Théorème de Pythagore

En mathématiques , le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d'un triangle rectangle . Il stipule que l'aire du carré dont le côté est l' hypoténuse (le côté opposé à l' angle droit ) est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

Le théorème peut s'écrire sous la forme d'une équation reliant les longueurs des côtés a et b à l'hypoténuse c , parfois appelée équation de Pythagore : Il porte le nom du philosophe grec Pythagore , né vers 570 av. J.-C. Ce théorème a été démontré de nombreuses fois par diverses méthodes – probablement plus que tout autre théorème mathématique. Les démonstrations sont variées et comprennent des démonstrations géométriques et algébriques , certaines remontant à plusieurs millénaires.

Lorsque l'espace euclidien est représenté par un système de coordonnées cartésiennes en géométrie analytique , la distance euclidienne satisfait la relation pythagoricienne : le carré de la distance entre deux points est égal à la somme des carrés de la différence de chaque coordonnée entre les points.

Le théorème peut être généralisé de diverses manières : aux espaces de dimension supérieure , aux espaces non euclidiens , aux objets qui ne sont pas des triangles rectangles, et aux objets qui ne sont pas du tout des triangles mais des solides à n dimensions .

Des formes du théorème de Pythagore sont apparues dans de nombreuses cultures anciennes, et la date de sa première découverte demeure incertaine, tout comme celle de sa première démonstration. L'histoire du développement de ce théorème comporte de multiples aspects, notamment des calculs relatifs à des triangles rectangles spécifiques, la connaissance des triplets pythagoriciens, la compréhension des relations entre les côtés d'un triangle rectangle et les démonstrations du théorème au sein de certains systèmes déductifs .

Rédigé vers 1800 av. J.-C., le papyrus 6619 de Berlin, datant du Moyen Empire égyptien , contient un problème impliquant deux carrés dont la somme des aires est égale à celle d'un troisième carré. La solution de ce problème est le triplet pythagoricien 6:8:10, mais le problème ne mentionne pas de triangle. Selon Plutarque , écrivant plusieurs siècles plus tard, les anciens Égyptiens connaissaient le triangle rectangle 3:4:5 et identifiaient ses côtés respectivement à Osiris , Isis et Horus .

Les historiens des mathématiques mésopotamiennes ont conclu que le théorème de Pythagore était largement répandu durant la période paléo-babylonienne (du XXe au XVIe siècle av. J.-C.), soit plus de mille ans avant la naissance de Pythagore . La tablette mésopotamienne Plimpton 322 , gravée près de Larsa vers 1800 av . J.-C., contient des entrées pouvant être interprétées comme les côtés et les diagonales de 15 triplets pythagoriciens différents. Une autre tablette de la même époque, YBC 7289 , calcule la diagonale d'un carré, ou, de manière équivalente, d'un triangle rectangle isocèle.

En Inde , le Baudhayana Shulba Sutra , dont les dates sont diversement données entre le VIIIe et le Ve siècle avant J.-C., contient une liste de triplets pythagoriciens et un énoncé du théorème de Pythagore, à la fois dans le cas particulier du triangle rectangle isocèle et dans le cas général, tout comme l' Apastamba Shulba Sutra ( vers 600 avant J.-C. ).

Le philosophe et mathématicien néoplatonicien byzantin Proclus , écrivant au Ve siècle apr. J.-C., énonce deux règles arithmétiques, « l'une attribuée à Platon , l'autre à Pythagore » , permettant de générer des triplets pythagoriciens particuliers. La règle attribuée à Pythagore ( env. 570 – env. 495 av. J.-C. ) part d'un nombre impair et produit un triplet dont le côté inférieur et l'hypoténuse diffèrent d'une unité ; la règle attribuée à Platon (428/427 ou 424/423 – 348/347 av. J.-C.) part d'un nombre pair et produit un triplet dont le côté inférieur et l'hypoténuse diffèrent de deux unités. Selon Thomas L. Heath (1861-1940), aucune attribution explicite de ce théorème à Pythagore n'existe dans la littérature grecque des cinq siècles qui ont suivi la mort de Pythagore. Cependant, lorsque des auteurs tels que Plutarque et Cicéron ont attribué le théorème à Pythagore, ils l'ont fait d'une manière qui suggère que cette attribution était largement connue et incontestable. Le classiciste Kurt von Fritz a écrit : « Que cette formule soit correctement attribuée à Pythagore en personne ou non… on peut supposer sans risque qu'elle appartient à la toute première période des mathématiques pythagoriciennes . » Vers 300 av. J.-C., dans les Éléments d'Euclide , on trouve la plus ancienne démonstration axiomatique connue du théorème, ainsi que la formule d'Euclide permettant de générer tous les triplets pythagoriciens primitifs .

Le Zhoubi Suanjing (周髀算经), texte chinois datant du Ier siècle avant J.-C., dont le contenu est connu depuis bien plus longtemps, fournit une explication du théorème de Pythagore pour le triangle (3, 4, 5) – appelé en Chine « théorème de Gougu » (勾股定理). Sous la dynastie Han ( 202 avant J.-C. à 220 après J.-C.), les triplets pythagoriciens apparaissent dans les Neuf Chapitres sur l'art mathématique , où il est fait mention des triangles rectangles. Certains pensent que le théorème est apparu pour la première fois en Chine au XIe siècle avant J.-C., où il est également connu sous le nom de « théorème de Shang Gao » (商高定理), du nom de l' astronome et mathématicien du duc de Zhou , dont le raisonnement a constitué la majeure partie du Zhoubi Suanjing .

Dans une démonstration par réarrangement, on utilise deux carrés dont les côtés mesurent a et b, et qui contiennent quatre triangles rectangles de côtés a , b et c , l'hypoténuse mesurant c . Dans le carré de droite, les triangles sont placés de sorte que ses sommets correspondent aux sommets des angles droits des triangles, formant ainsi un carré central de côté c . Chaque carré extérieur a une aire de ( a + b ) ^² ainsi que de 2ab + c² , 2ab ^{représentant} l'aire totale des quatre triangles. À l'intérieur du grand carré de gauche, les quatre triangles sont déplacés pour former deux rectangles semblables de côtés a et b . Ces rectangles , dans leur nouvelle position , délimitent alors deux nouveaux carrés : un carré de côté a dans le coin inférieur gauche et un carré de côté b dans le coin supérieur droit. Dans cette nouvelle position, le côté gauche comprend désormais un carré d'aire ( a + b ) ^² ainsi que 2ab + a² + b² ^. Puisque les deux carrés ont une aire de ( a + b ) ^², il s'ensuit que leurs autres mesures d'aire sont également égales, de sorte que ^2ab + ^{c² = 2ab + a²} + b² . En soustrayant l' aire des quatre ^triangles des deux côtés de , il reste a² ⁺ b² = ^{c² . [} ]

^{Dans une autre démonstration ,} les rectangles du second carré peuvent également être placés de telle sorte que leurs coins correspondent à des coins consécutifs du carré. De cette manière, ils forment également deux carrés, cette fois-ci dans des coins consécutifs, d'aires a² ^et b² , ce ^qui conduit à nouveau à un second carré d' aire 2ab + a² + b² ^.

Le mathématicien anglais Sir Thomas Heath présente cette démonstration dans son commentaire de la proposition I.47 des Éléments d'Euclide et mentionne les hypothèses des mathématiciens allemands Carl Anton Bretschneider et Hermann Hankel selon lesquelles Pythagore aurait pu connaître cette démonstration. Heath lui-même privilégie une autre proposition de démonstration pythagoricienne, mais reconnaît d'emblée que « la littérature grecque qui nous est parvenue et qui date des cinq premiers siècles après Pythagore ne contient aucune mention de cette découverte géométrique majeure, ni d'aucune autre, qui lui soit attribuée » . Des travaux récents ont mis en doute de plus en plus le rôle de Pythagore en tant que créateur des mathématiques, bien que le débat à ce sujet persiste

Le théorème peut être démontré algébriquement à l'aide de quatre copies d'un même triangle disposées symétriquement autour d'un carré de côté c , comme illustré dans la partie inférieure du schéma. On obtient ainsi un carré plus grand, de côté a + b et d'aire ( a + b ) ² . Les quatre triangles et le côté c du carré ont nécessairement la même aire que le carré ainsi formé, ce qui donne

Une démonstration similaire utilise quatre copies d'un triangle rectangle de côtés a , b et c , disposées à l'intérieur d'un carré de côté c, comme dans la moitié supérieure du diagramme. Les triangles sont semblables et leur aire est égale à ⁠1/2Le petit carré a un côté de longueur b − a et une aire de ( b − a ) ² . ^L' aire du grand carré est donc

Mais il s'agit d'un carré de côté c et d'aire c² , ^donc

Ce théorème possède peut-être plus de preuves connues que tout autre (la loi de réciprocité quadratique étant un autre candidat à cette distinction) ; le livre La proposition pythagoricienne contient 370 preuves.

Cette démonstration repose sur la proportionnalité des côtés de trois triangles semblables , c'est-à-dire sur le fait que le rapport de deux côtés correspondants quelconques de triangles semblables est le même quelle que soit la taille des triangles.

Soit ABC un triangle rectangle dont l' angle droit est situé en C , comme illustré sur la figure. Traçons la hauteur issue de C et notons H son intersection avec le côté AB . Le point H divise la longueur de l'hypoténuse c en deux segments d et e . Le nouveau triangle, ACH , est semblable au triangle ABC , car ils possèdent tous deux un angle droit (par définition de la hauteur) et partagent l'angle en A , ce qui signifie que le troisième angle, noté θ sur la figure, est également identique dans les deux triangles. Par un raisonnement analogue, le triangle CBH est aussi semblable à ABC . La démonstration de la similitude des triangles repose sur le postulat du triangle : la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits, ce qui est équivalent au postulat des parallèles . La similitude des triangles implique l'égalité des rapports des côtés correspondants.

Le premier résultat égalise les cosinus des angles θ , tandis que le second résultat égalise leurs sinus .

Ces rapports peuvent s'écrire sous la forme : La somme de ces deux égalités donne : qui, après simplification, démontre le théorème de Pythagore :

Le rôle de cette démonstration dans l'histoire fait l'objet de nombreuses spéculations. La question sous-jacente est de savoir pourquoi Euclide n'a pas utilisé cette démonstration, mais en a inventé une autre. Une conjecture est que la démonstration par les triangles semblables impliquait une théorie des proportions, un sujet qui n'est abordé que plus tard dans les Éléments , et que la théorie des proportions nécessitait alors un développement plus approfondi.

Dans une démonstration par dissection, parfois attribuée à Albert Einstein , il n'est pas nécessaire de déplacer les pièces. La dissection consiste à abaisser la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit du triangle sur l'hypoténuse, divisant ainsi le triangle en deux parties. Ces deux parties ont la même forme que le triangle rectangle initial, leurs hypoténuses étant les côtés de l'angle droit, et la somme de leurs aires est égale à celle du triangle initial. Comme le rapport de l'aire d'un triangle rectangle au carré de son hypoténuse est le même pour les triangles semblables, la relation entre les aires des trois triangles s'applique également aux carrés des côtés du grand triangle. Autrement dit, puisque l'aire du triangle initial est la somme des aires des deux triangles plus petits, et puisque la mise à l'échelle d'un triangle modifie son aire d'un facteur égal au carré du facteur d'échelle , le carré de l'hypoténuse initiale est égal à la somme des carrés des hypoténuses des triangles plus petits.

Voici, en résumé, comment se déroule la démonstration d' Euclide dans les Éléments (Proposition 47 du Livre I). Le grand carré est divisé en deux rectangles, gauche et droit. On construit un triangle rectangle dont l'aire est la moitié de celle du rectangle gauche. Puis, on construit un autre triangle rectangle dont l'aire est la moitié de celle du carré adjacent au côté gauche. Ces deux triangles sont congruents , ce qui prouve que le carré formé a la même aire que le rectangle gauche. On poursuit ce raisonnement de manière similaire avec le rectangle droit et le carré restant. En assemblant les deux rectangles pour reformer le carré de l'hypoténuse, son aire est égale à la somme des aires des deux autres carrés. Les détails suivent.

Soient A , B et C les sommets d'un triangle rectangle, l'angle A étant droit . Abaissons la perpendiculaire abaissée de A sur le côté opposé à l'hypoténuse du carré construit sur l'hypoténuse. Cette perpendiculaire divise le carré construit sur l'hypoténuse en deux rectangles, chacun ayant la même aire que l'un des deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit.

Pour la démonstration formelle, nous avons besoin de quatre lemmes élémentaires :

1. Si deux triangles ont deux côtés de l'un égaux à deux côtés de l'autre, chacun à l'autre, et les angles compris par ces côtés égaux, alors les triangles sont congruents ( côté-angle-côté ).
2. L'aire d'un triangle est égale à la moitié de l'aire de tout parallélogramme ayant la même base et la même hauteur.
3. L'aire d'un rectangle est égale au produit de deux côtés adjacents.
4. L'aire d'un carré est égale au produit de deux de ses côtés (découle de 3).

Ensuite, chaque carré supérieur est lié à un triangle congruent avec un autre triangle lié à son tour à l'un des deux rectangles constituant le carré inférieur.

La preuve est la suivante :

1. Soit ACB un triangle rectangle avec l'angle droit CAB .
2. Sur chacun des côtés BC , AB et CA , on trace successivement les carrés CBDE , BAGF et ACIH . La construction de ces carrés requiert les théorèmes d'Euclide qui précèdent immédiatement et repose sur le postulat des parallèles.
3. À partir de A , tracez une ligne parallèle à BD et CE . Elle coupera perpendiculairement BC et DE respectivement en K et L.
4. Joignez CF et AD pour former les triangles BCF et BDA .
5. Les angles CAB et BAG sont tous deux des angles droits ; par conséquent , C , A et G sont colinéaires .
6. Les angles CBD et FBA sont tous deux des angles droits ; par conséquent, l'angle ABD est égal à l'angle FBC , puisque les deux sont la somme d'un angle droit et de l'angle ABC .
7. Puisque AB est égal à FB , BD est égal à BC et l'angle ABD est égal à l'angle FBC , le triangle ABD doit être congruent au triangle FBC .
8. Puisque A - K - L est une droite parallèle à BD , alors le rectangle BDLK a une aire deux fois supérieure à celle du triangle ABD car ils partagent la base BD et ont la même hauteur BK , c'est-à-dire une droite normale à leur base commune, reliant les droites parallèles BD et AL . (lemme 2)
9. Puisque C est colinéaire avec A et G , et que cette ligne est parallèle à FB , alors le carré BAGF doit avoir une aire deux fois supérieure à celle du triangle FBC .
10. Par conséquent, le rectangle BDLK doit avoir la même aire que le carré BAGF = AB ² .
11. En appliquant les étapes 3 à 10 à l'autre côté de la figure, on peut montrer de la même manière que le rectangle CKLE doit avoir la même aire que le carré ACIH = AC ² .
12. ^En additionnant ces deux résultats , AB² + AC² = BD × BK + KL ^× KC
13. Puisque BD = KL , BD × BK + KL × KC = BD ( BK + KC ) = BD × BC
14. Par conséquent, AB ² + AC ² = BC ² , puisque CBDE est un carré ( BD × BC = BC ² ) .

Cette démonstration, qui figure dans les Éléments d'Euclide sous le nom de Proposition 47 du Livre 1, montre que l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des deux autres carrés. Elle diffère nettement de la démonstration par similitude des triangles, que l'on suppose être celle utilisée par Pythagore.

Une autre méthode de réarrangement est illustrée par l'animation du milieu. Un grand carré d'aire c² est formé à partir de quatre triangles rectangles identiques de côtés a , b et c , disposés autour d'un petit carré central. Ensuite ^, deux rectangles de côtés a et b sont formés par déplacement des triangles. La combinaison du petit carré avec ces rectangles produit deux carrés d'aires a² et ^{b² , qui doivent avoir la même} aire que le grand carré initial.

La troisième image, la plus à droite, en apporte également la preuve. Les deux carrés supérieurs sont divisés, comme indiqué par les zones bleues et vertes, en morceaux qui, une fois réorganisés, peuvent s'insérer dans le carré inférieur sur l'hypoténuse ; inversement, le grand carré peut être divisé, comme illustré, en morceaux qui remplissent les deux autres. Cette méthode de découpe d'une figure en morceaux et de leur réarrangement pour en obtenir une autre est appelée dissection . Ceci démontre que l'aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux plus petits.

Comme le montre l'animation ci-jointe, les transformations de cisaillement et de translation préservant l'aire permettent de transformer les carrés adjacents à l'angle droit en un carré situé sur l'hypoténuse, la recouvrant ainsi parfaitement. Chaque cisaillement conserve la base et la hauteur, et donc l'aire. Les translations, quant à elles, ne modifient pas l'aire, car elles ne changent pas la forme des carrés. Chaque carré est d'abord transformé en parallélogramme, puis en un rectangle qui peut être translaté sur une portion du carré situé sur l'hypoténuse.

Une démonstration similaire, réalisée par le président américain James A. Garfield, a été publiée avant son élection à la présidence, alors qu'il était représentant des États-Unis . Au lieu d'un carré, elle utilise un trapèze , que l'on peut construire à partir du carré de la seconde démonstration mentionnée ci-dessus en le divisant en deux le long d'une diagonale du carré intérieur, ce qui donne le trapèze illustré dans le schéma. L' aire du trapèze est égale à la moitié de l'aire du carré.

Le carré intérieur est divisé en deux de la même manière, et il n'y a que deux triangles, donc la preuve se déroule comme ci-dessus à l'exception d'un facteur de ⁠ ⁠ , qui est supprimé en multipliant par deux pour donner le résultat.

On peut parvenir au théorème de Pythagore en étudiant comment les changements d'un côté produisent un changement dans l'hypoténuse et en utilisant le calcul .

Le triangle ABC est rectangle, comme illustré dans la partie supérieure du schéma, BC étant son hypoténuse. Les longueurs des côtés du triangle sont mesurées comme indiqué, l'hypoténuse mesurant y , le côté AC mesurant x et le côté AB mesurant a , comme on peut le voir dans la partie inférieure du schéma.

Si x augmente d'une petite quantité dx en prolongeant légèrement le côté AC jusqu'à D , alors y augmente également de dy . Ces deux valeurs forment deux côtés d'un triangle, CDE , qui (avec E choisi de sorte que CE soit perpendiculaire à l'hypoténuse) est un triangle rectangle approximativement semblable à ABC . Par conséquent, les rapports de leurs côtés sont égaux, c'est-à-dire : y = dy/dx. Ceci peut se réécrire sous la forme y dy = x/ dx , ce qui est une équation différentielle qui peut être résolue par intégration directe : y = dy/dx. La constante peut être déduite de x = 0 et y = a pour obtenir l'équation y = dy/ dx. Il s'agit d'une démonstration plus intuitive que formelle ; elle peut être rendue plus rigoureuse en utilisant des bornes appropriées à la place de dx et dy .

La réciproque du théorème est également vraie :

Étant donné un triangle dont les côtés ont pour longueur ^{a ,} b et c , si a² + b² = c² , ^alors l'angle entre les côtés a et b est un angle droit .

Pour tous trois nombres réels positifs a , b et c tels que a² ⁺ b² = ^c² , il existe un triangle avec des côtés a , b et c ^comme conséquence de la réciproque de l'inégalité triangulaire .

Cette réciproque apparaît dans les Éléments d'Euclide (Livre I, Proposition 48) : « Si dans un triangle le carré de l'un des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle, alors l'angle contenu par les deux autres côtés du triangle est droit. »

Cela peut être démontré en utilisant la loi des cosinus ou comme suit :

Soit ABC un triangle dont les côtés mesurent a , b et c , avec a² + b² = ^{c² .} Construisons un second triangle dont les côtés mesurent a et b ^et qui possède un angle droit. D'après le théorème de Pythagore, l'hypoténuse de ce triangle a la même longueur que celle du premier triangle. Puisque les côtés des deux triangles ont les mêmes longueurs a , b et c , les triangles sont congruents et leurs angles sont égaux. Par conséquent, l'angle formé par les côtés de longueur a et b dans le triangle initial est droit.

La démonstration ci-dessus de la réciproque utilise le théorème de Pythagore lui-même. La réciproque peut également être démontrée sans supposer le théorème de Pythagore.

Un corollaire de la réciproque du théorème de Pythagore est un moyen simple de déterminer si un triangle est rectangle, obtus ou aigu, comme suit. Soit c le plus long des trois côtés et a + b > c (sinon, il n'y a pas de triangle selon l' inégalité triangulaire ). Les affirmations suivantes s'appliquent :

• Si a ² + b ² = c ² , alors le triangle est rectangle .
• Si a ² + b ² > c ² , alors le triangle est aigu .
• Si a ² + b ² < c ² , alors le triangle est obtus .

Edsger W. Dijkstra a énoncé cette proposition à propos des triangles aigus, rectangles et obtus dans ce langage : où α est l'angle opposé au côté a , β est l'angle opposé au côté b , γ est l'angle opposé au côté c , et sgn est la fonction signe .

Un triplet pythagoricien est composé de trois entiers positifs a , b et c tels que a² + b² = ^{c² .} Autrement dit, un triplet pythagoricien représente les longueurs des côtés d'un triangle rectangle dont les trois côtés ont des longueurs entières. ^[ tel triplet est généralement noté ( a , b , c ) . Parmi les exemples courants, on peut citer (3, 4, 5) et (5, 12, 13) .

Un triplet pythagoricien primitif est un triplet dans lequel a , b et c sont premiers entre eux (le plus grand commun diviseur de a , b et c est 1).

Voici une liste de triplets pythagoriciens primitifs dont les valeurs sont inférieures à 100 :

Il existe de nombreuses formules pour générer des triplets pythagoriciens . Parmi celles-ci, la formule d'Euclide est la plus connue : étant donnés des entiers positifs quelconques m et n , la formule stipule que les entiers forment un triplet pythagoricien.

Étant donné un triangle rectangle de côtés a et b et de hauteur d (une droite issue de l'angle droit et perpendiculaire à l' hypoténuse c ), le théorème de Pythagore s'écrit : . Le théorème de Pythagore inverse relie les deux côtés de l'angle ^droit a et b à la hauteur d . L'équation peut être transformée en : [57 ^] où x² + y² = ^z² pour tous réels non nuls x, y et z . Si a, b et d sont des entiers , la plus petite solution a > b > d est alors obtenue en utilisant le plus petit triplet pythagoricien 3, 4, 5. Le théorème de Pythagore réciproque est un cas particulier de l' équation optique lorsque les dénominateurs sont des carrés, et également valable pour un triangle heptagonal dont les côtés p, q et r sont des carrés.

L'une des conséquences du théorème de Pythagore est que l' on peut construire, à l'aide d'une règle et d'un compas , des segments de droite dont les longueurs sont incommensurables (c'est-à-dire dont le rapport n'est pas un nombre rationnel ) . Le théorème de Pythagore permet cette construction car l'hypoténuse d'un triangle est liée à ses côtés par la racine carrée .

La figure de droite illustre la construction de segments dont les longueurs sont proportionnelles à la racine carrée d'un entier positif quelconque. Chaque triangle possède un côté (noté « 1 ») qui sert d'unité de mesure. Dans chaque triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet d'exprimer la longueur de l'hypoténuse en fonction de cette unité. Si l'hypoténuse est liée à l'unité par la racine carrée d'un entier positif qui n'est pas un carré parfait, il s'agit d'une réalisation d'une longueur incommensurable avec l'unité, telle que . Pour plus de détails , voir la section sur les nombres irrationnels quadratiques .

Les longueurs incommensurables étaient en contradiction avec la conception pythagoricienne des nombres, qui les réduisait à l'ensemble des nombres entiers. L'école pythagoricienne traitait les proportions par comparaison de multiples entiers d'une sous-unité commune. Selon une légende, Hippase de Métaponte ( vers 470 av. J.-C. ) se serait noyé en mer pour avoir révélé l'existence de l'irrationnel ou de l'incommensurable. Kurt von Fritz a consacré une analyse approfondie aux contributions d'Hippase.

Pour tout nombre complexe, la valeur absolue ou module est donnée par : . Ainsi, les trois quantités r , x et y sont liées par l'équation de Pythagore : . Notez que r est défini comme un nombre positif ou nul, tandis que x et y peuvent être négatifs ou positifs. Géométriquement, r est la distance de z à zéro ou à l'origine O dans le plan complexe .

On peut généraliser ce résultat pour calculer la distance entre deux points, par exemple z₁ et z₂ . La distance recherchée est donnée par une formule qui _{, à nouveau, relie ces points} par une version du théorème de Pythagore.

La formule de distance en coordonnées cartésiennes est dérivée du théorème de Pythagore. Si ( x ₁ , y ₁ ) et ( x ₂ , y ₂ ) sont des points du plan, alors la distance entre eux, également appelée distance euclidienne , est donnée par

Plus généralement, dans l'espace euclidien à n dimensions , la distance euclidienne entre deux points, et , est définie, par généralisation du théorème de Pythagore, comme suit :

Si, au lieu de la distance euclidienne, on utilise le carré de cette valeur (la distance euclidienne au carré , ou SED), l'équation résultante évite les racines carrées et est simplement une somme des SED des coordonnées :

La forme au carré est une fonction lisse et convexe des deux points, et est largement utilisée dans la théorie de l'optimisation et les statistiques , formant la base des moindres carrés .

Si l'on n'utilise pas les coordonnées cartésiennes, par exemple si l'on utilise les coordonnées polaires en deux dimensions ou, plus généralement, les coordonnées curvilignes , les formules exprimant la distance euclidienne sont plus complexes que le théorème de Pythagore, mais peuvent en être dérivées. On trouve un exemple typique de conversion de la distance en ligne droite entre deux points en coordonnées curvilignes dans les applications des polynômes de Legendre en physique . Les formules peuvent être obtenues en utilisant le théorème de Pythagore avec les équations reliant les coordonnées curvilignes aux coordonnées cartésiennes. Par exemple, les coordonnées polaires ( r , θ ) peuvent être introduites comme suit :

Deux _points de positions ( r1 _, θ1 ₎ et ( r2 _, θ2 ) sont alors séparés par une distance s :

Δθ = π /2, et l'on retrouve la forme correspondant au théorème de Pythagore : Le théorème de Pythagore, valable pour les triangles rectangles, est donc un cas particulier de la loi des cosinus plus générale, valable pour tous les triangles .

Dans un triangle rectangle de côtés a et b et d'hypoténuse c , la trigonométrie détermine le sinus et le cosinus de l'angle θ entre le côté a et l'hypoténuse comme suit :

Il en découle que la dernière étape applique le théorème de Pythagore. Cette relation entre le sinus et le cosinus est parfois appelée identité trigonométrique pythagoricienne fondamentale. Dans les triangles semblables, les rapports des côtés sont identiques quelle que soit la taille du triangle et dépendent des angles. Par conséquent, sur la figure, le triangle dont l'hypoténuse mesure l'unité a un côté opposé de longueur sin θ et un côté adjacent de longueur cos θ, exprimés en unités de l'hypoténuse.

Le théorème de Pythagore relie le produit vectoriel et le produit scalaire de manière similaire :

Cela ressort des définitions du produit vectoriel et du produit scalaire, où n est un vecteur unitaire normal à la fois à a et à b . La relation découle de ces définitions et de l'identité trigonométrique pythagoricienne.

On peut également utiliser cette méthode pour définir le produit vectoriel. En réarrangeant les termes, on obtient l'équation suivante.

Cela peut être considéré comme une condition sur le produit vectoriel et donc comme faisant partie de sa définition, par exemple en sept dimensions .

Si l'on admet que les quatre premiers axiomes de la géométrie euclidienne sont vrais, alors le théorème de Pythagore est équivalent au cinquième. Autrement dit, le cinquième postulat d'Euclide implique le théorème de Pythagore et réciproquement.

Le théorème de Pythagore se généralise au-delà des aires des carrés à trois côtés à toutes les figures semblables . Il était connu d' Hippocrate de Chios au Ve siècle avant J.-C., et a été inclus par Euclide dans ses Éléments :

Si l'on construit des figures semblables (voir géométrie euclidienne ) avec des côtés correspondants sur les côtés d'un triangle rectangle, alors la somme des aires des figures situées sur les deux côtés les plus petits est égale à l'aire de celle située sur le côté le plus grand.

Cette extension suppose que les côtés du triangle initial sont les côtés correspondants des trois figures congruentes (donc les rapports communs des côtés des figures semblables sont a : b : c ). Alors que la démonstration d'Euclide ne s'appliquait qu'aux polygones convexes, le théorème s'applique également aux polygones concaves et même aux figures semblables à contours courbes (mais dont une partie du contour est toujours un côté du triangle initial).

L'idée de base de cette généralisation est que l'aire d'une figure plane est proportionnelle au carré de n'importe quelle dimension linéaire, et en particulier au carré de la longueur de n'importe quel côté. Ainsi, si l'on construit des figures semblables d'aires A , B et C sur des côtés de longueurs respectives a , b et c, alors :

Mais, d'après le théorème de Pythagore, a ² + b ² = c ² , donc A + B = C .

Réciproquement, si l'on peut démontrer que A + B = C pour trois figures semblables sans utiliser le théorème de Pythagore, on peut remonter à la démonstration du théorème. Par exemple, le triangle central initial peut être reproduit et utilisé comme triangle C sur son hypoténuse, et deux triangles rectangles semblables ( A et B ) peuvent être construits sur les deux autres côtés, obtenus en divisant le triangle central par sa hauteur . La somme des aires des deux plus petits triangles est donc égale à celle du troisième, d'où A + B = C. En inversant ce raisonnement, on retrouve le théorème de Pythagore : a² + b² = c² . ( Voir aussi ^la section « Démonstration par dissection et mise à l'échelle ^» ) ^.

Le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème plus général reliant les longueurs des côtés de n'importe quel triangle, la loi des cosinus, qui stipule que où est l'angle entre les côtés et ⁠ ⁠ .

Lorsque est en radians ou à 90°, alors ⁠ ⁠ , et la formule se réduit au théorème de Pythagore habituel.

Pour tout angle choisi d'un triangle quelconque de côtés a , b et c , inscrivez un triangle isocèle tel que les angles égaux à sa base θ soient égaux à l'angle choisi. Supposons que l'angle θ choisi soit opposé au côté c . L'inscription du triangle isocèle forme le triangle CAD, dont l'angle θ est opposé au côté b et dont le côté r est parallèle à c . Un deuxième triangle est formé, dont l'angle θ est opposé au côté a et dont le côté de longueur s est parallèle à c , comme illustré sur la figure. Thābit ibn Qurra a établi la relation entre les côtés des trois triangles : Lorsque l'angle θ tend vers π /2, la base du triangle isocèle se rétrécit et les longueurs r et s se chevauchent de moins en moins. Lorsque θ = π /2 , ADB devient un triangle rectangle, r + s = c , et le théorème de Pythagore initial est retrouvé.

Une démonstration observe que le triangle ABC a les mêmes angles que le triangle CAD , mais dans l'ordre inverse. (Les deux triangles partagent l'angle au sommet A , contiennent tous deux l'angle θ et ont donc le même troisième angle d'après le postulat du triangle .) Par conséquent, ABC est semblable au symétrique de CAD , le triangle DAC représenté sur la figure inférieure. En prenant le rapport des côtés opposés à θ et adjacents à θ , on obtient : De même, pour le symétrique de l'autre triangle, on obtient : En éliminant les fractions et en additionnant ces deux relations, on obtient le résultat souhaité.

Le théorème reste valable si l'angle θ est obtus, de sorte que les longueurs r et s ne se chevauchent pas.

Le théorème de Pappus est une généralisation qui s'applique aux triangles non rectangles, en remplaçant les carrés par des parallélogrammes sur les trois côtés (les carrés étant un cas particulier). La figure supérieure montre que, pour un triangle scalène, l'aire du parallélogramme sur le côté le plus long est égale à la somme des aires des parallélogrammes sur les deux autres côtés, à condition que ce parallélogramme soit construit comme indiqué (les dimensions indiquées par les flèches sont identiques et déterminent les côtés du parallélogramme inférieur). Ce remplacement des carrés par des parallélogrammes rappelle fortement le théorème de Pythagore et fut considéré comme une généralisation par Pappus d'Alexandrie en 4 ap. J.-C.

La figure du bas illustre les éléments de la démonstration. Concentrons-nous sur la partie gauche. Le parallélogramme vert de gauche a la même aire que la partie bleue gauche du parallélogramme du bas, car ils ont la même base b et la même hauteur h . Cependant, le parallélogramme vert de gauche a également la même aire que le parallélogramme vert de gauche de la figure du haut, car ils ont la même base (le côté supérieur gauche du triangle) et la même hauteur perpendiculaire à ce côté. En appliquant le même raisonnement à la partie droite, on constate que le parallélogramme du bas a la même aire que la somme des aires des deux parallélogrammes verts.

Le théorème de Ptolémée énonce que lorsqu'un quadrilatère est inscriptible dans un cercle (c'est-à-dire lorsqu'il s'agit d'un quadrilatère cyclique ), le produit des longueurs de deux côtés opposés l'un à l'autre est égal au produit des longueurs des diagonales. Ce théorème se réduit au théorème de Pythagore lorsque le quadrilatère est un rectangle. Le théorème de Ptolémée permet également de démontrer la loi des cosinus.

En géométrie dans l'espace , le théorème de Pythagore s'applique aux trois dimensions comme suit. Considérons le parallélépipède rectangle représenté sur la figure. La longueur de la diagonale AC de sa face se calcule à partir du théorème de Pythagore :

où ces trois côtés forment un triangle rectangle. En utilisant la diagonale AC et le côté horizontal CD , la longueur de la diagonale AD du segment se trouve alors par une seconde application du théorème de Pythagore : ou, en une seule étape :

Ce résultat est l'expression tridimensionnelle de la magnitude d'un vecteur v (la diagonale AD ) en fonction de ses composantes orthogonales { v _k } (les trois côtés mutuellement perpendiculaires) :

Cette formulation en une seule étape peut être vue comme une généralisation du théorème de Pythagore aux dimensions supérieures. Cependant, ce résultat n'est en réalité que l'application répétée du théorème de Pythagore original à une succession de triangles rectangles dans une suite de plans orthogonaux.

Une généralisation importante du théorème de Pythagore à trois dimensions est le théorème de de Gua , du nom de Jean Paul de Gua de Malves : si un tétraèdre possède un angle droit (comme un angle d’un cube ), alors le carré de l’aire de la face opposée à cet angle droit est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces. Ce résultat peut être généralisé comme dans le « théorème de Pythagore à n dimensions » :

Soient des vecteurs orthogonaux dans R ⁿ . Considérons le simplexe S de dimension n avec sommets ⁠ ⁠ . (Considérons le simplexe de dimension ( n − 1) avec sommets n'incluant pas l'origine comme l'« hypoténuse » de S et les faces restantes de dimension ( n − 1) de S comme ses « côtés ».) Alors le carré du volume de l'hypoténuse de S est la somme des carrés des volumes des n côtés.

Cette affirmation est illustrée en trois dimensions par le tétraèdre de la figure. L'« hypoténuse » est la base du tétraèdre, située à l'arrière de la figure, et les « côtés » sont les trois arêtes issues du sommet, au premier plan. Lorsque la profondeur de la base par rapport au sommet augmente, l'aire des « côtés » augmente également, tandis que celle de la base reste constante. Le théorème suggère que lorsque cette profondeur atteint la valeur créant un sommet droit, la généralisation du théorème de Pythagore s'applique. Autrement dit :

Étant donné un simplexe n -rectangulaire n -dimensionnel, le carré du contenu ( n − 1) de la facette opposée au sommet droit sera égal à la somme des carrés des contenus ( n − 1) des facettes restantes.

Le théorème de Pythagore peut être généralisé aux espaces préhilbertiens , qui sont des généralisations des espaces euclidiens bidimensionnels et tridimensionnels classiques . Par exemple, une fonction peut être considérée comme un vecteur à une infinité de composantes dans un espace préhilbertien, comme en analyse fonctionnelle .

Dans un espace préhilbertien, la notion de perpendicularité est remplacée par celle d' orthogonalité : deux vecteurs v et w sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire est une généralisation du produit scalaire de vecteurs. Le produit scalaire est appelé produit scalaire standard ou produit scalaire euclidien . Cependant, d'autres produits scalaires sont possibles.

Le concept de longueur est remplacé par le concept de norme ‖ v ‖ d'un vecteur v , défini comme :

Dans un espace préhilbertien, le théorème de Pythagore s'énonce que pour deux vecteurs orthogonaux quelconques v et w, on a : [formule mathématique]. Ici, les vecteurs v et w sont analogues aux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la somme vectorielle v + w . Cette formulation du théorème de Pythagore découle des propriétés du produit scalaire : [formule mathématique], où [formule mathématique] est la somme vectorielle des vecteurs orthogonaux.

Une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace produit intérieur aux vecteurs non orthogonaux est la loi du parallélogramme :

qui affirme que le double de la somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales. Toute norme qui satisfait cette égalité est ipso facto une norme correspondant à un produit scalaire.

L'identité pythagoricienne peut être étendue aux sommes de plus de deux vecteurs orthogonaux. Si v ₁ , v ₂ , ..., v _n sont des vecteurs deux à deux orthogonaux dans un espace préhilbertien, alors l'application du théorème de Pythagore aux paires successives de ces vecteurs (comme décrit pour les 3 dimensions dans la section sur la géométrie solide ) donne l'équation

Une autre généralisation du théorème de Pythagore s'applique aux ensembles d'objets mesurables au sens de Lebesgue en un nombre quelconque de dimensions. Plus précisément, le carré de la mesure d'un ensemble d'objets de dimension m dans un ou plusieurs plans parallèles de dimension m dans l'espace euclidien de dimension n est égal à la somme des carrés des mesures des projections orthogonales de l'objet (des objets) sur tous les sous-espaces de coordonnées de dimension m .

En termes mathématiques : où :

• m dimensions (une longueur dans une dimension, une aire dans deux dimensions, un volume dans trois dimensions, etc.).
• est un ensemble d'un ou plusieurs objets m- dimensionnels non superposés dans un ou plusieurs plans m- dimensionnels parallèles dans l'espace euclidien n -dimensionnel.
• à m dimensions.
• m -dimensionnelle de l'ensemble original sur un sous-espace de coordonnées orthogonal.
• m- dimensionnel sur le sous-espace de coordonnées m- dimensionnel i . Étant donné que les projections d'objets peuvent se chevaucher sur un sous-espace de coordonnées, la mesure de chaque projection d'objet dans l'ensemble doit être calculée individuellement, puis les mesures de toutes les projections doivent être additionnées pour fournir la mesure totale de l'ensemble des projections sur le sous-espace de coordonnées donné.
• à m dimensions dans l'espace à n dimensions ( R ⁿ ) sur lesquels les objets à m dimensions sont projetés ( m ≤ n ) :

Le théorème de Pythagore découle des axiomes de la géométrie euclidienne . En effet, si le théorème de Pythagore n'était pas vérifié pour un triangle rectangle, alors le plan contenant ce triangle ne peut être euclidien. Plus précisément, le théorème de Pythagore implique, et est impliqué par, le cinquième postulat d'Euclide . Ainsi, les triangles rectangles dans une géométrie non euclidienne ne satisfont pas le théorème de Pythagore. Par exemple, en géométrie sphérique , les trois côtés ( a , b et c ) du triangle rectangle délimitant un octant de la sphère unité ont une longueur égale à π /2, et tous ses angles sont droits, ce qui contredit le théorème de Pythagore ^car a² + b² = ^2c² > ^{c² .}

Deux cas de géométrie non euclidienne sont ici considérés : la géométrie sphérique et la géométrie plane hyperbolique ; dans chaque cas, comme dans le cas euclidien des triangles non rectangles, le résultat remplaçant le théorème de Pythagore découle de la loi des cosinus appropriée.

Cependant, le théorème de Pythagore reste vrai en géométrie hyperbolique et en géométrie elliptique si la condition que le triangle soit rectangle est remplacée par la condition que deux des angles aient pour somme le troisième, par exemple A + B = C. Les côtés sont alors liés comme suit : la somme des aires des cercles de diamètres a et b est égale à l'aire du cercle de diamètre c .

Pour tout triangle rectangle sur une sphère de rayon R (par exemple, si γ dans la figure est un angle droit), avec des côtés a , b et c , la relation entre les côtés prend la forme :

Cette équation peut être dérivée comme un cas particulier de la loi sphérique des cosinus qui s'applique à tous les triangles sphériques :

Pour les triangles infinitésimaux sur la sphère (ou, de manière équivalente, pour les triangles sphériques finis sur une sphère de rayon infini), la relation sphérique entre les côtés d'un triangle rectangle se réduit à la forme euclidienne du théorème de Pythagore. Pour le démontrer, considérons un triangle sphérique de côtés de longueurs fixes a , b et c sur une sphère de rayon R croissant . Lorsque R tend vers l'infini, les quantités a / R , b / R et c / R tendent vers zéro et l'identité pythagoricienne sphérique se réduit à {{{1}}} , d'où l'intérêt d'étudier son développement asymptotique .

Le développement en série de Maclaurin de la fonction cosinus peut s'écrire sous la forme suivante, avec le terme de reste en notation grand O. Soit un côté du triangle, et en traitant l'expression comme un développement asymptotique en fonction de R pour un c fixé ,

et de même pour a et b . En substituant le développement asymptotique de chaque cosinus dans la relation sphérique d'un triangle rectangle, on obtient :

En soustrayant 1 puis en inversant le signe de chaque côté,

En multipliant par 2R² , le développement asymptotique de c en fonction de ^a et b fixés et de R variable est

La relation pythagoricienne euclidienne est retrouvée à la limite, car le reste s'annule lorsque le rayon R tend vers l'infini.

Pour les calculs pratiques en trigonométrie sphérique avec de petits triangles rectangles, les cosinus peuvent être remplacés par des sinus grâce à l'identité de l'angle double afin de ne pas perdre de signification . Le théorème de Pythagore sphérique peut alors s'écrire de manière alternative comme suit :

Dans un espace hyperbolique à courbure gaussienne uniforme −1/ R ² , pour un triangle rectangle avec des côtés a , b , et une hypoténuse c , la relation entre les côtés prend la forme :

où cosh est le cosinus hyperbolique . Cette formule est une forme particulière de la loi hyperbolique des cosinus qui s'applique à tous les triangles hyperboliques : avec γ l'angle au sommet opposé au côté c .

En utilisant la série de Maclaurin pour le cosinus hyperbolique, cosh x ≈ 1 + x ² /2 , on peut montrer que lorsqu'un triangle hyperbolique devient très petit (c'est-à-dire lorsque a , b , et c tendent tous vers zéro), la relation hyperbolique pour un triangle rectangle se rapproche de la forme du théorème de Pythagore.

Pour les petits triangles rectangles ( a , b ≪ R ) , les cosinus hyperboliques peuvent être éliminés pour éviter toute perte de signification , ce qui donne

Pour toute courbure uniforme K (positive, nulle ou négative), dans les très petits triangles rectangles ( | K | a ² , | K | b ² ≪ 1 ) d'hypoténuse c , on peut montrer que

Le théorème de Pythagore s'applique aux triangles infinitésimaux rencontrés en géométrie différentielle . Dans l'espace tridimensionnel, la distance entre deux points infinitésimalement séparés satisfait à la relation suivante :

avec ds l'élément de distance et ( dx , dy , dz ) les composantes du vecteur séparant les deux points. Un tel espace est appelé espace euclidien . Cependant, en géométrie riemannienne , une généralisation de cette expression utile pour les coordonnées générales (pas seulement cartésiennes) et les espaces généraux (pas seulement euclidiens) prend la forme :

qui est appelé le tenseur métrique . Il peut être fonction de la position et décrit souvent un espace courbe . Un exemple simple est l'espace euclidien (plat) exprimé en coordonnées curvilignes . Par exemple, en coordonnées polaires :