Approximation des petits angles

Comportement approximativement égal de certaines fonctions (trigonométriques) pour

Pour les petits angles , les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente peuvent être calculées avec une précision raisonnable par les approximations simples suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin heta &\approx an heta \approx heta ,\\[5mu]\cos heta &\approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2}\approx 1,\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\sin heta &\approx an heta \approx heta ,\\[5mu]\cos heta &\approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2}\approx 1,\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

à condition que l'angle soit mesuré en radians . Les angles mesurés en degrés doivent d'abord être convertis en radians en les multipliant par ${\displaystyle \pi /180 <semantics><mrow><mstyle><mi>π</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>180</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi /180}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ .

Ces approximations ont de nombreuses applications dans diverses branches de la physique et de l'ingénierie , notamment la mécanique , l'électromagnétisme , l'optique , la cartographie , l'astronomie et l'informatique . L'une des raisons est qu'elles peuvent simplifier considérablement les équations différentielles qui n'ont pas besoin d'être résolues avec une précision absolue.

Il existe plusieurs façons de démontrer la validité des approximations aux petits angles. La méthode la plus directe consiste à tronquer le développement en série de Maclaurin de chaque fonction trigonométrique. Selon l' ordre de l'approximation , ${\displaystyle extstyle \cos heta <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle textstyle cos theta}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1 <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${ extstyle 1-{\frac {1}{2}} heta ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle 1-{\frac {1}{2}} heta ^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Justifications

Géométrique

Pour un petit angle, ont presque la même longueur, et donc est proche de 1. Le segment et du côté adjacent ${\displaystyle extstyle H-{\sqrt {H^{2}-O^{2 <mrow><mstyle><mstyle><msup><mi>O</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mspace></mspace><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn><mi>H</mi><mo>≈</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>H</mi></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle O^{2}\!/2H\approx { frac {1}{2}} heta ^{2}H}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \cos { heta }\approx 1-{\frac { heta ^{2}}{2}}. <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mi>θ</mi></mrow><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos { heta }\approx 1-{\frac { heta ^{2}}{2}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Le côté opposé, . L'arc tan A , et, O ≈ s A qui à : ${\displaystyle \sin heta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}= an heta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A heta }{A}}= heta . <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>O</mi><mi>H</mi></mfrac></mrow><mo>≈</mo><mrow><mfrac><mi>O</mi><mi>UN</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>O</mi><mi>UN</mi></mfrac></mrow><mo>≈</mo><mrow><mfrac><mi>s</mi><mi>UN</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>UN</mi><mi>θ</mi></mrow><mi>UN</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>θ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin heta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}= an heta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A heta }{A}}= heta .}</annotation></semantics></math><img src=$

Ou, plus succinctement, ${\displaystyle \sin heta \approx an heta \approx heta . <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin heta \approx an heta \approx heta .}</annotation></semantics></math><img src=$

Calcul

En utilisant le théorème des gendarmes , on peut démontrer que ${\displaystyle \lim _{ heta o 0}{\frac {\sin( heta )}{ heta }}=1, <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>θ</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lim _{ heta o 0}{\frac {\sin( heta )}{ heta }}=1,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sin( heta )\approx heta <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>≈</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin( heta )\approx heta }</annotation></semantics></math><img src=$ θ .

Une application plus rigoureuse du théorème des gendarmes prouve que ${\displaystyle \lim _{ heta o 0}{\frac { an( heta )}{ heta }}=1, <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>θ</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lim _{ heta o 0}{\frac { an( heta )}{ heta }}=1,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle an( heta )\approx heta <semantics><mrow><mstyle><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>≈</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle an( heta )\approx heta }</annotation></semantics></math><img src=$ θ .

Enfin, la règle de L'Hôpital nous dit que ${\displaystyle \lim _{ heta o 0}{\frac {\cos( heta )-1}{ heta ^{2}}}=\lim _{ heta o 0}{\frac {-\sin( heta )}{2 heta }}=-{\frac {1}{2}}, <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>θ</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>θ</mi><mo>→</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>θ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lim _{ heta o 0}{\frac {\cos( heta )-1}{ heta ^{2}}}=\lim _{ heta o 0}{\frac {-\sin( heta )}{2 heta }}=-{\frac {1}{2}},}</annotation></semantics></math><img src=$ ${ extstyle \cos( heta )\approx 1-{\frac { heta ^{2}}{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle \cos( heta )\approx 1-{\frac { heta ^{2}}{2}}}</annotation></semantics></math><img src=$ θ . Alternativement, on peut utiliser la formule du double angle. ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn><mi>UN</mi><mo>≡</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><msup><mi>péché</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle heta =2A <semantics><mrow><mstyle><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta =2A}</annotation></semantics></math><img src=$ ${ extstyle \cos heta =1-2\sin ^{2}{\frac { heta }{2}}\approx 1-{\frac { heta ^{2}}{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><msup><mi>péché</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mrow><mfrac><mi>θ</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle \cos heta =1-2\sin ^{2}{\frac { heta }{2}}\approx 1-{\frac { heta ^{2}}{2}}}</annotation></semantics></math><img src=$ .

Algébrique

Les développements en série de Taylor des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente près de zéro sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin heta &= heta -{\frac {1}{6}} heta ^{3}+{\frac {1}{120}} heta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos heta &=1-{\frac {1}{2}}{ heta ^{2}}+{\frac {1}{24}} heta ^{4}-\cdots ,\\[6mu] an heta &= heta +{\frac {1}{3}} heta ^{3}+{\frac {2}{15}} heta ^{5}+\cdots .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>θ</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>120</mn></mfrac></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>24</mn></mfrac></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>15</mn></mfrac></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\sin heta &= heta -{\frac {1}{6}} heta ^{3}+{\frac {1}{120}} heta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos heta &=1-{\frac {1}{2}}{ heta ^{2}}+{\frac {1}{24}} heta ^{4}-\cdots ,\\[6mu] an heta &= heta +{\frac {1}{3}} heta ^{3}+{\frac {2}{15}} heta ^{5}+\cdots .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

où ${\displaystyle heta <semantics><mrow><mstyle><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ est l'angle en radians. Pour les angles très petits, les puissances supérieures de ${\displaystyle heta <semantics><mrow><mstyle><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ devenir extrêmement petits, par exemple si ${\displaystyle heta =0.01 <semantics><mrow><mstyle><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>0,01</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta =0.01}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ , alors ${\displaystyle heta ^{3}=0.000\,001 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0,000</mn><mspace></mspace><mn>001</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta ^{3}=0.000\,001}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ , seulement un dix-millième de ${\displaystyle heta <semantics><mrow><mstyle><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ . Ainsi, pour de nombreuses applications, il suffit de négliger les termes cubiques et d'ordre supérieur et d'approximer le sinus et la tangente d'un petit angle en utilisant la mesure de l'angle en radians. ${\displaystyle \sin heta \approx an heta \approx heta <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin heta \approx an heta \approx heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ , et supprimez le terme quadratique et approximez le cosinus comme ${\displaystyle \cos heta \approx 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos heta \approx 1}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ .

Si une précision supplémentaire est nécessaire, les termes quadratiques et cubiques peuvent également être inclus ${\displaystyle \sin heta \approx heta -{ frac {1}{6}} heta ^{3 <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin heta \approx heta -{ frac {1}{6}} heta ^{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ , ${\displaystyle \cos heta \approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos heta \approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ , et ${\displaystyle an heta \approx heta +{ frac {1}{3}} heta ^{3 <semantics><mrow><mstyle><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle an heta \approx heta +{ frac {1}{3}} heta ^{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ .

Erreur des approximations

Au voisinage de zéro, l' erreur relative des ${\displaystyle \cos heta \approx 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos heta \approx 1}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ , ${\displaystyle \sin heta \approx heta <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin heta \approx heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ , et ${\displaystyle an heta \approx heta <semantics><mrow><mstyle><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle an heta \approx heta }</annotation></semantics></math><img src=$ est quadratique ${\displaystyle heta <semantics><mrow><mstyle><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ : pour chaque ordre de grandeur inférieur à l'angle, l'erreur relative de ces approximations diminue de deux ordres de grandeur. L'approximation ${\displaystyle extstyle \cos heta \approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle \cos heta \approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ présente une erreur relative qui est quartique ${\displaystyle heta <semantics><mrow><mstyle><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ : pour chaque ordre de grandeur plus petit que l'angle, l'erreur relative diminue de quatre ordres de grandeur.

La figure 3 illustre les erreurs relatives des approximations des petits angles. Les angles pour lesquels l'erreur relative dépasse 1 % sont les suivants :

${\displaystyle \cos heta \approx 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos heta \approx 1}</annotation></semantics></math><img src=$ à environ 0,14 radians (8,1°)
${\displaystyle an heta \approx heta <semantics><mrow><mstyle><mi>tanné</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle an heta \approx heta }</annotation></semantics></math><img src=$ à environ 0,17 radians (9,9°)
${\displaystyle \sin heta \approx heta <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin heta \approx heta }</annotation></semantics></math><img src=$ à environ 0,24 radians (14,0°)
${\displaystyle extstyle \cos heta \approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2 <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>≈</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>θ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle \cos heta \approx 1-{ frac {1}{2}} heta ^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ à environ 0,66 radians (37,9°)

approximations à la règle à calcul

De nombreuses règles à calcul – en particulier les modèles « trig » et supérieurs – comprennent une échelle « ST » (sinus et tangentes) ou « SRT » (sinus, radians et tangentes) sur le devant ou le dos de la lame, pour calculer avec des sinus et des tangentes d'angles inférieurs à environ 0,1 radian.

L'extrémité droite de l'échelle ST ou SRT ne peut pas être précise à trois décimales pour arcsinus(0,1) = 5,74 degrés et arctangente(0,1) = 5,71 degrés. Par conséquent, les sinus et les tangentes d'angles proches de 5 degrés sont donnés avec une précision légèrement inférieure à celle généralement attendue d'une règle à calcul. Certaines règles à calcul, comme la K&E Deci-Lon sur la photo, sont calibrées à 0,1 pour une conversion précise en radians, soit 5,73 degrés (un écart de près de 0,4 % pour la tangente et de 0,2 % pour le sinus pour des angles autour de 5 degrés). D'autres sont calibrées à 5,725 degrés, afin de maintenir les erreurs sur le sinus et la tangente en dessous de 0,3 %.

Somme et différence des angles

Les théorèmes d'addition et de soustraction d'angles peuvent être simplifiés lorsque l'un des angles est petit (si ${\displaystyle \beta <semantics><mrow><mstyle><mi>β</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \beta }</annotation></semantics></math><img src=$ est très petit ${\displaystyle \cos \beta \approx 1 <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>β</mi><mo>≈</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos \beta \approx 1}</annotation></semantics></math><img src=$ et ${\displaystyle \sin \beta \approx \beta <semantics><mrow><mstyle><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>β</mi><mo>≈</mo><mi>β</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin \beta \approx \beta }</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ ): ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&\approx \cos \alpha -\beta \sin \alpha ,\\\cos(\alpha -\beta )&\approx \cos \alpha +\beta \sin \alpha ,\\\sin(\alpha +\beta )&\approx \sin \alpha +\beta \cos \alpha ,\\\sin(\alpha -\beta )&\approx \sin \alpha -\beta \cos \alpha .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mi>β</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mi>β</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&\approx \cos \alpha -\beta \sin \alpha ,\\\cos(\alpha -\beta )&\approx \cos \alpha +\beta \sin \alpha ,\\\sin(\alpha +\beta )&\approx \sin \alpha +\beta \cos \alpha ,\\\sin(\alpha -\beta )&\approx \sin \alpha -\beta \cos \alpha .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Utilisations spécifiques

Astronomie

En astronomie , la taille angulaire , ou angle, sous-tendu par l'image d'un objet distant n'est souvent que de quelques secondes d'arc (notée par le symbole ″), ce qui la rend parfaitement adaptée à l'approximation des petits angles. La taille linéaire ( ) et à la distance à l'observateur ( ${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{'' </span referrerpolicy=$

où 206 265 ″ est approximativement égal au nombre de secondes d'arc dans 1 radian, qui est le nombre de secondes d'arc dans un cercle (1 296 000 ″ ) divisé par ${\displaystyle D=d an \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}} ight) </span referrerpolicy=$

et l'approximation ci-dessus s'applique lorsque est remplacé par = 1 UA,

L’approximation du cosinus du second ordre est particulièrement utile pour calculer l’ énergie potentielle d’un pendule , qui peut ensuite être utilisée avec un lagrangien pour trouver l’équation du mouvement (de l’énergie) indirecte. Lors du calcul de la période d’un pendule simple, l’approximation des petits angles du sinus est utilisée pour faciliter la résolution de l’équation différentielle résultante par comparaison avec l’équation différentielle décrivant le mouvement harmonique simple .

Optique

En optique, les approximations des petits angles constituent la base de l' approximation paraxiale .

Interférence d'ondes

Les approximations sinus et tangente des petits angles sont utilisées en relation avec l' expérience des fentes de Young ou un réseau de diffraction pour développer des équations simplifiées comme les suivantes, où est l'ordre de la frange, est la distance entre les fentes : ${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>≈</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>m</mi><mi>λ</mi><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Mécanique des structures

L'approximation des petits angles apparaît également en mécanique des structures , notamment dans les analyses de stabilité et de bifurcation (principalement de colonnes soumises à une charge axiale et susceptibles de flamber ). Elle conduit à des simplifications importantes, mais au détriment de la précision et de la compréhension du comportement réel.

Pilotage

La règle du 1/60 utilisée en navigation aérienne repose sur l'approximation des petits angles, ainsi que sur le fait qu'un radian équivaut approximativement à 60 degrés.

Interpolation

Les formules d' addition et de soustraction impliquant un petit angle peuvent être utilisées pour interpoler entre les valeurs des tables trigonométriques :

Exemple : sin(0,755) ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>0,755</mn><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>0,75</mn><mo>+</mo><mn>0,005</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>0,75</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mn>0,005</mn><mo>)</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>0,75</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mo>(</mo><mn>0,6816</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mn>0,005</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>0,7317</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>≈</mo><mn>0,6853.</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$