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En mathématiques , les nombres naturels sont les nombres 0 , 1 , 2 , 3 , etc., éventuellement 0 exclu. Les termes entiers positifs , entiers non négatifs , nombres entiers et nombres de comptage sont également utilisés. L' ensemble des nombres naturels est généralement noté par un en gras
Les nombres naturels servent à compter et à exprimer le résultat d'un comptage, par exemple : « il y a sept jours dans une semaine », auquel cas on les appelle nombres cardinaux . Ils servent également à désigner les positions dans une série ordonnée, par exemple : « le troisième jour du mois », auquel cas on les appelle nombres ordinaux .
Les nombres naturels sont généralement exprimés par écrit à l'aide de dix symboles appelés chiffres (« 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 »). Ces chiffres peuvent également être utilisés comme identifiants ou étiquettes uniques (comme les numéros de maillot d'une équipe sportive) qui sont appelés nombres nominaux , qui ressemblent aux nombres naturels mais n'ont pas de propriétés mathématiques spécifiques.
Les nombres naturels peuvent être comparés par ordre de grandeur , les plus grands suivant les plus petits dans la liste 1, 2, 3, ... Deux opérations arithmétiques fondamentales sont définies sur les nombres naturels : l’addition et la multiplication . Cependant, les opérations inverses, la soustraction et la division , ne donnent que parfois des résultats entiers naturels : soustraire un plus grand nombre naturel d’un plus petit donne un nombre négatif et diviser un nombre naturel par un autre laisse généralement un reste .
Les systèmes de nombres les plus couramment utilisés en mathématiques – les entiers , les nombres rationnels , les nombres réels et les nombres complexes – contiennent les nombres naturels et peuvent être formellement définis en termes de nombres naturels.
L'arithmétique étudie les méthodes permettant d'effectuer des opérations élémentaires sur ces systèmes de nombres. La théorie des nombres étudie les propriétés de ces opérations et leurs généralisations. La combinatoire consiste en grande partie à dénombrer les objets, les motifs et les structures mathématiques définis à l'aide des nombres naturels.
collection finie d'objets . Cette caractéristique, la taille de la collection , est appelée cardinalité , et un nombre naturel utilisé pour la décrire ou la mesurer est un nombre cardinal .
Deux collections finies ont la même cardinalité si elles sont en correspondance biunivoque , c'est-à-dire si les objets peuvent être regroupés par paires (un de chaque collection), chaque objet appartenant à une seule paire. Sur l'image ci-contre, chaque pomme est associée à une seule orange et chaque orange à une seule pomme. Ainsi, le groupe des pommes a la même cardinalité que le groupe des oranges, ou plus simplement, le nombre de pommes est égal au nombre d'oranges.
Puisque cette égalité peut être établie sans compter ni utiliser aucune notion préalable de nombre, elle peut former la définition d'un nombre cardinal. Dans ce cas, le nombre de pommes, d'oranges - et de toute autre collection qui pourrait être associée à l'un ou l'autre groupe - est 3.
Si deux collections n'ont pas la même cardinalité, l'appariement laissera l'une des collections avec des objets non appariés, ce qui permet de définir une relation de taille entre elles. La collection où tous les objets sont appariés est dite « plus petite » et celle avec les objets non appariés « plus grande » que l'autre.
Position dans une séquence
Une séquence est une liste d'objets ordonnés. Plus précisément, une séquence est une fonction qui associe un objet à chaque position de cette liste. Les positions sont étiquetées à l'aide d'un ensemble bien ordonné ; chaque élément a toujours un élément suivant évident. Tout ensemble bien ordonné possède un type d'ordre , qui est le nombre ordinal décrivant sa forme d'ordre. Les étiquettes de position ne correspondent pas ici à des dénombrements ou à des tailles, comme c'est le cas pour les nombres cardinaux, mais simplement à des éléments ordonnés.
Les nombres naturels sont le choix le plus courant pour indexer les suites infinies car ils forment l'ensemble infini bien ordonné le plus simple, de type ω. Ils commencent à 0 ou à 1 et se poursuivent dans leur ordre fixe habituel — 1, 2, 3, etc. — sans fin. Chaque nombre naturel indexe une position spécifique dans la suite en fonction de sa position par rapport à toutes les autres. Par exemple, 1 est la première position, 2 est la position qui suit immédiatement 1, et 3 est la position qui suit 1 et 2 et précède 4, 5, etc. Cet ordre correspond à l'ordre usuel, les plus petits nombres précédant les plus grands. Mais les nombres naturels ne sont que l'exemple le plus familier ; tout ensemble bien ordonné conviendrait tout aussi bien pour indexer une suite, par exemple l'ensemble des lettres a, b, c, etc.
Terminologie et notation
Le terme « nombres naturels » possède deux définitions courantes : soit ensemble de tous les nombres naturels est généralement noté gras, comme L'inclusion de 0 dépend souvent du contexte, mais peut également être précisée en utilisant ℝ ou ℓ (l'ensemble de tous les entiers) avec un indice ou un exposant. Par exemple : ℝ , ou (pour l'ensemble commençant à 1) et ou (pour l'ensemble incluant 0).
Numéral
Un chiffre est un symbole ou un groupe de symboles utilisé pour exprimer un nombre naturel par écrit. Un ensemble particulier de symboles, régi par des règles d'utilisation spécifiques, constitue un système de numération . Chaque symbole d'un système de numération représente un nombre naturel unique – appelé sa valeur – et peut être utilisé seul comme chiffre, ou associé à d'autres symboles pour former un chiffre.
Le système décimal , qui utilise les chiffres arabes et la notation positionnelle , est la norme universelle pour représenter les nombres naturels en mathématiques et dans le langage courant. Du fait de cette norme universelle, la distinction entre un nombre abstrait (une valeur) et son symbole (un chiffre) est généralement peu importante ; on parle donc souvent de « nombres ». Cette simplification est parfois employée même lorsque la distinction est pertinente, comme pour les nombres binaires , souvent appelés « nombres binaires ».
Utilisation des nombres naturels
Les nombres naturels servent au dénombrement et aux quatre opérations arithmétiques de base : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Compte
Le comptage est le processus qui consiste à parcourir les nombres naturels dans l'ordre séquentiel en commençant par 1. Il peut être effectué en utilisant uniquement des nombres (comme dans « compter jusqu'à 10 »), ou en appliquant le comptage à des objets (comme dans « compter les élèves de la classe »).
Appliqué à une collection d'objets, le dénombrement détermine la cardinalité de cette collection en établissant une correspondance biunivoque entre les objets et les nombres naturels. Cela implique d'attribuer successivement un numéro à chaque objet, tout en maintenant une partition glissante entre les objets numérotés et ceux qui ne le sont pas encore. Les numéros doivent être attribués dans l'ordre croissant à partir de 1 – ce sont donc des nombres ordinaux – mais l'ordre de sélection des objets est arbitraire, pourvu que chaque objet reçoive un seul et unique numéro. Le principe de cardinalité repose sur le fait que le numéro ordinal attribué au dernier objet donne le résultat du dénombrement : le cardinal de la collection.
Définitions formelles
Les définitions formelles s'appuient sur la notion intuitive de nombres naturels et les règles de l'arithmétique pour les définir dans les termes plus fondamentaux de la logique mathématique. Les systèmes formels supposent généralement que la caractéristique déterminante des nombres naturels est leur ordre fixe et établissent cet ordre à l'aide de la notion primitive de successeur . Tout nombre naturel possède un successeur, qui est un autre nombre naturel unique qui le suit.
Deux définitions formelles standard s'appuient sur les axiomes de Peano et la théorie des ensembles . Les axiomes de Peano (du nom de Giuseppe Peano ) ne définissent pas explicitement ce que sont les nombres naturels , mais constituent plutôt une liste d'énoncés ou d'axiomes qui doivent être vrais pour les nombres naturels, quelle que soit leur définition. En revanche, la théorie des ensembles définit chaque nombre naturel comme un ensemble particulier , un ensemble pouvant être généralement compris comme une collection d'objets ou d'éléments distincts . Bien que différentes, ces deux méthodes sont cohérentes en ce que les ensembles de nombres naturels satisfont collectivement les axiomes de Peano.
Axiomes de Peano
définition ensembliste
- Appelez ensemble vide .
- Définissez le successeur axiome de l'infini , il existe des ensembles contenant 0 et stables par la fonction successeur. Ces ensembles sont dits inductifs . L'intersection de tous les ensembles inductifs est elle-même un ensemble inductif.
- Cette intersection est l'ensemble des nombres naturels .
On obtient ainsi une définition itérative des nombres naturels appelée les ordinaux de von Neumann :
Dans cette construction, tout nombre naturel bijective de sous-ensemble de
Ajout
Étant donné l'ensemble des nombres naturels et la fonction successeur qui envoie chaque nombre naturel au suivant, l'addition ( ) est définie par :
Dans les énoncés ci-dessus, (1) définit explicitement l'addition pour le premier nombre naturel et (2) donne une définition récursive pour chaque nombre suivant en termes de définitions précédentes, comme illustré ci-dessous.
Ainsi, l'addition peut être vue comme l'application répétée de la fonction successeur. Intuitivement, structure algébrique est un monoïde commutatif d' élément neutre 0. C'est un monoïde libre à un générateur. Ce monoïde commutatif satisfait la propriété de simplification , et peut donc être plongé dans un groupe . Le plus petit groupe contenant les nombres naturels est le groupe des entiers .
Multiplication
De même, étant donné que l'addition a été définie, un opérateur de multiplication peut être défini via monoïde commutatif libre avec élément neutre 1 ; un ensemble générateur pour ce monoïde est l'ensemble des nombres premiers .
Relation entre l'addition et la multiplication
Dans l'ensemble des nombres naturels, l'addition et la multiplication sont compatibles, ce qui s'exprime par la distributivité : stable par soustraction (c'est-à-dire que soustraire un entier naturel d'un autre ne donne pas toujours un entier naturel) ; on peut également dire qu'il n'a pas d'inverse additif . Ces propriétés de l'addition et de la multiplication impliquent que l'ensemble des nombres naturels n'est pas un anneau ; c'est un semi-anneau (ou rig ). Les semi-anneaux sont une généralisation algébrique des anneaux où la multiplication n'est pas nécessairement commutative , bien que la multiplication dans l' ensemble des nombres naturels le soit.
Si l'on considère les nombres naturels comme « excluant 0 » et « commençant à 1 », les définitions de + et × sont les mêmes que ci-dessus, sauf qu'elles commencent par
Commande
Un ordre total sur les nombres naturels est défini en posant opérations arithmétiques au sens suivant : si bien ordonnés : tout ensemble non vide de nombres naturels possède un plus petit élément. Le rang parmi les ensembles bien ordonnés est exprimé par un nombre ordinal ; pour les nombres naturels, ce rang est noté ω (oméga).
Division
Bien qu'il ne soit généralement pas possible de diviser deux nombres naturels et d'obtenir un nombre naturel comme résultat, la division euclidienne, ou division avec reste , peut être utilisée en remplacement : pour deux nombres naturels quelconques
Propriétés algébriques satisfaites par les nombres naturels
Les opérations d'addition (+) et de multiplication (×) sur les nombres naturels, telles que définies ci-dessus, possèdent plusieurs propriétés algébriques :
- Clôture par addition et multiplication : pour tous les nombres naturels Associativité : pour tous les nombres naturels Commutativité : pour tous les nombres naturels éléments d'identité : pour tout nombre naturel Distributivité de la multiplication sur l'addition pour tous les nombres naturels de diviseurs de zéro non nuls : si Nicolas Chuquet a utilisé le terme « progression naturelle » en 1484. La première utilisation connue de l’expression « nombre naturel » en anglais remonte à 1763. L’Encyclopædia Britannica de 1771 définit les nombres naturels dans l’article sur les logarithmes.
construction formelle
Au XIXe siècle en Europe, la nature exacte des nombres naturels a fait l'objet de débats mathématiques et philosophiques. Henri Poincaré affirmait que les axiomes ne peuvent être démontrés que par leur application finie et concluait que c'est « la puissance de l'esprit » qui permet de concevoir la répétition indéfinie d'un même acte. Leopold Kronecker résumait sa conviction ainsi : « Dieu a créé les entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme. »
Les constructivistes ont perçu la nécessité d'améliorer la rigueur logique des fondements des mathématiques . Dans les années 1860, Hermann Grassmann a proposé une définition récursive des nombres naturels, affirmant ainsi qu'ils n'étaient pas intrinsèquement naturels, mais une conséquence de définitions. Par la suite, deux classes de définitions formelles de ce type ont émergé, utilisant respectivement la théorie des ensembles et les axiomes de Peano. Plus tard encore, il a été démontré qu'elles étaient équivalentes dans la plupart des applications pratiques.
Les définitions ensemblistes des nombres naturels ont été initiées par Frege . Il a initialement défini un nombre naturel comme la classe de tous les ensembles en bijection avec un ensemble particulier. Cependant, cette définition a conduit à des paradoxes, dont le paradoxe de Russell . Pour éviter de tels paradoxes, le formalisme a été modifié : un nombre naturel est désormais défini comme un ensemble particulier, et tout ensemble en bijection avec cet ensemble particulier possède ce nombre d’éléments.
En 1881, Charles Sanders Peirce a établi la première axiomatisation de l'arithmétique des nombres naturels. En 1888, Richard Dedekind a proposé une autre axiomatisation de cette arithmétique, et en 1889, Peano a publié une version simplifiée des axiomes de Dedekind dans son ouvrage * Les principes de l'arithmétique présentés par une nouvelle méthode * ( *Arithmetices principia, nova methodo exposita *). Cette approche est aujourd'hui appelée arithmétique de Peano . Elle repose sur une axiomatisation des propriétés des nombres ordinaux : tout nombre naturel possède un successeur et tout nombre naturel non nul possède un prédécesseur unique. L'arithmétique de Peano est équiconsistante avec plusieurs systèmes faibles de la théorie des ensembles . L'un de ces systèmes est ZFC, dont l' axiome de l'infini est remplacé par sa négation. Parmi les théorèmes qui peuvent être prouvés dans ZFC mais qui ne peuvent pas être prouvés en utilisant les axiomes de Peano, on trouve le théorème de Goodstein .
Zéro comme nombre naturel
Le choix de commencer par 0 ou 1 a longtemps été une question de convention. En 1727, Bernard Le Bovier de Fontenelle défendait les deux points de vue : 0 pouvait être un terme , comme dans la suite 0, 1, 2, …, mais 1 était un élément de base à partir duquel on pouvait former d’autres nombres par additions successives. En 1889, Giuseppe Peano utilisa N pour les entiers positifs et commençait à 1, mais il opta par la suite pour N₀ et N₁ . La plupart des premiers auteurs excluaient 0, mais de nombreux mathématiciens tels que George A. Wentworth , Bertrand Russell , Nicolas Bourbaki , Paul Halmos , Stephen Cole Kleene et John Horton Conway l'incluaient. L'inclusion de 0 s'est généralisée dans les années 1960 et a été formalisée dans la norme ISO 31-11 (1978), qui définit les nombres naturels comme incluant 0, une convention conservée dans la norme actuelle ISO 80000-2 .
Généralisations
Les systèmes de nombres les plus couramment utilisés en mathématiques sont des extensions de l'ensemble des nombres naturels, en ce sens que chacun d'eux contient un sous-ensemble possédant la même structure arithmétique. Ces systèmes de nombres peuvent également être formellement définis à l'aide des nombres naturels (sans que cela soit obligatoire la différence de deux nombres naturels quelconques est considérée comme un nombre, on obtient l' ensemble des entiers , qui comprend zéro et les nombres négatifs. Si le quotient de deux entiers quelconques est considéré comme un nombre, on obtient l'ensemble des nombres rationnels , qui comprend les fractions . Si tout nombre décimal infini est considéré comme un nombre, on obtient l'ensemble des nombres réels . Si toute solution d'une équation polynomiale est considérée comme un nombre, on obtient l'ensemble des nombres complexes .
D'autres généralisations des nombres naturels sont abordées dans la
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