entier algébrique

théorie algébrique des nombres , un entier algébrique est un nombre complexe entier sur l' ensemble des entiers . Autrement dit, un entier algébrique est une racine complexe d'un polynôme unitaire (un polynôme dont le coefficient dominant est 1) à coefficients entiers. L'ensemble des entiers algébriques, noté

sous-anneau commutatif de l'ensemble des nombres complexes. L' anneau des entiers d'un corps de nombres intersection de ordre maximal du corps si et seulement si l'anneau est de type fini comme groupe abélien, c'est-à-dire comme un -module . corps de nombres (c'est-à-dire une extension finie de , le corps des nombres rationnels), autrement dit, pour un certain nombre algébrique, d'après le théorème de l'élément primitif . minimal de sous-module nontel que éléments entiers d'une extension d'anneau. En particulier, un entier algébrique est un élément entier d'une extension finie . Notons que si polynôme primitif à coefficients entiers mais non unitaire, et si irréductible sur , alors aucune de ses racines des nombres algébriques ). Ici, « primitif » signifie que le plus grand commun diviseur des coefficients de ne divise racine carrée d'un entier non négatif irrationnelle à moins que carré parfait . Si entier sans facteur carré, extension est un corps quadratique de nombres rationnels. L'anneau des entiers algébriques mod terme constant Entier quadratiquepour plus d'informations. L'anneau des entiers du corps , sans cube ) , a la base intégrale suivante , en écrivant premiers entre eux sans carré Si primitive de l'unité , alors l'anneau des entiers du corps cyclotomique est précisément . Si extension d'anneau (au sens où elle est équivalente à l'extension de corps) des entiers par de type fini si et seulement si fait correspondant concernant les nombres algébriques, avec le remplacement de là par ici, et la notion de degré d'extension de corps remplacée par génération finie (en utilisant le fait que est lui-même de génération finie) ; le seul changement requis est que seules les puissances non négatives de

Anneau

La somme, la différence et le produit de deux entiers algébriques sont des entiers algébriques. En général, leur quotient ne l'est pas. Ainsi, les entiers algébriques forment un anneau .

On peut démontrer cela de manière analogue à la démonstration correspondante pour les nombres algébriques , en utilisant les entiers au lieu des rationnels .

On peut également construire explicitement le polynôme unitaire en jeu, généralement de degré supérieur à celui des entiers algébriques initiaux, en prenant les résultants et en factorisant. Par exemple, si $idéal engendré par ses deux polynômes d'entrée.)$

Fermeture intégrale

Toute racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers algébriques est elle-même un entier algébrique. Autrement dit, l'anneau des entiers algébriques est intégralement clos dans toute extension de cet anneau.

Là encore, la démonstration est analogue à la démonstration correspondante du fait que les nombres algébriques sont algébriquement clos .

Informations complémentaires

Tout nombre constructible à partir des entiers munis de racines, d'additions et de multiplications est un entier algébrique ; mais tous les entiers algébriques ne sont pas constructibles : au sens naïf, la plupart des racines des quintiques irréductibles ne le sont pas. C'est le théorème d'Abel-Ruffini .
L'anneau des entiers algébriques est un anneau de Bézout , comme conséquence du théorème principal des idéaux .
Si le polynôme unitaire associé à un entier algébrique a un terme constant de 1 ou −1, alors l' inverse de cet entier algébrique est également un entier algébrique, et chacun est une unité , un élément du groupe des unités de l'anneau des entiers algébriques.
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