Ensemble infini

En théorie des ensembles , un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas un ensemble fini . Les ensembles infinis peuvent être dénombrables ou indénombrables .

L'ensemble des nombres naturels (dont l'existence est postulée par l' axiome de l'infini ) est infini. C'est le seul ensemble dont l'infinité est directement requise par les axiomes . L'existence de tout autre ensemble infini peut être démontrée dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), mais uniquement en montrant qu'elle découle de l'existence des nombres naturels.

Un ensemble est infini si et seulement si, pour tout nombre naturel, l'ensemble possède un sous-ensemble dont le cardinal est ce nombre naturel.

Si l' axiome du choix est vérifié, alors un ensemble est infini si et seulement s'il comprend un sous-ensemble infini dénombrable.

Si un ensemble d'ensembles est infini ou contient un élément infini, alors son union est infinie. L' ensemble des parties d'un ensemble infini est infini. Tout sur-ensemble d'un ensemble infini est infini. Si un ensemble infini est partitionné en un nombre fini de sous-ensembles, alors au moins l'un d'eux est infini. Tout ensemble qui peut être transformé en un ensemble infini est infini. Le produit cartésien d'un ensemble infini et d'un ensemble non vide est infini. Le produit cartésien d'une infinité d'ensembles, chacun contenant au moins deux éléments, est soit vide, soit infini ; si l'axiome du choix est vérifié, alors il est infini.

Si un ensemble infini est un ensemble bien ordonné , alors il doit avoir un sous-ensemble non vide et non trivial qui n'a pas de plus grand élément.

Dans ZF, un ensemble est infini si et seulement si l' ensemble des parties de cet ensemble est un ensemble infini de Dedekind , possédant un sous-ensemble propre équinuméraire à lui-même. Si l'axiome du choix est également vrai, alors les ensembles infinis sont précisément les ensembles infinis de Dedekind.

Si un ensemble infini est un ensemble bien ordonnable , alors il possède de nombreux bons ordres qui ne sont pas isomorphes.

Parmi les idées importantes abordées par David Burton dans son ouvrage * The History of Mathematics: An Introduction*, on trouve la définition des « éléments » ou parties d'un ensemble, la définition des éléments uniques de cet ensemble et la démonstration de l'infini. Burton traite également des démonstrations pour différents types d'infini, notamment les ensembles dénombrables et indénombrables. Les notions utilisées pour comparer les ensembles infinis et finis incluent les ensembles ordonnés , la cardinalité, l'équivalence, les plans cartésiens , les ensembles universels , l'application, les sous-ensembles, la continuité et la transcendance . Les idées de Cantor sur les ensembles ont été influencées par la trigonométrie et les nombres irrationnels. D'autres idées clés de la théorie des ensembles infinis, mentionnées par Burton, Paula, Narli et Rodger, incluent les nombres réels tels que π , les entiers et le nombre d'Euler .

Burton et Rogers utilisent tous deux les ensembles finis pour aborder la notion d'ensembles infinis, en s'appuyant sur des concepts de démonstration tels que l'application, la démonstration par récurrence ou la démonstration par l'absurde. Les arbres mathématiques peuvent également servir à la compréhension des ensembles infinis. Burton aborde aussi les démonstrations d'ensembles infinis, notamment les notions d'union et de sous-ensemble.

Dans le chapitre 12 de son ouvrage *Histoire des mathématiques : une introduction* , Burton souligne comment des mathématiciens tels que Zermelo , Dedekind , Galilée , Kronecker , Cantor et Bolzano ont étudié et influencé la théorie des ensembles infinis. Nombre d'entre eux ont débattu de la notion d'infini ou ont contribué à l'enrichissement du concept d'ensembles infinis. L'influence de facteurs historiques, comme l'histoire de la Prusse au XIXe siècle, a pu contribuer à l'essor des connaissances mathématiques, notamment à travers la théorie des ensembles infinis de Cantor.

Une application potentielle de la théorie des ensembles infinis se trouve en génétique et en biologie.

L'ensemble de tous les entiers , {..., −1, 0, 1, 2, ...}, est un ensemble dénombrable infini. L'ensemble de tous les entiers pairs est également un ensemble dénombrable infini, même s'il s'agit d'un sous-ensemble strict de l'ensemble des entiers.

L'ensemble de tous les nombres rationnels est un ensemble dénombrable infini car il existe une bijection vers l'ensemble des entiers.

L'ensemble de tous les nombres réels est un ensemble non dénombrable infini. L'ensemble de tous les nombres irrationnels est également un ensemble non dénombrable infini.

L'ensemble de tous les sous-ensembles des entiers est non dénombrable.