Symétrie

En général, chaque structure mathématique possède sa propre forme de symétrie. Citons par exemple les fonctions paires et impaires en analyse , les groupes symétriques en algèbre abstraite , les matrices symétriques en algèbre linéaire et les groupes de Galois en théorie de Galois . En statistique , la symétrie se manifeste également par des distributions de probabilité symétriques et par l'asymétrie des distributions.

Parmi les symétries importantes en physique, on peut citer les symétries continues et discrètes de l'espace-temps ; les symétries internes des particules ; et la supersymétrie des théories physiques.

En biologie, la notion de symétrie est principalement utilisée pour décrire la morphologie corporelle. Les animaux bilatéraux , y compris l'être humain, présentent une symétrie plus ou moins marquée par rapport au plan sagittal qui divise le corps en deux moitiés, gauche et droite. Les animaux qui se déplacent dans une direction précise possèdent nécessairement un côté supérieur et un côté inférieur, une tête et une queue, et donc une gauche et une droite. La tête se spécialise avec la présence d'une bouche et d'organes sensoriels, et le corps acquiert une symétrie bilatérale pour permettre le mouvement, avec des paires symétriques de muscles et d'éléments squelettiques, même si les organes internes restent souvent asymétriques.

Les plantes et les animaux sessiles (fixés) comme les anémones de mer présentent souvent une symétrie radiale ou rotationnelle , ce qui leur est avantageux car la nourriture ou les menaces peuvent provenir de n'importe quelle direction. On retrouve une symétrie d'ordre cinq chez les échinodermes , groupe qui comprend les étoiles de mer , les oursins et les crinoïdes .

En biologie, la notion de symétrie est également utilisée, comme en physique, pour décrire les propriétés des objets étudiés, y compris leurs interactions. Une propriété remarquable de l'évolution biologique est la modification de la symétrie qui correspond à l'apparition de nouvelles parties et à de nouvelles dynamiques.

En chimie, la symétrie d'un objet ou d'une molécule est décrite par les opérations de symétrie. Une opération de symétrie est une action qui déplace une molécule de telle sorte que son apparence générale reste inchangée. Il existe trois principaux types d'opérations de symétrie.

1. Rotation

Cela implique de faire tourner la molécule autour d'un axe imaginaire. Si la molécule conserve la même apparence après la rotation, on dit qu'elle possède une symétrie de rotation. L'élément de symétrie correspondant est un axe de rotation.

2. Réflexion

Cette opération consiste à réfléchir la molécule sur une surface plane imaginaire, comme dans un miroir. Si l'image réfléchie est identique à l'originale, la molécule possède une symétrie de réflexion. L'élément de symétrie correspondant est le plan de symétrie.

3. Inversion

Lors de cette opération, chaque point de la molécule est déplacé, par rapport à un point central, à une distance égale de l'autre côté. Si la molécule reste inchangée après ce processus, elle possède une symétrie d'inversion. L'élément de symétrie correspondant est le centre d'inversion, ou un point.

1. Rotation : Axes de symétrie. Cet axe est généralement noté C_{_n} , où n indique le nombre de fois où la molécule retrouve son apparence initiale lors d'une rotation complète de 360°. L'angle requis pour chaque rotation est de 360°/n. Si une molécule reste inchangée après une rotation de cet angle, on dit qu'elle possède un axe de symétrie d'ordre n. L'opération consistant à faire pivoter la molécule de 360°/n autour de cet axe est appelée une rotation C_{_n} . Par exemple, si une molécule reste inchangée après une rotation de 120°, elle possède un axe C_₃.

Une rotation de 360° laisse une molécule exactement dans la même position qu'avant la rotation. En ce sens, une rotation complète équivaut à une rotation de 0°, c'est-à-dire qu'aucun changement visible ne se produit. En termes de symétrie, l'absence totale de changement est appelée opération identité et est représentée par le symbole E. L'opération identité est présente dans toutes les molécules, quelle que soit leur symétrie, car ne rien effectuer laisse toujours l'objet inchangé. Lorsqu'une molécule subit des rotations successives autour d'un axe de symétrie d'ordre n (C n ), n rotations successives la ramènent à son orientation initiale. Cette relation s'exprime par C n  = E.

2. Réflexions : Plan de symétrie. Ce plan est représenté par le symbole σ (sigma). Il existe différents types de plans de symétrie, selon leur orientation par rapport à la molécule. Le plan vertical (σ_{_v} ) contient l'axe principal de rotation (l'axe d'ordre le plus élevé, soit la plus grande valeur de n). Le plan horizontal (σ_{_h} ) est perpendiculaire à l'axe principal de rotation. Le plan dièdre (σ_{_d} ) est vertical et contient l'axe principal. Il bissecte l'angle formé par deux axes C_₂ perpendiculaires à l'axe principal.

Si une opération de réflexion est appliquée deux fois, la molécule revient à sa position initiale. Ceci s'exprime par σ² ⁼ E

3. Inversion : Centre de symétrie. Cette opération est représentée par le symbole i. L'inversion peut être vue comme une combinaison d'une rotation de 180° suivie d'une réflexion par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe de rotation (σ _h ). Appliquer l'opération d'inversion deux fois ramène la molécule à sa configuration originale : i ² = E.

Des études de neuroimagerie plus récentes ont permis d'identifier les régions cérébrales activées lors de la perception de la symétrie. Sasaki et al. ont utilisé l'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf) pour comparer les réponses à des motifs de points symétriques ou aléatoires. Une forte activité a été observée dans les régions extrastriées du cortex occipital, mais pas dans le cortex visuel primaire. Ces régions extrastriées incluaient les aires V3A, V4, V7 et le complexe occipital latéral (LOC). Des études électrophysiologiques ont mis en évidence une négativité postérieure tardive provenant de ces mêmes aires. De manière générale, une grande partie du système visuel semble impliquée dans le traitement de la symétrie visuelle, et ces aires font intervenir des réseaux similaires à ceux responsables de la détection et de la reconnaissance des objets.

La symétrie est omniprésente en architecture, à toutes les échelles, depuis les vues extérieures d'édifices tels que les cathédrales gothiques et la Maison Blanche , jusqu'à l'agencement des plans d'étage et la conception d'éléments architecturaux individuels comme les mosaïques . Les édifices islamiques, tels que le Taj Mahal et la mosquée Lotfollah, font un usage élaboré de la symétrie, tant dans leur structure que dans leur ornementation. Les édifices mauresques, comme l' Alhambra, sont ornés de motifs complexes réalisés grâce à des symétries de translation, de réflexion et de rotation.

On dit que seuls les mauvais architectes s'appuient sur une « disposition symétrique des blocs, des masses et des structures » ; L'architecture moderniste , à commencer par le style international , s'appuie au contraire sur « les ailes et l'équilibre des masses ».

La symétrie est également utilisée dans la conception de logos. En créant un logo sur une grille et en utilisant la théorie de la symétrie, les concepteurs peuvent organiser leur travail, créer un design symétrique ou asymétrique, déterminer l'espace entre les lettres, déterminer la quantité d'espace négatif nécessaire dans le design et comment accentuer certaines parties du logo pour le faire ressortir.