Équation constitutive

En physique et en ingénierie , une équation ou relation constitutive est une relation entre deux ou plusieurs grandeurs physiques (en particulier les grandeurs cinétiques par rapport aux grandeurs cinématiques ) qui est spécifique à un matériau, une substance ou un champ , et qui se rapproche de sa réponse à des stimuli externes, généralement sous forme de champs ou de forces appliqués . Elles sont combinées à d'autres équations régissant les lois physiques pour résoudre des problèmes physiques ; par exemple en mécanique des fluides l' écoulement d'un fluide dans un tuyau , en physique du solide la réponse d'un cristal à un champ électrique, ou en analyse structurelle le lien entre les contraintes ou charges appliquées et les déformations .

Certaines équations constitutives sont simplement phénoménologiques ; d'autres sont dérivées des premiers principes . Une équation constitutive approximative courante est souvent exprimée comme une simple proportionnalité en utilisant un paramètre considéré comme une propriété du matériau, comme la conductivité électrique ou une constante de ressort . Cependant, il est souvent nécessaire de tenir compte de la dépendance directionnelle du matériau, et le paramètre scalaire est généralisé à un tenseur . Les relations constitutives sont également modifiées pour tenir compte du taux de réponse des matériaux et de leur comportement non linéaire . Voir l'article Fonction de réponse linéaire .

La première équation constitutive (loi de comportement) a été développée par Robert Hooke et est connue sous le nom de loi de Hooke . Elle traite du cas des matériaux élastiques linéaires . Suite à cette découverte, ce type d'équation, souvent appelée « relation contrainte-déformation » dans cet exemple, mais aussi appelée « hypothèse constitutive » ou « équation d'état », a été couramment utilisée. Walter Noll a fait progresser l'utilisation des équations constitutives, en clarifiant leur classification et le rôle des exigences d'invariance, des contraintes et des définitions de termes comme « matériau », « isotrope », « aérotrope », etc. La classe des « relations constitutives » de la forme taux de contrainte = f (gradient de vitesse, contrainte, densité) a fait l'objet de la thèse de Walter Noll en 1954 sous la direction de Clifford Truesdell .

En physique moderne de la matière condensée , l'équation constitutive joue un rôle majeur. Voir Équations constitutives linéaires et Fonctions de corrélation non linéaires .

Le frottement est un phénomène complexe. Macroscopiquement, la force de frottement F entre l'interface de deux matériaux peut être modélisée comme proportionnelle à la force de réaction R au point de contact entre deux interfaces par l'intermédiaire d'un coefficient de frottement sans dimension μ _f , qui dépend de la paire de matériaux :

Cela peut s'appliquer au frottement statique (frottement empêchant deux objets stationnaires de glisser d'eux-mêmes), au frottement cinétique (frottement entre deux objets se raclant/glissant l'un sur l'autre) ou au roulement (force de frottement qui empêche le glissement mais provoque l'exercice d'un couple sur un objet rond).

La relation constitutive contrainte-déformation pour les matériaux linéaires est communément appelée loi de Hooke . Dans sa forme la plus simple, la loi définit la constante de ressort (ou constante d'élasticité) k dans une équation scalaire, indiquant que la force de traction/compression est proportionnelle au déplacement étendu (ou contracté) x :

ce qui signifie que le matériau réagit de manière linéaire. De manière équivalente, en termes de contrainte σ , de module de Young E et de déformation ε (sans dimension) :

En général, les forces qui déforment les solides peuvent être normales à une surface du matériau (forces normales) ou tangentielles (forces de cisaillement), cela peut être décrit mathématiquement à l'aide du tenseur des contraintes :

où C est le tenseur d'élasticité et S est le tenseur de compliance .

Plusieurs classes de déformations dans les matériaux élastiques sont les suivantes :

Plastique

La force appliquée induit des déformations irrécupérables dans le matériau lorsque la contrainte (ou déformation élastique) atteint une grandeur critique, appelée limite d'élasticité.

Élastique

Le matériau retrouve sa forme initiale après déformation.

Viscoélastique

Si les contributions résistives dépendantes du temps sont importantes, elles ne peuvent pas être négligées. Les caoutchoucs et les plastiques ont cette propriété et ne satisfont certainement pas à la loi de Hooke. En fait, une hystérésis élastique se produit.

Anélastique

Si le matériau est proche de l'élasticité, mais que la force appliquée induit des forces de résistance supplémentaires dépendantes du temps (c'est-à-dire qui dépendent du taux de variation de l'extension/compression, en plus de l'extension/compression). Les métaux et les céramiques ont cette caractéristique, mais elle est généralement négligeable, bien que moins importante en cas de chauffage dû au frottement (comme les vibrations ou les contraintes de cisaillement dans les machines).

Hyperélastique

La force appliquée induit des déplacements dans le matériau suivant une fonction de densité d'énergie de déformation .

La vitesse relative de séparation v _séparation d'un objet A après une collision avec un autre objet B est liée à la vitesse relative de rapprochement v _{rapprochement} par le coefficient de restitution , défini par la loi d'impact expérimentale de Newton :

qui dépend des matériaux A et B, puisque la collision implique des interactions aux surfaces de A et B. Généralement 0 ≤ e ≤ 1 , où e = 1 pour des collisions complètement élastiques et e = 0 pour des collisions complètement inélastiques . Il est possible que e ≥ 1 se produise – pour des collisions superélastiques (ou explosives).

L' équation de traînée donne la force de traînée D sur un objet de section transversale A se déplaçant dans un fluide de densité ρ à une vitesse v (par rapport au fluide)

où le coefficient de traînée (sans dimension) c _d dépend de la géométrie de l'objet et des forces de traînée à l'interface entre le fluide et l'objet.

Pour un fluide newtonien de viscosité μ , la contrainte de cisaillement τ est linéairement liée à la vitesse de déformation ( gradient de vitesse d'écoulement transversal ) ∂ u /∂ y (unités s ⁻¹ ). Dans un écoulement de cisaillement uniforme :

avec u ( y ) la variation de la vitesse d'écoulement u dans la direction transversale y . En général, pour un fluide newtonien, la relation entre les éléments τ _ij du tenseur des contraintes de cisaillement et la déformation du fluide est donnée par

où v _i sont les composantes du vecteur de vitesse d'écoulement dans les directions de coordonnées x _i correspondantes , e _ij sont les composantes du tenseur de taux de déformation, Δ est le taux de déformation volumétrique (ou taux de dilatation) et δ _ij est le delta de Kronecker .

La loi des gaz parfaits est une relation constitutive dans le sens où la pression p et le volume V sont liés à la température T , via le nombre de moles n de gaz :

où R est la constante des gaz (J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹ ).

En physique classique comme en physique quantique , la dynamique précise d'un système forme un ensemble d' équations différentielles couplées , qui sont presque toujours trop compliquées pour être résolues exactement, même au niveau de la mécanique statistique . Dans le contexte de l'électromagnétisme, cette remarque s'applique non seulement à la dynamique des charges et des courants libres (qui entrent directement dans les équations de Maxwell), mais aussi à la dynamique des charges et des courants liés (qui entrent dans les équations de Maxwell par le biais des relations constitutives). En conséquence, divers schémas d'approximation sont généralement utilisés.

Par exemple, dans les matériaux réels, des équations de transport complexes doivent être résolues pour déterminer la réponse temporelle et spatiale des charges, par exemple l' équation de Boltzmann , l' équation de Fokker-Planck ou les équations de Navier-Stokes . Voir par exemple magnétohydrodynamique , dynamique des fluides , électrohydrodynamique , supraconductivité , modélisation des plasmas . Un appareil physique complet pour traiter ces questions a été développé. Voir par exemple théorie de la réponse linéaire , relations de Green-Kubo et fonction de Green (théorie à plusieurs corps) .

Ces théories complexes fournissent des formules détaillées pour les relations constitutives décrivant la réponse électrique de divers matériaux, tels que les permittivités , les perméabilités , les conductivités , etc.

Il est nécessaire de préciser les relations entre les champs de déplacement D et E et les champs magnétiques H et B avant de faire des calculs en électromagnétisme (c'est-à-dire d'appliquer les équations macroscopiques de Maxwell). Ces équations précisent la réponse de la charge et du courant liés aux champs appliqués et sont appelées relations constitutives.

La détermination de la relation constitutive entre les champs auxiliaires D et H et les champs E et B commence par la définition des champs auxiliaires eux-mêmes :

où P est le champ de polarisation et M le champ de magnétisation qui sont définis en termes de charges microscopiques liées et de courant lié respectivement. Avant d'aborder la façon de calculer M et P, il est utile d'examiner les cas particuliers suivants.

En l'absence de matériaux magnétiques ou diélectriques, les relations constitutives sont simples :

où ε ₀ et μ ₀ sont deux constantes universelles, appelées respectivement permittivité de l'espace libre et perméabilité de l'espace libre.

Dans un matériau linéaire ( isotrope ), où P est proportionnel à E et M est proportionnel à B , les relations constitutives sont également simples. En termes de polarisation P et d'aimantation M, elles sont :

où χ _e et χ _m sont respectivement les susceptibilités électrique et magnétique d'un matériau donné. En termes de D et H, les relations constitutives sont :

où ε et μ sont des constantes (qui dépendent du matériau), appelées respectivement permittivité et perméabilité du matériau. Celles-ci sont liées aux susceptibilités par :

Pour les matériaux du monde réel, les relations constitutives ne sont pas linéaires, sauf approximativement. Le calcul des relations constitutives à partir des premiers principes implique de déterminer comment P et M sont créés à partir d'un E et d'un B donnés . Ces relations peuvent être empiriques (basées directement sur des mesures) ou théoriques (basées sur la mécanique statistique , la théorie des transports ou d'autres outils de la physique de la matière condensée ). Le détail employé peut être macroscopique ou microscopique , selon le niveau nécessaire au problème examiné.

En général, les relations constitutives peuvent encore généralement s'écrire :

mais ε et μ ne sont pas, en général, de simples constantes, mais plutôt des fonctions de E , B , de position et de temps, et de nature tensorielle. En voici quelques exemples :

En variante de ces exemples, les matériaux sont en général bianisotropes où D et B dépendent à la fois de E et de H , par l'intermédiaire des constantes de couplage supplémentaires ξ et ζ :

En pratique, certaines propriétés des matériaux ont un impact négligeable dans des circonstances particulières, ce qui permet de négliger les petits effets. Par exemple : les non-linéarités optiques peuvent être négligées pour de faibles intensités de champ ; la dispersion des matériaux n'a pas d'importance lorsque la fréquence est limitée à une bande passante étroite ; l'absorption des matériaux peut être négligée pour les longueurs d'onde pour lesquelles un matériau est transparent ; et les métaux à conductivité finie sont souvent considérés aux micro-ondes ou à des longueurs d'onde plus longues comme des métaux parfaits à conductivité infinie (formant des barrières dures avec une profondeur de champ de pénétration nulle).

Certains matériaux synthétiques tels que les métamatériaux et les cristaux photoniques sont conçus pour avoir une permittivité et une perméabilité personnalisées.

Le calcul théorique des équations constitutives d'un matériau est une tâche courante, importante et parfois difficile en physique théorique de la matière condensée et en science des matériaux . En général, les équations constitutives sont déterminées théoriquement en calculant la façon dont une molécule réagit aux champs locaux par le biais de la force de Lorentz . D'autres forces peuvent également devoir être modélisées, telles que les vibrations du réseau dans les cristaux ou les forces de liaison. L'inclusion de toutes les forces entraîne des changements dans la molécule qui sont utilisés pour calculer P et M en fonction des champs locaux.

Les champs locaux diffèrent des champs appliqués en raison des champs produits par la polarisation et la magnétisation des matériaux proches ; un effet qui doit également être modélisé. De plus, les matériaux réels ne sont pas des milieux continus ; les champs locaux des matériaux réels varient énormément à l'échelle atomique. Les champs doivent être moyennés sur un volume approprié pour former une approximation continue.

Ces approximations du continuum nécessitent souvent un certain type d' analyse de la mécanique quantique , comme la théorie quantique des champs appliquée à la physique de la matière condensée . Voir, par exemple, la théorie de la fonctionnelle de la densité , les relations de Green-Kubo et la fonction de Green .

Un autre ensemble de méthodes d'homogénéisation (issues d'une tradition de traitement de matériaux tels que les conglomérats et les stratifiés ) est basé sur l'approximation d'un matériau inhomogène par un milieu efficace (valable pour des excitations avec des longueurs d'onde bien plus grandes que l'échelle de l'inhomogénéité).

La modélisation théorique des propriétés d'approximation continue de nombreux matériaux réels repose souvent également sur des mesures expérimentales. Par exemple, ε d'un isolant à basses fréquences peut être mesuré en le transformant en condensateur à plaques parallèles , et ε aux fréquences de lumière optique est souvent mesuré par ellipsométrie .

Ces équations constitutives sont souvent utilisées en cristallographie , un domaine de la physique du solide .

L' indice de réfraction (absolu) d'un milieu n (sans dimension) est une propriété intrinsèquement importante de l'optique géométrique et physique définie comme le rapport de la vitesse luminale dans le vide c ₀ à celle dans le milieu c :

où ε est la permittivité et ε _r la permittivité relative du milieu, de même μ est la perméabilité et μ _r sont la perméabilité relative du milieu. La permittivité du vide est ε ₀ et la perméabilité du vide est μ ₀ . En général, n (également ε _r ) sont des nombres complexes .

L'indice de réfraction relatif est défini comme le rapport de deux indices de réfraction. L'indice absolu s'applique à un matériau, l'indice relatif s'applique à toutes les paires d'interfaces possibles ;

En conséquence de la définition, la vitesse de la lumière dans la matière est

pour cas particulier de vide ; ε = ε ₀ et μ = μ ₀ ,

L' effet piézoptique relie les contraintes dans les solides σ à l'imperméabilité diélectrique a , qui sont couplées par un tenseur de quatrième rang appelé coefficient piézoptique Π (unités K ⁻¹ ) :

Il existe plusieurs lois qui décrivent le transport de la matière, ou ses propriétés, de manière presque identique. Dans tous les cas, elles sont formulées ainsi :

Le flux (densité) est proportionnel à un gradient , la constante de proportionnalité est la caractéristique du matériau.

En général, la constante doit être remplacée par un tenseur de 2e rang, pour tenir compte des dépendances directionnelles du matériau.