Article de reference

Fonction Carmichael

En théorie des nombres , une branche des mathématiques , la fonction de Carmichael est le plus petit entier positif un m ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}} C...

Worldlex WikiFrancaisLecture gratuite

En théorie des nombres , une branche des mathématiques , la fonction de Carmichael est le plus petit entier positif

{\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cette propriété est valable pour tout entier . En termes algébriques, . Comme il s'agit d'un groupe abélien fini , il existe nécessairement un élément dont l'ordre est égal à l'exposant modulo de Carmichael : d’Euler ) est est la fonction indicatrice d'Euler . Puisque l'ordre d'un élément d'un groupe fini divise l'ordre du groupe, A002322 dans l' OEIS ) et pour lesquelles elles sont différentes sont listées dans la de l' OEIS ) .

Exemples numériques

L'ensemble des nombres inférieurs à 5 et premiers avec 5 est ${\displaystyle a^{1} ot \equiv 1{\pmod {5 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>≢</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{1} ot \equiv 1{\pmod {5}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a\equiv 1{\pmod {5 <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\equiv 1{\pmod {5}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 2^{2}\equiv 3^{2}\equiv 4 ot \equiv 1{\pmod {5 <semantics><mrow><mstyle><msup><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>3</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>4</mn><mo>≢</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2^{2}\equiv 3^{2}\equiv 4 ot \equiv 1{\pmod {5}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1^{4}\equiv 2^{4}\equiv 3^{4}\equiv 4^{4}\equiv 1{\pmod {5 <semantics><mrow><mstyle><msup><mn>1</mn><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>3</mn><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>4</mn><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1^{4}\equiv 2^{4}\equiv 3^{4}\equiv 4^{4}\equiv 1{\pmod {5}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1^{2}\equiv 3^{2}\equiv 5^{2}\equiv 7^{2}\equiv 1{\pmod {8 <semantics><mrow><mstyle><msup><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>3</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>5</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>7</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mn>8</mn><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1^{2}\equiv 3^{2}\equiv 5^{2}\equiv 7^{2}\equiv 1{\pmod {8}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La fonction lambda de Carmichael d'une puissance première peut être exprimée en fonction de l'indicatrice d'Euler. Tout nombre différent de 1 et d'une puissance première peut s'écrire de manière unique comme le produit de puissances premières distinctes, auquel cas des facteurs de puissance première. Plus précisément,

${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\varphi (n)&{ ext{if }}n{ ext{ is 1, 2, 4, or an odd prime power,}}\\{ frac {1}{2}}\varphi (n)&{ ext{if }}n=2^{r},\ r\geq 3,\\\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda (n_{1}),\lambda (n_{2}),\ldots ,\lambda (n_{k}){\Bigr )}&{ ext{if }}n=n_{1}n_{2}\ldots n_{k}{ ext{ where }}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}{ ext{ are powers of distinct primes.}}\end{cases <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>n</mi><mrow><mtext> est 1, 2, 4 ou une puissance première impaire,</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>r</mi><mo>≥</mo><mn>3</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>lcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mrow><mtext> où </mtext></mrow><msub><mi>n</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mrow><mtext> sont des puissances de nombres premiers distincts.</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\varphi (n)&{ ext{si }}n{ ext{ est 1, 2, 4 ou une puissance d'un nombre premier impair,}}\\{ frac {1}{2}}\varphi (n)&{ ext{si }}n=2^{r},\ r\geq 3,\\\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda (n_{1}),\lambda (n_{2}),\ldots ,\lambda (n_{k}){\Bigr )}&{ ext{si }}n=n_{1}n_{2}\ldots n_{k}{ ext{ où }}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}{ ext{ sont des puissances de nombres premiers distincts.}}\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$

L'indicatrice d'Euler pour une puissance d'un nombre premier, c'est-à-dire un nombre avec premier et

${\displaystyle \varphi (p^{r}){=}p^{r-1}(p-1). <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi><mo>(</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mrow><mo>=</mo></mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi (p^{r}){=}p^{r-1}(p-1).}</annotation></semantics></math><img src=$

Les théorèmes de Carmichael

tel que ${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n </span referrerpolicy=$ pour tout .

Théorème 1 — Si a est premier avec n , alors ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Cela implique que l'ordre de tout élément du groupe multiplicatif des entiers modulo pour lequel ${\displaystyle a^{\lambda (n) </span referrerpolicy=$ La plus petite puissance d' ) est une racine primitive λ modulo n . (À ne pas confondre avec une racine primitive modulo ${\displaystyle \varphi </span referrerpolicy=$ -racine modulo

Théorème 2 — Pour tout entier positif n, il existe une racine primitive λ modulo n . De plus, si g est une telle racine, alors il existe ${\displaystyle \varphi (\lambda (n)) <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle varphi (lambda (n))}</annotation></semantics></math><img src=$ racines λ primitives qui sont congruentes aux puissances de g .

Si -racines primitives garanties par le théorème, alors ${\displaystyle g^{m}\equiv 1{\pmod {n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>g</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle g^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La seconde affirmation du théorème 2 n'implique pas que toutes les racines primitives soient congruentes à des puissances d'une seule racine ${\displaystyle \varphi (n)=8 <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>8</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varphi (n)=8}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varphi (\lambda (n))=2 <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle varphi (lambda (n)) = 2}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1\equiv 2^{4}\equiv 8^{4}\equiv 7^{4}\equiv 13^{4 </span referrerpolicy=$ Les racines 2 et 8 sont congruentes à des puissances l'une de l'autre, et les racines 7 et 13 sont congruentes à des puissances l'une de l'autre, mais ni 7 ni 13 n'est congruente à une puissance de 2 ou de 8, et réciproquement. Les quatre autres éléments du groupe multiplicatif modulo 15, à savoir 1 et 4 (qui satisfait ${\displaystyle 4\equiv 2^{2}\equiv 8^{2}\equiv 7^{2}\equiv 13^{2 <semantics><mrow><mstyle><mn>4</mn><mo>≡</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>8</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>7</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mn>13</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 4\equiv 2^{2}\equiv 8^{2}\equiv 7^{2}\equiv 13^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \lambda (n)=\varphi (n)=6 <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>6</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle lambda (n) = varphi (n) = 6}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varphi (\lambda (n))=2 <semantics><mrow><mstyle><mi>φ</mi><mo>(</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle varphi (lambda (n)) = 2}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varphi </span referrerpolicy=$ -racines modulo 9.

Propriétés de la fonction de Carmichael

Dans cette section, un entier ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle m <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n=km <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mi>m</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=km}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle m\mid n. <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi><mo>∣</mo><mi>n</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m\mid n.}</annotation></semantics></math><img src=$

Une conséquence de la minimalité de

Supposons pour tous les nombres . Alors .

Démonstration : Si avec

${\displaystyle a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\lambda (n)} ight)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod {n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mn>1</mn><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>⋅</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>⋅</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>r</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\lambda (n)} ight)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}</annotation></semantics></math><img src=$

pour tous les nombres . Il s'ensuit que puisque nombres premiers avec

divise

Cela découle de la théorie élémentaire des groupes , car l'exposant de tout groupe fini divise nécessairement son ordre. tandis que

On peut donc considérer le théorème de Carmichael comme un perfectionnement du théorème d'Euler .

Divisibilité

${\displaystyle a\,|\,b\Rightarrow \lambda (a)\,|\,\lambda (b) <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>b</mi><mo>⇒</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,|\,b\Rightarrow \lambda (a)\,|\,\lambda (b)}</annotation></semantics></math><img src=$

Preuve.

Par définition, pour tout entier ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gcd(k,b)=1 <semantics><mrow><mstyle><mo>pgcd</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gcd(k,b)=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gcd(k,a)=1 <semantics><mrow><mstyle><mo>pgcd</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gcd(k,a)=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle b\,|\,(k^{\lambda (b)}-1) <semantics><mrow><mstyle><mi>b</mi><mspace></mspace><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><msup><mi>k</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle b\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a\,|\,(k^{\lambda (b)}-1) <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mspace></mspace><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><msup><mi>k</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k^{\lambda (b)}\equiv 1{\pmod {a <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>k</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>un</mi><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k^{\lambda (b)}\equiv 1{\pmod {a}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \lambda (a)\,|\,\lambda (b) <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda (a)\,|\,\lambda (b)}</annotation></semantics></math><img src=$

Composition

Pour tous entiers positifs , on a :

${\displaystyle \lambda (\mathrm {lcm} (a,b))=\mathrm {lcm} (\lambda (a),\lambda (b)) <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>l</mi><mi>c</mi><mi>m</mi></mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mi>l</mi><mi>c</mi><mi>m</mi></mrow><mo>(</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle lambda (mathrm {lcm} (a, b)) = mathrm {lcm} (lambda (a), lambda (b))}</annotation></semantics></math><img src=$

Il s'agit d'une conséquence immédiate de la récurrence de la fonction de Carmichael.

Longueur du cycle exponentiel

Si ${\displaystyle r_{\mathrm {max} }=\max _{i}\{r_{i}\ <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>r</mi><mrow><mrow><mi>m</mi><mi>un</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mo>max</mo><mrow><mi>je</mi></mrow></munder><mo>{</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r_{\mathrm {max} }=\max _{i}\{r_{i}\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><msubsup><mi>p</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle a^{r}\equiv a^{\lambda (n)+r}{\pmod {n}}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>r</mi></mrow></msup><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{r}\equiv a^{\lambda (n)+r}{\pmod {n}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

En particulier, pour ), pour tout ${\displaystyle a\equiv a^{\lambda (n)+1}{\pmod {n}}. </span referrerpolicy=$

Valeur moyenne

Pour tout

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)={\frac {n}{\ln n}}e^{B(1+o(1))\ln \ln n/(\ln \ln \ln n) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></munder><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>je</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi></mrow></mfrac></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>B</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>o</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>)</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>(</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)={\frac {n}{\ln n}}e^{B(1+o(1))\ln \ln n/(\ln \ln \ln n)}}</annotation></semantics></math><img src=$

(appelée approximation d'Erdős dans la suite) avec la constante

${\displaystyle B:=e^{-\gamma }\prod _{p\in \mathbb {P} }\left({1-{\frac {1}{(p-1)^{2}(p+1)}}} ight)\approx 0.34537 <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mo>:=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>γ</mi></mrow></msup><munder><mo>∏</mo><mrow><mi>p</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow></munder><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>≈</mo><mn>0,34537</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B:=e^{-\gamma }\prod _{p\in \mathbb {P} }\left({1-{\frac {1}{(p-1)^{2}(p+1)}}} ight)\approx 0.34537}</annotation></semantics></math><img src=$

Le tableau suivant donne un aperçu des 67 108 863 valeurs de la plus facilement accessibles est donné:= ln λ ( n ) / ln n avec

4 / 5 ⁠ ⇔ λ ( n ) > n ^⁠⁴^/⁵^⁠ .

Là, l'entrée du tableau se trouve à la ligne numéro 26, à la colonne

% LoL > 4 / 5 → 60,49

indique que 60,49 % (≈40 000 000 ) des entiers 67 108 863 ont ce qui signifie que la majorité des de la longueur l'entrée ${\displaystyle \left(2^{\frac {4}{5}} ight)^{l}=2^{\frac {4l}{5}}=\left(2^{l} ight)^{\frac {4}{5}}=n^{\frac {4}{5}}. </span referrerpolicy=$

Intervalle prédominant

Pour tous les nombres

${\displaystyle \lambda (n)={\frac {n}{(\ln n)^{\ln \ln \ln n+A+o(1) <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mrow><mo>(</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>UN</mi><mo>+</mo><mi>o</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda (n)={\frac {n}{(\ln n)^{\ln \ln \ln n+A+o(1)}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

avec la constante

${\displaystyle A:=-1+\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{(p-1)^{2}}}\approx 0.2269688 <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>:=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>p</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>≈</mo><mn>0,2269688</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A:=-1+\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{(p-1)^{2}}}\approx 0.2269688}</annotation></semantics></math><img src=$

limites inférieures

Pour tout nombre , il y a au plus

${\displaystyle N\exp \left(-0.69(\Delta \ln \Delta )^{\frac {1}{3}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>0,69</mn><mo>(</mo><mi>Δ</mi><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>Δ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N\exp \left(-0.69(\Delta \ln \Delta )^{\frac {1}{3}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

entiers positifs .

Commande minimale

Pour toute suite d'entiers positifs, toute constante , et tout \left(\ln n_{i} ight)^{c\ln \ln \ln n_{i}}.

petites valeurs

Pour une constante positif suffisamment grand , il existe un entier tel que

${\displaystyle \lambda (n)<\left(\ln A ight)^{c\ln \ln \ln A}. <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo><</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>UN</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>UN</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda (n)<\left(\ln A ight)^{c\ln \ln \ln A}.}</annotation></semantics></math><img src=$

De plus, ${\displaystyle n=\mathop {\prod _{q\in \mathbb {P} }} _{(q-1)|m}q </span referrerpolicy=$

pour un certain entier sans carré .

Image de la fonction

L'ensemble des valeurs de la fonction de Carmichael a une fonction de comptage

${\displaystyle {\frac {x}{(\ln x)^{\eta +o(1)}}}, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mi>x</mi><mrow><mo>(</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>η</mi><mo>+</mo><mi>o</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {x}{(\ln x)^{\eta +o(1)}}},}</annotation></semantics></math><img src=$

où

${\displaystyle \eta =1-{\frac {1+\ln \ln 2}{\ln 2}}\approx 0.08607 <semantics><mrow><mstyle><mi>η</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>≈</mo><mn>0,08607</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \eta =1-{\frac {1+\ln \ln 2}{\ln 2}}\approx 0.08607}</annotation></semantics></math><img src=$

Utilisation en cryptographie

La fonction Carmichael est importante en cryptographie en raison de son utilisation dans l' algorithme de chiffrement RSA .

Démonstration du théorème 1

Pour , un nombre premier, le théorème 1 est équivalent au petit théorème de Fermat :

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}p. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mrow><mtext>pour tous </mtext></mrow><mi>un</mi><mrow><mtext> premier avec </mtext></mrow><mi>p</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}p.}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour les puissances premières , , si

${\displaystyle a^{p^{r-1}(p-1)}=1+hp^{r <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>h</mi><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{p^{r-1}(p-1)}=1+hp^{r}}</annotation></semantics></math><img src=$

si cette condition est vérifiée pour un certain entier donne

${\displaystyle a^{p^{r}(p-1)}=1+h'p^{r+1 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{p^{r}(p-1)}=1+h'p^{r+1}}</annotation></semantics></math><img src=$

pour un autre entier ${\displaystyle h' <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h'}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a^{\varphi (p^{r})}\equiv 1{\pmod {p^{r <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>φ</mi><mo>(</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><msup><mi>p</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{\varphi (p^{r})}\equiv 1{\pmod {p^{r}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Amélioration du résultat pour les puissances de deux supérieures

Pour pour un certain entier . Alors,

${\displaystyle a^{2}=1+4h_{2}(h_{2}+1)=1+8{\binom {h_{2}+1}{2}}=:1+8h_{3 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><msub><mi>h</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>h</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>8</mn><mrow><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow><mfrac><mrow><msub><mi>h</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow><mo>=:</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>8</mn><msub><mi>h</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{2}=1+4h_{2}(h_{2}+1)=1+8{\binom {h_{2}+1}{2}}=:1+8h_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ ,

où ${\displaystyle h_{3 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>h</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{3}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle a^{2^{r-2}}=1+2^{r}h_{r}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><msub><mi>h</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{2^{r-2}}=1+2^{r}h_{r}.}</annotation></semantics></math><img src=$

En élevant les deux côtés au carré, on obtient

${\displaystyle a^{2^{r-1}}=\left(1+2^{r}h_{r} ight)^{2}=1+2^{r+1}\left(h_{r}+2^{r-1}h_{r}^{2} ight)=:1+2^{r+1}h_{r+1}, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><msub><mi>h</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>h</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=:</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>h</mi><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{2^{r-1}}=\left(1+2^{r}h_{r} ight)^{2}=1+2^{r+1}\left(h_{r}+2^{r-1}h_{r}^{2} ight)=:1+2^{r+1}h_{r+1},}</annotation></semantics></math><img src=$

où ${\displaystyle h_{r+1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>h</mi><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle h_{r+1}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle a^{2^{r-2}}=a^{{\frac {1}{2}}\varphi (2^{r})}\equiv 1{\pmod {2^{r <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>un</mi><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mi>φ</mi><mo>(</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><msup><mn>2</mn><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{2^{r-2}}=a^{{\frac {1}{2}}\varphi (2^{r})}\equiv 1{\pmod {2^{r}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

pour tous ${\displaystyle r\geq 3 <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mo>≥</mo><mn>3</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r\geq 3}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 2^{r </span referrerpolicy=$ .

Entiers comportant plusieurs facteurs premiers

D'après le théorème de factorisation unique , tout peut s'écrire de manière unique comme

${\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><msubsup><mi>p</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msubsup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}</annotation></semantics></math><img src=$

où des nombres premiers établissent que, pour ${\displaystyle 1\leq j\leq k <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1\leq j\leq k}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle a^{\lambda \left(p_{j}^{r_{j}} ight)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}n{ ext{ and hence to }}p_{i}^{r_{i}}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>λ</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><msubsup><mi>p</mi><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mrow><mtext>pour tous </mtext></mrow><mi>un</mi><mrow><mtext> premier avec </mtext></mrow><mi>n</mi><mrow><mtext> et donc à </mtext></mrow><msubsup><mi>p</mi><mrow><mi>je</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{\lambda \left(p_{j}^{r_{j}} ight)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}n{ ext{ and hence to }}p_{i}^{r_{i}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Il en découle que

${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}n, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><msubsup><mi>p</mi><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mrow><mtext>pour tous </mtext></mrow><mi>un</mi><mrow><mtext> premier avec </mtext></mrow><mi>n</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}n,}</annotation></semantics></math><img src=$

où, comme indiqué par la récurrence,

${\displaystyle \lambda (n)=\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda \left(p_{1}^{r_{1}} ight),\lambda \left(p_{2}^{r_{2}} ight),\ldots ,\lambda \left(p_{k}^{r_{k}} ight){\Bigr )}. <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>lcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>λ</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>λ</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>λ</mi><mrow><mo>(</mo><msubsup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda (n)=\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda \left(p_{1}^{r_{1}} ight),\lambda \left(p_{2}^{r_{2}} ight),\ldots ,\lambda \left(p_{k}^{r_{k}} ight){\Bigr )}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Du théorème des restes chinois, on conclut que

${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}n. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>un</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo>≡</mo><mn>1</mn><mrow><mspace></mspace><mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mrow><mtext>pour tous </mtext></mrow><mi>un</mi><mrow><mtext> premier avec </mtext></mrow><mi>n</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\qquad { ext{for all }}a{ ext{ coprime to }}n.}</annotation></semantics></math><img src=$

Plus d articles de Worldlex Wiki

Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais.
Explorer l index