Worldlex Wiki En arithmétique élémentaire , une retenue est un chiffre transféré d'une colonne à une autre, contenant davantage de chiffres significatifs. Elle fait partie de l' algorithme standard d' addition, qui consiste à additionner des nombres en commençant par les chiffres les plus à droite et en progressant vers la gauche. Par exemple, pour additionner 6 et 7 et obtenir 13, le « 3 » est inscrit dans la même colonne et le « 1 » est reporté à gauche. En soustraction, cette opération est appelée emprunt .
En mathématiques traditionnelles , l'accent est mis sur la retenue , tandis que les programmes basés sur les mathématiques réformées ne mettent pas l'accent sur une méthode spécifique pour trouver la bonne réponse.
La retenue apparaît également à quelques reprises en mathématiques supérieures. En informatique, la retenue est une fonction importante des circuits additionneurs .
arithmétique manuelle
Un exemple typique de report se trouve dans l'addition suivante, réalisée au crayon et sur papier :
1 27 + 59 ---- 86
7 + 9 = 16, et le chiffre 1 est la retenue.
Le contraire est un emprunt , comme dans
−1 47 − 19 ---- 28
Ici, , et le 10 s'obtient en empruntant 1 au chiffre immédiatement à gauche. Il existe deux manières courantes d'enseigner cela :
- On déplace la dizaine du chiffre immédiatement à gauche, ce qui donne dans cet exemple dans la colonne des dizaines.
enseignement des mathématiques
Traditionnellement, la retenue est enseignée lors de l'addition de nombres à plusieurs chiffres en deuxième année ou en fin de première année de primaire. Cependant, depuis la fin du XXe siècle, de nombreux programmes scolaires largement adoptés aux États-Unis, tels que le TERC, ont omis l'enseignement de la méthode traditionnelle de retenue au profit de méthodes Mathematically Correct , et certains États et districts ont depuis abandonné cette pratique, bien qu'elle reste largement utilisée.
Mathématiques supérieures
Le théorème de Kummer stipule que le nombre de retenues nécessaires pour additionner deux nombres en base est égal à 1/2.
Lorsqu'on additionne plusieurs nombres aléatoires à plusieurs chiffres, les statistiques des chiffres de retenue présentent une connexion inattendue avec les nombres eulériens et les statistiques des permutations du mélange à la française .
En algèbre abstraite , l'opération de retenue pour les nombres à deux chiffres peut être formalisée à l'aide du langage de la cohomologie des groupes . Ce point de vue peut être appliqué à d'autres caractérisations des nombres réels .
calculatrices mécaniques
La retenue représente l'un des principaux défis pour les concepteurs et les constructeurs de calculatrices mécaniques . Ils font face à deux difficultés majeures : la première tient au fait que la retenue peut nécessiter le changement de plusieurs chiffres : pour additionner 1 et 999, la machine doit incrémenter quatre chiffres différents. La seconde difficulté réside dans le fait que la retenue peut se « développer » avant que le chiffre suivant n'ait terminé son addition.
La plupart des calculatrices mécaniques gèrent la retenue en exécutant un cycle de retenue distinct après l'addition elle-même. Lors de l'addition, chaque retenue est « signalée » plutôt qu'effectuée, et pendant le cycle de retenue, la machine incrémente les chiffres situés au-dessus des chiffres « déclenchés ». Cette opération doit être effectuée séquentiellement, en commençant par le chiffre des unités, puis les dizaines, les centaines, et ainsi de suite, car l'ajout de la retenue peut générer une nouvelle retenue pour le chiffre suivant.
Certaines machines, notamment la calculatrice de Pascal , la deuxième calculatrice connue et la plus ancienne encore existante, utilisent une méthode différente : l’incrémentation du chiffre de 0 à 9 actionne un dispositif mécanique qui emmagasine de l’énergie, et l’incrémentation suivante, qui fait passer le chiffre de 9 à 0, libère cette énergie pour incrémenter le chiffre suivant de 1. Pascal utilisait des poids et la gravité dans sa machine. Une autre machine remarquable utilisant une méthode similaire est le comptomètre du XIXe siècle , qui connut un grand succès, mais qui remplaçait les poids par des ressorts.
Certaines machines innovantes utilisent la transmission continue : ajouter 1 à un chiffre quelconque fait avancer le suivant de 1/10 (qui à son tour fait avancer le suivant de 1/100, et ainsi de suite). Quelques calculatrices novatrices des débuts, notamment la calculatrice de Tchebychev de 1870 et un modèle de Selling de 1886, utilisaient cette méthode, mais aucune ne rencontra le succès escompté. Au début des années 1930, Marchant implémenta la transmission continue avec un grand succès, en commençant par la calculatrice « Silent Speed », au nom évocateur. Marchant (qui deviendra plus tard SCM Corporation ) continua à l'utiliser et à l'améliorer, et produisit des calculatrices à transmission continue d'une rapidité inégalée, jusqu'à la fin des années 1960, marquant la fin de l'ère des calculatrices mécaniques.