Bitangente

En géométrie , une bitangente à une courbe C est une droite L qui touche C en deux points distincts P et Q et qui a la même direction que C en ces points . Autrement dit, L est une droite tangente en P et en Q.

En général, une courbe algébrique aura une infinité de lignes sécantes , mais seulement un nombre fini de bitangentes.

Le théorème de Bézout implique qu'une courbe plane algébrique avec une bitangente doit avoir un degré au moins égal à 4. Le cas des 28 bitangentes d'une quartique fut un morceau de géométrie célèbre du XIXe siècle, une relation étant montrée avec les 27 lignes de la surface cubique .

Les quatre bitangentes de deux polygones convexes disjoints peuvent être trouvées efficacement par un algorithme basé sur la recherche binaire dans lequel on maintient un pointeur de recherche binaire dans les listes d'arêtes de chaque polygone et on déplace l'un des pointeurs vers la gauche ou vers la droite à chaque étape en fonction de l'endroit où les lignes tangentes aux arêtes des deux pointeurs se croisent. Ce calcul de bitangente est une sous-routine clé dans les structures de données pour maintenir dynamiquement les enveloppes convexes (Overmars & van Leeuwen 1981). Pocchiola et Vegter (1996a, 1996b) décrivent un algorithme permettant de lister efficacement tous les segments de ligne bitangente qui ne croisent aucune des autres courbes d'un système de multiples courbes convexes disjointes, en utilisant une technique basée sur la pseudotriangulation .

Les bitangentes peuvent être utilisées pour accélérer l' approche du graphe de visibilité pour résoudre le problème du plus court chemin euclidien : le plus court chemin parmi un ensemble d'obstacles polygonaux ne peut entrer ou sortir de la limite d'un obstacle que le long d'une de ses bitangentes, de sorte que le plus court chemin peut être trouvé en appliquant l'algorithme de Dijkstra à un sous-graphe du graphe de visibilité formé par les arêtes de visibilité qui se trouvent sur des lignes bitangentes (Rohnert 1986).

Une bitangente diffère d'une droite sécante en ce qu'une droite sécante peut croiser la courbe aux deux points qu'elle coupe. On peut aussi considérer des bitangentes qui ne sont pas des droites ; par exemple, l' ensemble de symétrie d'une courbe est le lieu des centres des cercles qui sont tangents à la courbe en deux points.

Les bitangentes aux paires de cercles occupent une place importante dans la construction des cercles de Malfatti par Jakob Steiner en 1826 , dans le problème de la courroie consistant à calculer la longueur d'une courroie reliant deux poulies, dans le théorème de Casey caractérisant les ensembles de quatre cercles avec un cercle tangent commun, et dans le théorème de Monge sur la colinéarité des points d'intersection de certaines bitangentes.

• Overmars, MH ; van Leeuwen, J. (1981), « Maintenance des configurations dans le plan », Journal of Computer and System Sciences , 23 (2) : 166–204, doi :10.1016/0022-0000(81)90012-X, hdl : 1874/15899.
• Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996a), "Le complexe de visibilité", Revue internationale de géométrie computationnelle et applications , 6 (3): 297–308, doi :10.1142/S0218195996000204, Version préliminaire dans Ninth ACM Symposium on Computational Geometry (1993) 328–337]., archivé à partir de l'original le 2006-12-03 .
• Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996b), « Complexes de visibilité topologiquement balayants via des pseudotriangulations », Discrete and Computational Geometry , 16 (4) : 419–453, doi : 10.1007/BF02712876.
• Rohnert, H. (1986), « Chemins les plus courts dans le plan avec obstacles polygonaux convexes », Information Processing Letters , 23 (2) : 71–76, doi :10.1016/0020-0190(86)90045-1.