Carte bidirectionnelle

En informatique , une carte bidirectionnelle est une structure de données associative dans laquelle les paires forment une correspondance bidirectionnelle . Ainsi, la relation binaire est fonctionnelle dans chaque direction : chacune peut également être mappée vers une unique . Une paire fournit ainsi un couplage unique entre et de sorte qu'il peut être trouvé lorsque est utilisé comme clé et peut être trouvé lorsque est utilisé comme clé. ${\displaystyle (key,value) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mi>et</mi> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mi>un</mi> <mi>l</mi> <mi>toi</mi> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (clé,valeur)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle value <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mi>un</mi> <mi>l</mi> <mi>toi</mi> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle valeur}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle key <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mi>et</mi> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ ouche displaystyle}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (a,b) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Mathématiquement, une carte bidirectionnelle peut être définie comme une bijection entre deux ensembles de clés différents et de cardinalité égale , constituant ainsi une fonction injective et surjective : ${\displaystyle f:X o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:X\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle {\begin{cases}&\forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\\&\forall y\in Y,\exists x\in X:y=f(x)\end{cases}}\Rightarrow \exists f^{-1}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>⇒</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>∀</mi> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> <mo>⇒</mo> <mi>∃</mi> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{cas}&\forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\\&\forall y\in Y,\existe x\in X:y=f(x)\end{cas}}\Rightarrow \existe f^{-1}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$