Élément électrique

En génie électrique , les éléments électriques sont des abstractions conceptuelles représentant des composants électriques idéalisés , tels que des résistances , des condensateurs et des inducteurs , utilisés dans l'analyse des réseaux électriques . Tous les réseaux électriques peuvent être analysés comme de multiples éléments électriques interconnectés par des fils. Lorsque les éléments correspondent approximativement à des composants réels, la représentation peut se présenter sous la forme d'un schéma ou d'un schéma de circuit . On parle alors de modèle de circuit à éléments localisés . Dans d'autres cas, des éléments infinitésimaux sont utilisés pour modéliser le réseau dans un modèle à éléments distribués .

Ces éléments électriques idéaux représentent des composants électriques ou électroniques réels et physiques . Pourtant, ils n'existent pas physiquement et sont supposés avoir des propriétés idéales. En revanche, les composants électriques réels ont des propriétés moins qu'idéales, un degré d'incertitude dans leurs valeurs et un certain degré de non-linéarité. Pour modéliser le comportement non idéal d'un composant de circuit réel, il peut être nécessaire de combiner plusieurs éléments électriques idéaux pour approximer sa fonction. Par exemple, un élément de circuit inducteur est supposé avoir une inductance mais pas de résistance ou de capacité , tandis qu'un inducteur réel, une bobine de fil, a une certaine résistance en plus de son inductance. Cela peut être modélisé par un élément d'inductance idéal en série avec une résistance.

L'analyse des circuits à l'aide d'éléments électriques est utile pour comprendre les réseaux pratiques de composants électriques. L'analyse de la manière dont un réseau est affecté par ses éléments individuels permet d'estimer le comportement d'un réseau réel.

Types

Les éléments d'un circuit peuvent être classés en différentes catégories. L'une d'elles est le nombre de bornes dont ils disposent pour les connecter à d'autres composants :

Éléments à un port – représentent les composants les plus simples, avec seulement deux terminaux auxquels se connecter. En voici quelques exemples
- résistances ,
- capacités ,
- inductances ,
- et des diodes .
Éléments à deux ports – sont les éléments multiports les plus courants avec quatre terminaux composés de deux ports.
Éléments multiports – ils ont plus de deux terminaux. Ils se connectent au circuit externe via plusieurs paires de terminaux appelés ports . Par exemple,
- un transformateur avec trois enroulements séparés possède six bornes et pourrait être idéalisé comme un élément à trois ports ; les extrémités de chaque enroulement sont connectées à une paire de bornes représentant un port.

Les éléments peuvent également être divisés en actifs et passifs :

Éléments passifs – Ces éléments n’ont pas de source d’énergie ; en voici quelques exemples
- diodes,
- résistances,
- capacités,
- et inductances.

Éléments actifs ou sources – il s’agit d’éléments qui peuvent fournir de l’énergie électrique . Ils peuvent être utilisés pour représenter des batteries et des alimentations électriques idéales ; en voici quelques exemples
- sources de tension
- et les sources actuelles .
  - Sources dépendantes – Il s’agit d’éléments à deux ports avec une source de tension ou de courant proportionnelle à la tension ou au courant sur une deuxième paire de bornes. Elles sont utilisées dans la modélisation de composants amplificateurs tels que
    - transistors ,
    - tubes à vide ,
    - et des amplificateurs opérationnels .

Une autre distinction est entre linéaire et non linéaire :

Éléments linéaires – ce sont des éléments dans lesquels la relation constitutive, la relation entre la tension et le courant, est une fonction linéaire . Ils obéissent au principe de superposition . Des exemples d'éléments linéaires sont les résistances, les capacités, les inductances et les sources linéaires dépendantes . Les circuits avec uniquement des éléments linéaires, les circuits linéaires , ne provoquent pas de distorsion d'intermodulation et peuvent être facilement analysés avec des techniques mathématiques puissantes telles que la transformée de Laplace .
Éléments non linéaires : il s'agit d'éléments dans lesquels la relation entre la tension et le courant est une fonction non linéaire . Un exemple est une diode , où le courant est une fonction exponentielle de la tension. Les circuits avec des éléments non linéaires sont plus difficiles à analyser et à concevoir, nécessitant souvent des programmes informatiques de simulation de circuits tels que SPICE .

Éléments à un port

Seuls neuf types d'éléments ( memristor non inclus), cinq passifs et quatre actifs, sont nécessaires pour modéliser un composant ou un circuit électrique. Chaque élément est défini par une relation entre les variables d'état du réseau : courant , ; tension , ; charge , ; et flux magnétique , . ${\displaystyle I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Deux sources :
- Source de courant , mesurée en ampères , produit un courant dans un conducteur. Affecte la charge selon la relation . ${\displaystyle dQ=-I\,dt <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>je</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dQ=-I\,dt}</annotation> </semantics> </math><img src=$
- Source de tension , mesurée en volts , produit une différence de potentiel entre deux points. Affecte le flux magnétique selon la relation . ${\displaystyle d\Phi =V\,dt <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>Φ</mi> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d\Phi =V\,dt}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \Phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle Q <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \Phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ces deux éléments sont nécessairement des éléments non linéaires. Voir #Éléments non linéaires ci-dessous.

Trois éléments passifs :
- La résistance , mesurée en ohms , produit une tension proportionnelle au courant traversant l'élément. Elle relie la tension et le courant selon la relation . ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle dV=R\,dI <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dV=R\,dI}</annotation> </semantics> </math><img src=$
- La capacité , mesurée en farads , produit un courant proportionnel au taux de variation de la tension aux bornes de l'élément. Elle met en relation la charge et la tension selon la relation . ${\displaystyle C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle dQ=C\,dV <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dQ=C\,dV}</annotation> </semantics> </math><img src=$
- L'inductance , mesurée en henrys , produit un flux magnétique proportionnel à la vitesse de variation du courant à travers l'élément. Elle met en relation le flux et le courant selon la relation . ${\displaystyle L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d\Phi =L\,dI <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>Φ</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>je</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d\Phi =L\,dI}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Quatre éléments actifs abstraits :
- Source de tension contrôlée en tension (VCVS) Génère une tension basée sur une autre tension par rapport à un gain spécifié. (a une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle).
- Source de courant contrôlée en tension (VCCS) Génère un courant basé sur une tension ailleurs dans le circuit, par rapport à un gain spécifié, utilisé pour modéliser les transistors à effet de champ et les tubes à vide (a une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie infinie). Le gain est caractérisé par une conductance de transfert qui aura des unités de siemens .
- Source de tension contrôlée par le courant (CCVS) Génère une tension basée sur un courant d'entrée ailleurs dans le circuit par rapport à un gain spécifié. (a une impédance d'entrée nulle et une impédance de sortie nulle). Utilisé pour modéliser les trancitors . Le gain est caractérisé par une impédance de transfert qui aura des unités d' ohms .
- Source de courant contrôlée par le courant (CCCS) Génère un courant basé sur un courant d'entrée et un gain spécifié. Utilisé pour modéliser les transistors à jonction bipolaire . (A une impédance d'entrée nulle et une impédance de sortie infinie).

Ces quatre éléments sont des exemples d’éléments à deux ports.

Éléments non linéaires

En réalité, tous les composants du circuit sont non linéaires et ne peuvent être approximés comme linéaires que sur une certaine plage. Pour décrire les éléments passifs plus précisément, leur relation constitutive est utilisée au lieu de la simple proportionnalité. Six relations constitutives peuvent être formées à partir de deux variables du circuit. À partir de là, il est supposé y avoir un quatrième élément passif théorique puisqu'il n'y a que cinq éléments au total (sans compter les diverses sources dépendantes) trouvés dans l'analyse de réseau linéaire. Cet élément supplémentaire est appelé memristor . Il n'a de sens qu'en tant qu'élément non linéaire dépendant du temps ; en tant qu'élément linéaire indépendant du temps, il se réduit à une résistance régulière. Par conséquent, il n'est pas inclus dans les modèles de circuits linéaires invariants dans le temps (LTI) . Les relations constitutives des éléments passifs sont données par ;

Résistance : relation constitutive définie comme . ${\displaystyle f(V,I)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>je</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(V,I)=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Capacité : relation constitutive définie comme . ${\displaystyle f(V,Q)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>Q</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(V,Q)=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Inductance : relation constitutive définie comme . ${\displaystyle f(\Phi ,I)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>Φ</mi> <mo>,</mo> <mi>je</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(\Phi ,I)=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Memristance : relation constitutive définie comme . ${\displaystyle f(\Phi ,Q)=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>Φ</mi> <mo>,</mo> <mi>Q</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(\Phi ,Q)=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où est une fonction arbitraire de deux variables.

{\displaystyle f(x,y) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Dans certains cas particuliers, la relation constitutive se simplifie en une fonction d'une seule variable. C'est le cas de tous les éléments linéaires, mais aussi, par exemple, d'une diode idéale , qui en termes de théorie des circuits est une résistance non linéaire, a une relation constitutive de la forme . Les sources de tension et de courant indépendantes peuvent être considérées comme des résistances non linéaires selon cette définition. ${\displaystyle V=f(I) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>je</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V=f(I)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le quatrième élément passif, le memristor, a été proposé par Leon Chua dans un article de 1971, mais un composant physique démontrant la memristance n'a été créé que trente-sept ans plus tard. Il a été rapporté le 30 avril 2008 qu'un memristor fonctionnel avait été développé par une équipe des laboratoires HP dirigée par le scientifique R. Stanley Williams . Avec l'avènement du memristor, chaque paire des quatre variables peut désormais être liée.

Deux éléments non linéaires spéciaux sont parfois utilisés dans l'analyse mais ne constituent pas la contrepartie idéale d'un composant réel :

Nullateur : défini comme ${\displaystyle V=I=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>je</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V=I=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Norator : défini comme un élément qui n'impose aucune restriction en termes de tension et de courant.

Ils sont parfois utilisés dans les modèles de composants comportant plus de deux bornes : les transistors, par exemple.

Éléments à deux ports

Tous les éléments ci-dessus sont des éléments à deux terminaux ou à un port , à l'exception des sources dépendantes. Deux éléments à deux ports linéaires, passifs et sans perte sont généralement introduits dans l'analyse de réseau. Leurs relations constitutives en notation matricielle sont :

Transformateur

{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&n\\-n&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&n\\-n&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Gyrateur

{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-r\ &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>l</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>l</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-r\ &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le transformateur associe une tension à un port à une tension à l'autre dans un rapport n . Le courant entre les deux mêmes ports est associé à 1/ n . D'autre part, le gyrateur associe une tension à un port à un courant à l'autre. De même, les courants sont associés à des tensions. La quantité r dans la matrice est exprimée en unités de résistance. Le gyrateur est un élément nécessaire dans l'analyse car il n'est pas réciproque . Les réseaux construits uniquement à partir des éléments linéaires de base sont nécessairement réciproques, ils ne peuvent donc pas être utilisés seuls pour représenter un système non réciproque. Il n'est cependant pas indispensable d'avoir à la fois le transformateur et le gyrateur. Deux gyrateurs en cascade sont équivalents à un transformateur, mais le transformateur est généralement conservé pour plus de commodité. L'introduction du gyrateur rend également la capacité ou l'inductance non essentielles puisqu'un gyrateur terminé par l'un de ces éléments au port 2 sera équivalent à l'autre au port 1. Cependant, le transformateur, la capacité et l'inductance sont normalement conservés dans l'analyse car ils sont les propriétés idéales des composants physiques de base transformateur , inducteur et condensateur , alors qu'un gyrateur pratique doit être construit comme un circuit actif.

Exemples

Voici des exemples de représentations de composants au moyen d'éléments électriques.

Au premier degré d'approximation, une batterie est représentée par une source de tension. Un modèle plus raffiné comprend également une résistance en série avec la source de tension pour représenter la résistance interne de la batterie (qui entraîne un échauffement de la batterie et une chute de tension lors de son utilisation). Une source de courant en parallèle peut être ajoutée pour représenter sa fuite (qui décharge la batterie sur une longue période).
Au premier degré d'approximation, une résistance est représentée par une résistance. Un modèle plus raffiné comprend également une inductance série pour représenter les effets de l'inductance de ses conducteurs (les résistances construites en spirale ont une inductance plus importante). Une capacité en parallèle peut être ajoutée pour représenter l'effet capacitif de la proximité des conducteurs de résistance les uns par rapport aux autres. Un fil peut être représenté par une résistance de faible valeur.
Les sources de courant sont souvent utilisées pour représenter les semi-conducteurs . Par exemple, au premier degré d'approximation, un transistor bipolaire peut être représenté par une source de courant variable contrôlée par le courant d'entrée.