Racine carrée fonctionnelle

est une fonction telle que .

Notation

Les notations exprimant que est une racine carrée fonctionnelle de sont et , ou plutôt (voir Fonction itérée ), bien que cela laisse l'ambiguïté habituelle avec la prise de la fonction à cette puissance au sens multiplicatif, tout comme f ² = f ∘ f peut être mal interprété comme x ↦ f ( x )².

Histoire

La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle (maintenant connue sous le nom de fonction demi-exponentielle ) a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950, fournissant plus tard la base pour étendre la tétration à des hauteurs non entières en 2017.
Les solutions de sur ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ Ψ par une fonction inversible est également une solution. Autrement dit, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur la droite réelle agit par conjugaison sur le sous-ensemble des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage .

Solutions

Une procédure systématique pour produire des racines fonctionnelles arbitraires de (y compris des valeurs réelles, négatives et infinitésimales ) de fonctions. ${\displaystyle g:\mathbb {C} ightarrow \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>:</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g:\mathbb {C} ightarrow \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ f est autorisé à être suffisamment plus grand que celui de g .

Exemples

est une racine carrée fonctionnelle de .
Une racine carrée fonctionnelle du ${\displaystyle g(x)=T_{n}(x) <mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow><mi>arccos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=\cos {({\sqrt {n}}\arccos(x))}}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}})) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mo>)</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}}))}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle g(x)=x/(2-x) <semantics><mrow><mstyle><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g(x)=x/(2-x)}</annotation></semantics></math><img src=$

[ courbe rouge ]

[ courbe bleue ]

1 / 2 ⁠ ] ( x ) = rin( x ) = qin(qin( x )) [ courbe orange ], bien que ce ne soit pas unique, l'opposé .

1 / 4 ⁠ ] ( x ) = qin( x ) [courbe noire au-dessus de la courbe orange]

[courbe en pointillés]

En utilisant cette extension, on peut montrer que 1 / 2 ⁠ ] ( 1 ) est approximativement égal à 0,90871.

(Voir Pour la notation, voirle 05/12/2022 sur la Wayback Machine .