Worldlex Wiki En mathématiques , une équation linéaire est une équation qui peut s'écrire sous la forme où les variables (ou inconnues ) sont les a et les b les coefficients , qui sont souvent des nombres réels . Les coefficients peuvent être considérés comme les paramètres de l'équation et peuvent être des expressions quelconques , à condition qu'ils ne contiennent aucune des variables. Pour que l'équation ait un sens, les coefficients doivent être tous non nuls.
Alternativement, une équation linéaire peut être obtenue en annulant un polynôme linéaire sur un certain corps , dont les coefficients sont extraits.
Les solutions d'une telle équation sont les valeurs qui, lorsqu'elles sont substituées aux inconnues, rendent l'égalité vraie.
Dans le cas d'une seule variable, il existe une solution unique (à condition que ). Souvent, le terme « équation linéaire » se réfère implicitement à ce cas particulier, où la variable est logiquement appelée l' inconnue .
Dans le cas d'une équation à deux inconnues, chaque solution peut être interprétée comme les coordonnées cartésiennes d'un point du plan euclidien . Les solutions d'une équation linéaire forment une droite dans le plan euclidien et, réciproquement, toute droite peut être vue comme l'ensemble de toutes les solutions d'une équation linéaire à deux inconnues. C'est l'origine du terme « linéaire » pour décrire ce type d'équation. Plus généralement, les solutions d'une équation linéaire à hyperplan (un sous-espace de dimension espace euclidien de dimension physique et en ingénierie , notamment parce que les systèmes non linéaires sont souvent bien approchés par des équations linéaires.
Cet article traite du cas d'une équation linéaire à coefficients réels , dont on étudie les solutions réelles. Son contenu s'applique également aux solutions complexes et, plus généralement, aux équations linéaires à coefficients et solutions quelconques . Pour le cas de plusieurs équations linéaires simultanées, voir l'article « système d'équations linéaires » .
Deux variables
Une équation linéaire à deux variables
Interprétation géométrique
Équation d'une droite
Il existe différentes manières de définir une droite. Dans les sous-sections suivantes, l'équation linéaire de la droite est donnée dans chaque cas.
Forme pente-ordonnée à l'origine ou forme gradient-ordonnée à l'origine
Une droite non verticale peut être définie par sa pente
Forme point-pente ou forme point-gradient
Une droite non verticale peut être définie par sa pente
ou
Cette équation peut également s'écrire
pour souligner que la pente d'une droite peut être calculée à partir des coordonnées de deux points quelconques.
Formulaire d'interception
Une droite qui n'est pas parallèle à un axe et qui ne passe pas par l'origine coupe cet axe en deux points distincts. Les valeurs x₀ et y₀ à l'origine
Forme déterminante
L'équation d'une droite sous forme à deux points peut être exprimée simplement à l'aide d'un déterminant . Il existe deux méthodes courantes pour cela.
L'équation est le résultat du développement du déterminant dans l'équation
L'équation peut être obtenue en développant par rapport à sa première ligne le déterminant de l'équation
En plus d'être très simple et mnémotechnique, cette forme a l'avantage d'être un cas particulier de l'équation plus générale d'un hyperplan passant par dépendance linéaire des points dans un espace projectif .
Plus de deux variables
On peut toujours supposer qu'une équation linéaire à plus de deux variables a la forme suivante :
Le coefficient
Une solution d'une telle équation est un coordonnées cartésiennes des points d'un hyperplan à espace euclidien un espace affine si les coefficients sont des nombres complexes ou appartiennent à un corps quelconque). Dans le cas de trois variables, cet hyperplan est un plan .
Si une équation linéaire est donnée avec