fréquence angulaire, . Ainsi, nous pouvons écrire : ${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t ight)+c_{2}\sin \left(\omega t ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t ight)+c_{2}\sin \left(\omega t ight),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle \omega ={\sqrt {{k}/{m}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle \omega ={\sqrt {{k}/{m}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x(0)=c_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(0)=c_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{1}=x_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{1}=x_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>ω</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t ight)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msqrt> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t ight)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t ight).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette équation peut également s'écrire sous la forme : où ${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi ight),}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <msup> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle an \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle an \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>A</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>A</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

ou de manière équivalente

${\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>i</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans la solution, c ₁ et c ₂ sont deux constantes déterminées par les conditions initiales (plus précisément, la position initiale à l'instant t = 0 est c ₁ , tandis que la vitesse initiale est c ₂ω ), et l'origine est définie comme étant la position d'équilibre. Chacune de ces constantes porte une signification physique du mouvement : A est l' amplitude (déplacement maximal par rapport à la position d'équilibre), ω = 2 πf est la fréquence angulaire et φ est la phase initiale .

En utilisant les techniques de calcul , la vitesse et l'accélération en fonction du temps peuvent être trouvées : ${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <mi>ω</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Vitesse: ${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <msqrt> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Vitesse maximale : v = ωA (au point d'équilibre)

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Accélération maximale : Aω ² (aux points extrêmes)

Par définition, si une masse m est soumise à SHM, son accélération est directement proportionnelle au déplacement . ${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Puisque ω = 2 πf , et puisque T = ⁠ ${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ 1/foù Test la période de temps , ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ces équations démontrent que le mouvement harmonique simple est isochrone (la période et la fréquence sont indépendantes de l'amplitude et de la phase initiale du mouvement).

Énergie

En remplaçant ω ² par ⁠k/m⁠ , l'énergie cinétique K du système à l'instant t est et l'énergie potentielleest En l'absence de frottement et d'autres pertes d'énergie, l'énergie mécaniquea une valeur constante ${\displaystyle K(t)={ frac {1}{2}}mv^{2}(t)={ frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={ frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mi>ω</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>k</mi> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K(t)={ frac {1}{2}}mv^{2}(t)={ frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={ frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U(t)={ frac {1}{2}}kx^{2}(t)={ frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>U</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>k</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>k</mi> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>cos</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U(t)={ frac {1}{2}}kx^{2}(t)={ frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle E=K+U={ frac {1}{2}}kA^{2}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>k</mi> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle E=K+U={ frac {1}{2}}kA^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemples

Un système ressort-masse non amorti subit un mouvement harmonique simple.

Les systèmes physiques suivants sont quelques exemples d’ oscillateur harmonique simple .

Messe sur ressort

Une masse m attachée à un ressort de constante k présente un mouvement harmonique simple dans un espace fermé . L'équation décrivant la période montre que la période d'oscillation est indépendante de l'amplitude, bien qu'en pratique l'amplitude doive être faible. L'équation ci-dessus est également valable dans le cas où une force constante supplémentaire est appliquée sur la masse, c'est-à-dire que la force constante supplémentaire ne peut pas modifier la période d'oscillation. ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Mouvement circulaire uniforme

Le mouvement harmonique simple peut être considéré comme la projection unidimensionnelle d' un mouvement circulaire uniforme . Si un objet se déplace avec une vitesse angulaire ω autour d'un cercle de rayon r centré à l' origine du plan xy , alors son mouvement le long de chaque coordonnée est un mouvement harmonique simple d'amplitude r et de fréquence angulaire ω .

Mouvement oscillatoire

Le mouvement d'un corps dans lequel il se déplace vers et depuis un point défini est également appelé mouvement oscillatoire ou mouvement vibratoire. La période de temps peut être calculée par où l est la distance de la rotation au centre de masse de l'objet soumis à SHM et g étant l'accélération gravitationnelle. Ceci est analogue au système masse-ressort. ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mi>l</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Masse d'un pendule simple

Dans l' approximation aux petits angles , le mouvement d'un pendule simple est approximé par un mouvement harmonique simple. La période d'une masse attachée à un pendule de longueur l avec une accélération gravitationnelle est donnée par ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow> <msqrt> <mfrac> <mi>l</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cela montre que la période d'oscillation est indépendante de l'amplitude et de la masse du pendule mais pas de l'accélération due à la gravité. Par conséquent, un pendule de la même longueur sur la Lune oscillerait plus lentement en raison de la force gravitationnelle plus faible de la Lune. Étant donné que la valeur de varie légèrement sur la surface de la Terre, la période de temps variera légèrement d'un endroit à l'autre et variera également en fonction de l'altitude au-dessus du niveau de la mer. ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette approximation n'est précise que pour les petits angles car l'expression de l'accélération angulaire α est proportionnelle au sinus de l'angle de déplacement : où I est le moment d'inertie . Lorsque θ est petit, sin θ ≈ θ et donc l'expression devient ce qui rend l'accélération angulaire directement proportionnelle et opposée à θ , satisfaisant la définition du mouvement harmonique simple (la force nette est directement proportionnelle au déplacement par rapport à la position moyenne et est dirigée vers la position moyenne). ${\displaystyle -mgl\sin heta =I\alpha , <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>l</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>α</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -mgl\sin heta =I\alpha ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle -mgl heta =I\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>l</mi> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -mgl heta =I\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Empiècement écossais

Un mécanisme à fourche écossaise peut être utilisé pour convertir un mouvement rotatif en mouvement alternatif linéaire. Le mouvement linéaire peut prendre différentes formes en fonction de la forme de la fente, mais la fourche de base avec une vitesse de rotation constante produit un mouvement linéaire de forme harmonique simple.