Logarithme décimal

En mathématiques , le logarithme décimal est le logarithme de base 10. Il est également connu sous le nom de logarithme décadique et de logarithme décimal , du nom de sa base, ou logarithme briggsien , d'après Henry Briggs , un mathématicien anglais qui a été le pionnier de son utilisation, ainsi que du logarithme standard . Historiquement, il était connu sous le nom de logarithmus decimalis ou logarithmus decadis . Il est indiqué par log( x ) log 10 ₍ x ) [ ou parfois Log( x ) avec un L majuscule ; sur les calculatrices , il est imprimé comme « log », mais les mathématiciens entendent généralement le logarithme naturel (logarithme de base e ≈ 2,71828) plutôt que le logarithme décimal lorsqu'ils écrivent « log ». Pour atténuer cette ambiguïté, la spécification ISO 80000 recommande que log ₁₀ ( x ) soit écrit lg( x ) et log _e ( x ) soit ln( x ) .

Avant le début des années 1970, les calculatrices électroniques portables n'étaient pas disponibles et les calculatrices mécaniques capables de multiplier étaient encombrantes, chères et peu répandues. Au lieu de cela, les tables de logarithmes en base 10 étaient utilisées en sciences, en ingénierie et en navigation, lorsque les calculs exigeaient une plus grande précision que celle obtenue avec une règle à calcul . En transformant la multiplication et la division en addition et soustraction, l'utilisation des logarithmes évitait les multiplications et divisions laborieuses et sujettes aux erreurs sur papier et crayon. Les logarithmes étant si utiles, des tables de logarithmes en base 10 étaient fournies dans les annexes de nombreux manuels. Les manuels de mathématiques et de navigation comprenaient également des tables de logarithmes de fonctions trigonométriques . Pour l'historique de ces tables, voir table des logarithmes .

Une propriété importante des logarithmes en base 10, qui les rend si utiles dans les calculs, est que le logarithme des nombres supérieurs à 1 qui diffèrent d'un facteur d'une puissance de 10 ont tous la même partie fractionnaire . La partie fractionnaire est connue sous le nom de mantisse . Ainsi, les tables de logarithmes ne doivent afficher que la partie fractionnaire. Les tables de logarithmes courants énuméraient généralement la mantisse, à quatre ou cinq décimales ou plus, de chaque nombre dans une plage, par exemple de 1 000 à 9 999.

La partie entière, appelée caractéristique , peut être calculée en comptant simplement le nombre de décimales à déplacer, de façon à ce qu'elle se trouve juste à droite du premier chiffre significatif. Par exemple, le logarithme de 120 est donné par le calcul suivant :

Le dernier nombre (0,07918) — la partie fractionnaire ou la mantisse du logarithme décimal de 120 — se trouve dans le tableau ci-dessous. L'emplacement du point décimal dans 120 nous indique que la partie entière du logarithme décimal de 120, la caractéristique, est 2.

Les nombres positifs inférieurs à 1 ont des logarithmes négatifs. Par exemple,

Pour éviter d'avoir à utiliser des tables séparées pour reconvertir les logarithmes positifs et négatifs en leurs nombres d'origine, on peut exprimer un logarithme négatif sous la forme d'une caractéristique entière négative plus une mantisse positive. Pour faciliter cette opération, une notation spéciale, appelée notation à barres, est utilisée :

La barre au-dessus de la caractéristique indique qu'elle est négative, tandis que la mantisse reste positive. Lors de la lecture à voix haute d'un nombre en notation de barre, le symbole est lu comme "barre n ", donc "barre 2 point 07918...". Une convention alternative consiste à exprimer le logarithme modulo 10, auquel cas

avec la valeur réelle du résultat d'un calcul déterminée par la connaissance de la plage raisonnable du résultat.

L'exemple suivant utilise la notation à barres pour calculer 0,012 × 0,85 = 0,0102 :

* Cette étape rend la mantisse comprise entre 0 et 1, de sorte que son antilog (10 ^mantisse ) puisse être recherché.

Le tableau suivant montre comment la même mantisse peut être utilisée pour une plage de nombres différant par des puissances de dix :

Notez que la mantisse est commune à tous les 5  ×  10 ⁱ . Cela est valable pour tout nombre réel positif car

Comme i est une constante, la mantisse provient de , qui est une constante pour un . Cela permet à une table de logarithmes de n'inclure qu'une seule entrée pour chaque mantisse. Dans l'exemple de 5  ×  10 ⁱ , 0,698 970 (004 336 018 ...) sera répertorié une fois indexé par 5 (ou 0,5, ou 500, etc.).

Les logarithmes courants sont parfois aussi appelés « logarithmes briggsiens », d'après Henry Briggs , un mathématicien britannique du XVIIe siècle. En 1616 et 1617, Briggs rendit visite à John Napier à Édimbourg , l'inventeur de ce que l'on appelle aujourd'hui les logarithmes naturels (en base e ), afin de lui suggérer une modification des logarithmes de Napier. Au cours de ces conférences, la modification proposée par Briggs fut acceptée ; et après son retour de sa deuxième visite, il publia la première chiliade de ses logarithmes.

Les logarithmes en base 10 étant les plus utiles pour les calculs, les ingénieurs écrivaient généralement simplement « log( x ) » lorsqu'ils voulaient dire log ₁₀ ( x ) . Les mathématiciens, en revanche, écrivaient « log( x ) » lorsqu'ils voulaient dire log _e ( x ) pour le logarithme naturel. Aujourd'hui, on trouve les deux notations. Étant donné que les calculatrices électroniques portables sont conçues par des ingénieurs plutôt que par des mathématiciens, il est devenu courant qu'elles suivent la notation des ingénieurs. Ainsi, la notation selon laquelle on écrit « ln( x ) » lorsqu'on entend par logarithme naturel, a peut-être été popularisée par l'invention même qui a rendu l'utilisation des « logarithmes courants » beaucoup moins courante, les calculatrices électroniques.

La valeur numérique du logarithme en base 10 peut être calculée avec les identités suivantes :

en utilisant les logarithmes de n'importe quelle base disponible

car il existe des procédures permettant de déterminer la valeur numérique du logarithme en base e (voir Logarithme naturel § Calcul efficace ) et du logarithme en base 2 (voir Algorithmes de calcul des logarithmes binaires ).

La dérivée d'un logarithme de base b est telle que