Avion Benz

En mathématiques , un plan de Benz est un type de structure géométrique bidimensionnelle , nommée d'après le mathématicien allemand Walter Benz . Le terme a été appliqué à un groupe d'objets qui résultent d'une axiomatisation commune de certaines structures et qui se divisent en trois familles, introduites séparément : les plans de Möbius , les plans de Laguerre et les plans de Minkowski .

Plan de Möbius

{\displaystyle \infty </span referrerpolicy=

Définie comme appartenant à chaque ligne, chaque bloc est déterminé par exactement trois points, et l'intersection de deux blocs quelconques suit un motif uniforme (intersection en deux points, tangence ou non-intersection). Cette géométrie homogène est appelée géométrie inversive classique ou plan de Möbius. L'inhomogénéité de la description (lignes, cercles, nouveau point) peut être considérée comme non substantielle à l'aide d'un modèle tridimensionnel. Par projection stéréographique , le plan de Möbius classique s'avère isomorphe à la géométrie des sections planes (cercles) d'une sphère dans l'espace euclidien tridimensionnel.

Par analogie avec le plan projectif (axiomatique) , un plan de Möbius (axiomatique) définit une structure d'incidence. Des plans de Möbius peuvent être construits de la même manière sur des corps autres que celui des nombres réels.

Plan de Laguerre

{ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2 </span referrerpolicy=

et en prenant les courbes avec des équations

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>un</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}</annotation></semantics></math></span><img src=

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{\displaystyle (\infty ,a) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>un</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\infty ,a)}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle (\mathbb {R} \cup {\infty }) imes \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>∪</mo><mrow><mi>∞</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\mathbb {R} \cup {\infty }) imes \mathbb {R} }</annotation></semantics></math></span><img src=

Concernant le plan de Möbius, il existe un modèle tridimensionnel : la géométrie des sections planes elliptiques sur un cylindre orthogonal (dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3 <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation></semantics></math></span><img src=$

Avion Minkowski

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2 </span referrerpolicy=

et en fusionnant les lignes

{\displaystyle y=mx+d,m eq 0 <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y=mx+d,m eq 0}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle y={ frac {a}{x-b}}+c,a eq 0 <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi><mo>=</mo><mrow><mstyle><mfrac><mi>un</mi><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>b</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>un</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y={ frac {a}{xb}}+c,a eq 0}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle (\infty ,\infty ) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>∞</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle (infty, infty)}</annotation></semantics></math></span><img src=

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{\displaystyle (b,\infty ),(\infty ,c) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>∞</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mo>(</mo><mi>∞</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle (b, infty), (infty, c)}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{\infty \})^{2 <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>∪</mo><mo>{</mo><mi>∞</mi><mo>}</mo><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{\infty \})^{2}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Par analogie avec les plans de Möbius et de Laguerre classiques, il existe un modèle tridimensionnel : le plan de Minkowski classique est isomorphe à la géométrie des sections planes d'un hyperboloïde à une nappe (quadrique non dégénérée d'indice 2) dans l'espace projectif tridimensionnel. De même que dans les deux premiers cas, on obtient le plan de Minkowski (axiomatique).

Géométries circulaires planes ou plans de Benz

En raison du rôle essentiel du cercle (considéré comme la conique non dégénérée dans un plan projectif ) et de la description plane des modèles originaux, les trois types de géométries sont subsumés sous le terme de géométries circulaires planes ou, en l'honneur de Walter Benz, qui a considéré ces structures géométriques d'un point de vue commun, de plans de Benz.