Noeuds de Tchebychev

Nous traçons ici les nœuds de Chebyshev de première et de deuxième espèce, tous deux pour n = 8. Pour les deux types de nœuds, nous traçons d'abord les points équidistants sur le demi-cercle unitaire supérieur en bleu. Ensuite, les points bleus sont projetés vers le bas sur l' axe des x . Les points projetés, en rouge, sont les nœuds de Chebyshev.

En analyse numérique , les nœuds de Tchebychev sont un ensemble de nombres algébriques réels spécifiques , utilisés comme nœuds pour l'interpolation polynomiale . Ils sont la projection de points équidistants du cercle unité sur l' intervalle réel le diamètre du cercle. ${\displaystyle [-1,1], <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,1],}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les nœuds de Tchebychev de première espèce , également appelés zéros de Tchebychev , sont les zéros des polynômes de Tchebychev de première espèce. Les nœuds de Tchebychev de deuxième espèce , également appelés extrema de Tchebychev , sont les extrema des polynômes de Tchebychev de première espèce, qui sont également les zéros des polynômes de Tchebychev de deuxième espèce. Ces deux ensembles de nombres sont communément appelés nœuds de Tchebychev dans la littérature. Les interpolations polynomiales construites à partir de ces nœuds minimisent l'effet du phénomène de Runge .

Définition

Noeuds de Tchebychev des deux types de à . ${\displaystyle n=2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle n=50 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>50</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=50}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

Pour un entier positif donné, les nœuds de Tchebychev de première espèce dans l'intervalle ouvert sont ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (-1,1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-1,1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi ight),\quad k=0,\ldots ,n-1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi ight),\quad k=0,\ldots ,n-1.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ce sont les racines des polynômes de Tchebychev de première espèce de degré . Pour les nœuds sur un intervalle arbitraire, une transformation affine peut être utilisée : ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (a,b) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{k}={\frac {(a+b)}{2}}+{\frac {(b-a)}{2}}\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi ight),\quad k=0,\ldots ,n-1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{k}={\frac {(a+b)}{2}}+{\frac {(b-a)}{2}}\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi ight),\quad k=0,\ldots ,n-1.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De même, pour un entier positif donné, les nœuds de Tchebychev de seconde espèce dans l'intervalle fermé sont ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [-1,1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n-1}}\pi ight),\quad k=0,\ldots ,n-1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n-1}}\pi ight),\quad k=0,\ldots ,n-1.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ce sont les racines des polynômes de Chebyshev de deuxième espèce de degré . Pour les nœuds sur un intervalle arbitraire, une transformation affine peut être utilisée comme ci-dessus. Les nœuds de Chebyshev de deuxième espèce sont également appelés points de Chebyshev-Lobatto ou points extrêmes de Chebyshev. Notez que les nœuds de Chebyshev de deuxième espèce incluent les points finaux de l'intervalle tandis que les nœuds de Chebyshev de première espèce n'incluent pas les points finaux. Ces formules génèrent des nœuds de Chebyshev qui sont triés du plus grand au plus petit sur l'intervalle réel. ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [a,b] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [a,b]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les deux types de nœuds sont toujours symétriques par rapport au milieu de l'intervalle. Par conséquent, pour les nœuds impairs , les deux types de nœuds incluront le milieu. Géométriquement, pour les deux types de nœuds, nous plaçons d'abord des points sur la moitié supérieure du cercle unité avec un espacement égal entre eux. Ensuite, les points sont projetés vers le bas sur l' axe des abscisses. Les points projetés sur l' axe des abscisses sont appelés nœuds de Chebyshev. ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Approximation

Les nœuds de Chebyshev sont importants dans la théorie de l'approximation car ils forment un ensemble de nœuds particulièrement adapté à l'interpolation polynomiale . Étant donné une fonction f sur l'intervalle et des points dans cet intervalle, le polynôme d'interpolation est cet unique polynôme de degré au plus qui a une valeur à chaque point . L'erreur d'interpolation à est pour certains (dépendant de x ) dans [−1, 1] . Il est donc logique d'essayer de minimiser ${\displaystyle [-1,+1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,+1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{n-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(x_{i}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x_{i})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>ξ</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \xi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ξ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \xi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}{\biggl |}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}){\biggr |}. <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>max</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mrow> </munder> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}{\biggl |}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i}){\biggr |}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ce produit est un polynôme unitaire de degré n . On peut montrer que la valeur absolue maximale (norme maximale) de tout polynôme de ce type est bornée par le bas par 2 ^{1− n} . Cette borne est atteinte par les polynômes de Tchebychev mis à l'échelle 2 ^{1− n} T _n , qui sont également uniques. (Rappelons que | T _n ( x )| ≤ 1 pour x ∈ [−1, 1] . ) Par conséquent, lorsque les nœuds d'interpolation x _i sont les racines de T _n , l'erreur satisfait Pour un intervalle arbitraire [ a , b ] un changement de variable montre que ${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x) ight|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi ) ight|. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>max</mo> <mrow> <mi>ξ</mi> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mrow> </munder> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>ξ</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x) ight|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi ) ight|.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x) ight|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}} ight)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi ) ight|. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <munder> <mo>max</mo> <mrow> <mi>ξ</mi> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>]</mo> </mrow> </munder> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>ξ</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x) ight|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}} ight)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi ) ight|.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Nœuds de Chebyshev modifiés en ordre pair

De nombreuses applications pour les nœuds de Chebyshev, telles que la conception de filtres de Chebyshev passifs à terminaison égale, ne peuvent pas utiliser directement les nœuds de Chebyshev, en raison de l'absence de racine à 0. Cependant, les nœuds de Chebyshev peuvent être modifiés en une forme utilisable en traduisant les racines vers le bas de telle sorte que les racines les plus basses soient déplacées vers zéro, créant ainsi deux racines à zéro des nœuds de Chebyshev modifiés.

La traduction de la modification d'ordre pair est :

$2 X_{k} E v e n = \sqrt{\frac{X_{k}^{2} - X_{n / 2}^{2}}{1 - X_{n / 2}^{2}}} For n > 2$ 2}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb0aab5d7c83cfa8561e3ae05d537536d4940f0">

Le signe de la fonction est choisi pour être le même que le signe de . ${\displaystyle {\sqrt { <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msqrt></msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\sqrt {}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Par exemple, les nœuds de Chebyshev pour une fonction de Chebyshev d'ordre 4 sont {0,92388,0,382683,-0,382683,-0,92388} et sont , ou 0,146446. L'exécution de tous les nœuds par la conversion donne {0,910180, 0, 0, -0,910180}. ${\displaystyle X_{n/2}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X_{n/2}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0.382683^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mn>0.382683</mn> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0.382683^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X_{k}Even <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>E</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X_{k}Even}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les nœuds Chebyshev d'ordre pair modifiés contiennent désormais deux nœuds de zéro et peuvent être utilisés dans la conception de filtres Chebyshev d'ordre pair avec des réseaux d'éléments passifs à terminaison égale.

Remarques

Fink, Kurtis D. ; Mathews, John H. (1999). Méthodes numériques avec MATLAB (3e éd.). Upper Saddle River NJ : Prentice Hall.
Stewart, Gilbert W. (1996). Notes sur l'analyse numérique . SIAM . ISBN 978-0-89871-362-6.
Trefethen, Lloyd N. (2013), Théorie et pratique de l'approximation, SIAM

Lectures complémentaires

Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas : Analyse numérique , 8e éd., pages 503–512, ISBN 0-534-39200-8 .

Nombres algébriques