Aléatoire statistique

Une séquence numérique est dite statistiquement aléatoire lorsqu'elle ne contient aucun modèle ou régularité reconnaissable ; des séquences telles que les résultats d'un lancer de dés idéal ou les chiffres de π présentent un caractère statistiquement aléatoire.

Le caractère aléatoire statistique n'implique pas nécessairement un caractère aléatoire « véritable », c'est-à-dire une imprévisibilité objective . Le caractère pseudo-aléatoire est suffisant pour de nombreuses utilisations, notamment en statistique, d'où le nom de caractère aléatoire statistique .

Le caractère aléatoire global et le caractère aléatoire local sont deux notions différentes. La plupart des conceptions philosophiques du caractère aléatoire sont globales, car elles reposent sur l’idée qu’à long terme, une séquence semble vraiment aléatoire, même si certaines sous-séquences ne le sont pas . Dans une séquence de nombres suffisamment longue et vraiment aléatoire, par exemple, il est probable qu’il y ait de longues séquences ne contenant que des nombres qui se répètent, même si dans l’ensemble la séquence peut être aléatoire. Le caractère aléatoire local renvoie à l’idée qu’il peut exister des longueurs de séquence minimales dans lesquelles les distributions aléatoires sont approximées. De longues séquences de nombres identiques, même celles générées par des processus vraiment aléatoires, diminueraient le caractère aléatoire local d’un échantillon (il pourrait n’être localement aléatoire que pour des séquences de 10 000 nombres ; prendre des séquences de moins de 1 000 nombres pourrait ne pas sembler aléatoire du tout, par exemple).

Une séquence présentant un motif ne prouve pas pour autant qu'elle n'est pas statistiquement aléatoire. Selon les principes de la théorie de Ramsey , les objets suffisamment grands doivent nécessairement contenir une sous-structure donnée (« un désordre complet est impossible »).

La législation concernant les jeux de hasard impose certaines normes de caractère aléatoire statistique aux machines à sous .

Les premiers tests de nombres aléatoires ont été publiés par MG Kendall et Bernard Babington Smith dans le Journal of the Royal Statistical Society en 1938. Ils s'appuyaient sur des outils statistiques tels que le test du chi carré de Pearson , qui ont été développés pour distinguer si les phénomènes expérimentaux correspondaient à leurs probabilités théoriques. Pearson a développé son test à l'origine en montrant qu'un certain nombre d'expériences de dés menées par WFR Weldon ne présentaient pas de comportement « aléatoire ».

Les quatre tests originaux de Kendall et Smith étaient des tests d'hypothèse , qui prenaient comme hypothèse nulle l'idée que chaque nombre dans une séquence aléatoire donnée avait une chance égale de se produire, et que divers autres modèles dans les données devaient également être distribués de manière équiprobable.

• Le test de fréquence était très basique : il s'assurait qu'il y avait à peu près le même nombre de 0, de 1, de 2, de 3, etc.
• Le test sériel a fait la même chose mais pour des séquences de deux chiffres à la fois (00, 01, 02, etc.), en comparant leurs fréquences observées avec leurs prédictions hypothétiques si elles étaient également distribuées.
• Le test de poker , testé pour certaines séquences de cinq numéros à la fois (AAAAA, AAAAB, AAABB, etc.) en fonction des mains du jeu de poker .
• Le test d'écart a examiné les distances entre les zéros (00 serait une distance de 0, 030 serait une distance de 1, 02250 serait une distance de 3, etc.).

Si une séquence donnée réussissait tous ces tests dans un certain degré de signification (généralement 5 %), elle était alors jugée comme étant, selon leurs termes, « localement aléatoire ». Kendall et Smith ont fait la différence entre le « caractère aléatoire local » et le « caractère aléatoire réel » en ce sens que de nombreuses séquences générées avec des méthodes véritablement aléatoires pourraient ne pas présenter de « caractère aléatoire local » à un degré donné : de très grandes séquences pourraient contenir de nombreuses lignes d'un seul chiffre. Cela pourrait être « aléatoire » à l'échelle de la séquence entière, mais dans un bloc plus petit, ce ne serait pas « aléatoire » (cela ne passerait pas leurs tests) et serait inutile pour un certain nombre d'applications statistiques.

Les jeux de nombres aléatoires devenant de plus en plus courants, de plus en plus de tests, de plus en plus sophistiqués, ont été utilisés. Certains tests modernes tracent des chiffres aléatoires sous forme de points sur un plan tridimensionnel, qui peut ensuite être tourné pour rechercher des motifs cachés. En 1995, le statisticien George Marsaglia a créé un ensemble de tests connus sous le nom de tests diehard , qu'il distribue avec un CD-ROM de 5 milliards de nombres pseudo-aléatoires . En 2015, Yongge Wang a distribué un progiciel Java pour les tests de hasard basés sur la distance statistique.

Les générateurs de nombres pseudo-aléatoires nécessitent des tests pour vérifier exclusivement leur « caractère aléatoire », car ils ne sont pas produits par des processus « véritablement aléatoires », mais plutôt par des algorithmes déterministes. Au cours de l'histoire de la génération de nombres aléatoires, de nombreuses sources de nombres considérées comme « aléatoires » lors des tests se sont révélées très peu aléatoires lorsqu'elles ont été soumises à certains types de tests. La notion de nombres quasi-aléatoires a été développée pour contourner certains de ces problèmes, bien que les générateurs de nombres pseudo-aléatoires soient encore largement utilisés dans de nombreuses applications (même celles connues pour être extrêmement « non aléatoires »), car ils sont « suffisamment bons » pour la plupart des applications.

Autres tests :

• Le test Monobit traite chaque bit de sortie du générateur de nombres aléatoires comme un test de pile ou face et détermine si le nombre observé de faces et de piles est proche de la fréquence attendue de 50 %. Le nombre de faces dans une série de lancers de pièces forme une distribution binomiale .
• Le modèle Wald-Wolfowitz exécute des tests pour le nombre de transitions de bits entre 0 et 1 bit, en comparant les fréquences observées avec la fréquence attendue d'une séquence de bits aléatoire.
• Entropie de l'information
• Test d'autocorrélation
• Test de Kolmogorov-Smirnov
• Test de randomisation basé sur la distance statistique. Yongge Wang a montré que les normes de test NIST SP800-22 ne sont pas suffisantes pour détecter certaines faiblesses dans les générateurs de randomisation et a proposé un test de randomisation basé sur la distance statistique.
• Estimation de la densité spectrale - l'exécution d'une transformée de Fourier sur un signal « aléatoire » le transforme en une somme de fonctions périodiques afin de détecter des tendances répétitives non aléatoires
• Test statistique universel de Maurer
• Les tests Diehard