Variété analytique complexe

En mathématiques , en particulier en géométrie différentielle et en géométrie complexe , une variété analytique complexe ou un espace analytique complexe est une généralisation d'une variété complexe qui permet la présence de singularités . Les variétés analytiques complexes sont des espaces localement annelés qui sont localement isomorphes aux espaces modèles locaux, où un espace modèle local est un sous-ensemble ouvert du lieu nul d'un ensemble fini de fonctions holomorphes .

On note le faisceau constant sur un espace topologique de valeur par . Un -espace est un espace localement annelé , dont le faisceau de structure est une algèbre sur .

Soit un sous-ensemble ouvert d'un espace affine complexe , et fixons un nombre fini de fonctions holomorphes dans . Soit le lieu commun d'annulation de ces fonctions holomorphes, c'est-à-dire . Définissons un faisceau d'anneaux sur en laissant la restriction à de , où est le faisceau de fonctions holomorphes sur . Alors l' espace localement annelé est un espace modèle local .

Une variété analytique complexe est un espace annelé localement qui est localement isomorphe à un espace modèle local.

Les morphismes des variétés analytiques complexes sont définis comme des morphismes des espaces annelés locaux sous-jacents, ils sont également appelés applications holomorphes. Un faisceau de structures peut avoir un élément nilpotent, et aussi, lorsque l'espace analytique complexe dont le faisceau de structures est réduit , alors l'espace analytique complexe est réduit, c'est-à-dire que l'espace analytique complexe peut ne pas être réduit.

Un espace analytique complexe associé (variété) est tel que ;

Soient X des schémas de type fini sur , et recouvrent X d'un sous-ensemble affine ouvert ( ) ( Spectre d'un anneau ). Alors chacun est une algèbre de type fini sur , et . Où sont des polynômes dans , qui peuvent être considérés comme une fonction holomorphe sur . Par conséquent, leur zéro commun de l'ensemble est le sous-espace analytique complexe . Ici, le schéma X obtenu en collant les données de l'ensemble , puis les mêmes données peuvent être utilisées pour coller l'espace analytique complexe dans un espace analytique complexe , nous appelons donc un espace analytique complexe associé à X. L'espace analytique complexe X est réduit si et seulement si l'espace analytique complexe associé est réduit.